Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Székely Péter
Füzet:	2015/január, 2 - 3. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényt a lehető legbővebb számhalmazon: $\begin{array}{c}{\displaystyle f:x\mapsto \left(\frac{2^x+5}{2^{x+1}-10}-\frac{2^x-5}{2^{x+1}+10}-\frac{50}{25-4^x}\right):\frac{5\cdot 2^x}{2^x-5}\mathrm{.}}\end{array}$  (11 pont)   2. Mennyi a valószínűsége, hogy a háromjegyű pozitív egészek közül találomra olyat választunk, mely az 5, a 7, illetve a 11 egyikével sem osztható?  (12 pont)   3. Matematikus barátunk statisztikát csinál a kiránduláson készített 500 fényképéről. Azt találja, hogy a méretük átlaga 2,84 MB, s a legnagyobb méretű képe 3,65 MB-os. $a)$ Mennyi a méretük szórásának legkisebb értéke? $b)$ Legfeljebb mekkora lehet a méretük szórása, ha a terjedelem 1,62 MB?  (14 pont)   4. A fixhajtású kerékpárnál fontos a lánc feszessége. Az első lánckerék sugara 104 mm, fogszáma 52, a hátsó lánckerék adatai pedig 32 mm és 16 fog. (A lánckerék sugarát úgy mértük, hogy az megegyezik egy, a lánckerékre illeszkedő láncszem középpontjának a lánckerék középpontjától mért távolságával.) Milyen hosszú láncra van szükségünk, ha a két lánckerék középpontjának távolsága 450 mm? Hány láncszemet tartalmaz ez a lánc?  (14 pont)   II. rész     5. Milyen $m\in \text{R}$ paraméter esetén lesz hegyesszögű $\alpha$ megoldása a következő egyenletnek? $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}{}^2\alpha -\left(18-2m\right)\text{cos}\alpha +m^2+3m+3=0}\end{array}$  (16 pont)   6. Ábrázoljuk a következő ponthalmazt a koordinátasíkon: $\begin{array}{c}{\displaystyle H:=\left\{P\left(x;y\right)|\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2-1}\le 0\wedge |y|\le 1\right\}}\end{array}$ Mekkora a ponthalmaz területe?  (16 pont)   7. Az $ABCD$ négyzet alapú egyenes gúla $AE$ odalalélének $P$ pontjára teljesül, hogy $AP:PE=1:2$, valamint a $CE$ oldalélének $R$ pontjára igaz, hogy $CR:RE=1:2$. $a)$ Milyen arányban osztja a $B$ csúcson, valamint a $P$ és $R$ pontokon átmenő sík a $DE$ élt? $b)$ Hány százaléka a keletkező síkmetszet területe az alap négyzetlap területének, ha a gúla magassága az alaplap átlójának másfélszerese?  (16 pont)   8. Készítsünk ,,mérőhengert'', mely az $f\left(x\right)=x^{10}$, ahol $x\in \left[-1;1\right]$ függvény $y$ tengely körüli megforgatásával jön létre. A koordinátarendszer egységeit dm-ben mérjük. Készítsünk deciliterenként beosztást az oldalán. (Milyen magasságoknál lesznek az osztásvonalak?)  (16 pont)   9. Egy ,,piramisjáték'' elindítója a második hétre már 4 embert sikeresen beszervezett, így öten lettek. (Az első hét a tervezés ideje volt.) A szervezés olyan jól sikerült, hogy a harmadik héttől kezdve minden héten a következő sorozat szerint alakult az összes résztvevő száma: $a_n=3a_{n-1}-8$. $a)$ Hányan vettek részt az ötödik héten a játékban? $b)$ Mutassuk meg, hogy az összes résztvevők száma monoton növekvő sorozatot alkot. $c)$ Írjuk fel explicit alakban a sorozatot. $d)$ Igazoljuk, hogy a sorozat utolsó számjegyei $n=2$-től kezdve periodikus sorozatot alkotnak.  (16 pont)