Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Katz Sándor
Füzet:	2015/december, 524 - 525. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Határozzuk meg a következő kifejezések pontos értékét közelítő értékek használata nélkül: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle a=\text{sin}{75}^{\circ }\cdot \text{cos}{75}^{\circ }\mathrm{,}b=\frac{5^{\text{lg}20}}{{20}^{1+\text{lg}5}}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c=\frac{1}{\sqrt[]{1}+\sqrt[]{2}}+\frac{1}{\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}}+\frac{1}{\sqrt[]{3}+\sqrt[]{4}}+\text{...}+\frac{1}{\sqrt[]{99}+\sqrt[]{100}}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$  ($\text{4}+\text{5}+\text{4}$ pont)   2. Egy háromszögben két oldal hosszának különbsége $a-b=4$ cm, a velük szemközti szögek $\alpha ={60}^{\circ }$, $\beta ={40}^{\circ }$. Mekkora a háromszög területe?  (12 pont)   3. Egy matematikai teszt megírásában egy középiskola 100 tanulója vett részt, és az átlagpontszámuk 100. Az alsóévesek száma 50%-kal több, mint a felsőéveseké, a felsőévesek átlagpontszáma pedig 50%-kal magasabb, mint az alsóéveseké. Mennyi a felsőévesek átlagpontszáma?  (13 pont)   4. Egy szabályos hatszög alapú gúla alapélei 5 cm, oldalélei 10 cm hosszúságúak. Mekkora a gúla térfogata, a beírt és köré írt gömb sugara? Mekkora egy oldallapnak az alaplappal bezárt szöge?  (13 pont)   II. rész     5. $a)$ Mennyi $\text{lg}x-\text{lg}y$ értéke, ha az $x$, $y$ számokra teljesül a $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x^2-5xy+3y^2=0}\end{array}$ feltétel? $b)$ Oldjuk meg a valós számok halmazán a $4^{x+\frac{1}{2}}-5\cdot 6^x+9^{x+\frac{1}{2}}=0$ egyenletet. $c)$ Milyen $0\le \alpha <{360}^{\circ }$ szögek a megoldásai a $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\text{sin}{}^2\alpha -5\text{sin}\alpha \cdot \text{cos}\alpha +5\text{cos}{}^2\alpha =2}\end{array}$ egyenletnek?  ($\text{5}+\text{5}+\text{6}$ pont)   6. Egy hordó legnagyobb átmérője 6 dm, legkisebb átmérője 5 dm, magassága 6 dm. (Ezek a hordó belső méretei.) A hordó olyan forgástestnek tekinthető, amely egy szimmetrikus parabolaív forgatásával keletkezett.     $a)$ Mekkora a hordó térfogata? $b)$ Hány százalékos hibát vétünk, ha a hordó térfogatát olyan hengerrel közelítjük, amelynek magassága megegyezik a hordóéval, átmérője pedig a hordó legkisebb és legnagyobb átmérőjének számtani közepével?  (16 pont)   7. $a)$ Hányféleképpen állítható elő a 2016 szomszédos pozitív egész számok összegeként? $b)$ Adjunk meg egy olyan, 2016-nál nagyobb, pozitív egész számot, amely nem állítható elő szomszédos pozitív egész számok összegeként.  (16 pont)   8. Az $AB$ átmérőjű kör egy pontja $P$. Az $AB$ egyenesnek $C$ az a pontja, amelyre $AP=PC$. $P$ mely helyzetében lesz az $ACP$ háromszög területe maximális?  (16 pont)   9. Ha felírjuk az összes olyan ötjegyű számot, amelyben az 1 és 2 számjegyeken kívül más jegy nem szerepel, akkor mennyi lesz $a)$ a felírt számok összege, $b)$ a felírt számjegyek összege, $c)$ annak a valószínűsége, hogy két véletlenszerűen kiválasztott ilyen számban ugyanannyi a számjegyek összege?  ($\text{5}+\text{4}+\text{7}$ pont)