Kezdőlap


Cím:	A gravitációs többtestprobléma két speciális esetre
Szerző(k):	Woynarovich Ferenc
Füzet:	2015/december, 558 - 563. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Newton-féle gravitációs erő

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Amint az jól ismert, egy centrális gravitációs térben egy $m$ tömegű testre (amit nevezzünk bolygónak)

\begin{matrix} F = - γ \frac{m M}{r^{3}} r \end{matrix}

erő hat, tehát a mozgásegyenlete

\begin{matrix} m \ddot{r} = - γ \frac{m M}{r^{3}} r, \end{matrix}

(1)

ahol

M

a centrumban elhelyezkedő tömeget,

r

a mozgó test helyvektorát,

γ

pedig a Newton-féle gravitációs állandót jelöli.¹
Az (1) egyenlet megoldása ellipszis, parabola vagy hiperbola attól függően, hogy a mozgó test teljes

\begin{matrix} E = - γ \frac{m M}{r} + \frac{1}{2} m {(\dot{r})}^{2} \end{matrix}

(2)

energiája negatív, nulla vagy pozitív, és az adott kúpszelet (egyik) fókusza éppen a centrumba esik. Ellipszispálya esetén a bolygó keringési ideje

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{a^{3}}{γ M}}, \end{matrix}

ahol

a

az ellipszis nagytengelyének a fele. Ez a leírás (mivel rögzített vonzócentrumot és egyetlen bolygót feltételez) eléggé idealizált, ennek ellenére nagyon pontosan írja le pl. a Naprendszerünk bolygóinak a mozgását. Ennek az az oka, hogy a Naprendszer összes tömegének legnagyobb része (99,87%-a) a Napban van, a bolygók pályasugarai pedig eléggé eltérnek egymástól, így a bolygók egymásra gyakorolt tömegvonzása, és az a tény, hogy a Nap maga is a közös tömegközéppont körül mozog, csak igen kicsi korrekciót okoz.
A következőkben két olyan esetet tárgyalunk meg részletesen, amelyekben ezek a feltételek nem teljesülnek: megvizsgáljuk, hogyan mozog két közel azonos tömegű égitest (ikercsillag) egymás gravitációs terében, és bemutatjuk a gravitációs háromtest-probléma egy igen speciális, de nagyon szép esetét.

Az ikercsillagok mozgása

Tegyük fel, hogy a két égitestre egymáson kívül nem hat semmi! Ekkor nyilván a közös tömegközéppont körül mozognak, ezért érdemes a koordináta-rendszerünk origóját ehhez a ponthoz rögzíteni. Ez az impulzusmegmaradás miatt inerciarendszer. Legyen a két tömeg

m_{1}

és

m_{2}

, a helyvektorok pedig

r_{1}

és

r_{2}

! A koordináta-rendszer választásunkból következik, hogy a mozgás során minden pillanatban

\begin{matrix} m_{1} r_{1} + m_{2} r_{2} = 0 és m_{1} {\dot{r}}_{1} + m_{2} {\dot{r}}_{2} = 0. \end{matrix}

Ebben a koordináta-rendszerben tehát csak olyan kezdeti feltételnek van értelme, amely a fenti egyenleteknek megfelel, és tulajdonképpen csak egy független koordinátánk van. Mivel az erőtörvényben a két test távolsága szerepel, független változónak érdemes pl. az

r_{1,2} = r_{1} - r_{2}

vektort választani (

| r_{1,2} | = r_{1,2} = r_{1} + r_{2}

). Ennek segítségével a két mozgásegyenlet

\begin{matrix} {\ddot{r}}_{1} = - γ \frac{m_{2}}{{(r_{1,2})}^{3}} r_{1,2} és {\ddot{r}}_{2} = γ \frac{m_{1}}{{(r_{1,2})}^{3}} r_{1,2}, \end{matrix}

melyeket kivonva egymásból az

\begin{matrix} {\ddot{r}}_{1,2} = - γ \frac{m_{1} + m_{2}}{{(r_{1,2})}^{3}} r_{1,2} \end{matrix}

egyenletet kapjuk, ami (1)-gyel azonos szerkezetű, hiszen

\begin{matrix} r_{1,2} \Leftrightarrow r, r_{1,2} \Leftrightarrow r, m_{1} + m_{2} \Leftrightarrow M \end{matrix}

helyettesítésekkel a két egyenlet egymásba átírható. Ennek megfelelően a megoldásuk is azonos, vagyis az origóból felmért

r_{1,2}

vektor végpontja kúpszeletet rajzol le. Annak feltételét, hogy ez milyen kúpszelet, (2)-ből a megfelelő

\begin{matrix} r_{1,2} \Leftrightarrow r, m_{1} + m_{2} \Leftrightarrow M \end{matrix}

helyettesítéssel kapjuk meg: a pálya ellipszis, parabola vagy hiperbola, ha a

\begin{matrix} - γ \frac{m_{1} + m_{2}}{r_{1,2}} + \frac{1}{2} {({\dot{r}}_{1,2})}^{2} \end{matrix}

mennyiség negatív, nulla vagy pozitív. A (2) kifejezés előjele nem függ

m

-től, ezért azt itt elhagytuk, de vegyük észre, hogy ha nem hagyjuk el, hanem a helyére

\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

-t helyettesítünk, kihasználva a teljes impulzus nulla voltát, megkapjuk a rendszer teljes energiáját:

\begin{matrix} E = - γ \frac{m_{1} m_{2}}{r_{1} + r_{2}} + \frac{1}{2} m_{1} {({\dot{r}}_{1})}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {({\dot{r}}_{2})}^{2} . \end{matrix}

Tehát ‐ a fizikai érzékünkkel összhangban ‐ most is mondhatjuk: az energia negatív vagy pozitív volta dönti el a pálya alakját. (Természetesen ez így csak ebben a tömegközépponti koordináta-rendszerben igaz. Ha a közös tömegközéppont mozog, ahhoz is tartozik egy energiajárulék, ami azonban nem befolyásolja a testek egymáshoz viszonyított mozgását.) Érdemes megjegyezni, hogy az egyes testek pályája geometriai értelemben hasonló ahhoz a síkgörbéhez, amelyet az

r_{1,2}

vektor kirajzol. A megfelelő fókuszpontok a közös tömegközéppontba esnek, és pl. ellipszispálya esetén az

r_{1,2}

ellipszisének fél nagytengelye

a = (r_{1,2 {max}_{}^{}} + r_{1,2 {min}_{}^{}}) / 2

azonos a két ellipszis

a_{1}

és

a_{2}

fél nagytengelyének összegével. (Az indexben megjelenő

{max}_{}^{}

és

{min}_{}^{}

jelzés értelemszerűen az adott mennyiség maximális és minimális értékére utal.) Ennek megfelelően a keringési idő

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{{(a_{1} + a_{2})}^{3}}{γ (m_{1} + m_{2})}} . \end{matrix}

A háromtest-probléma egy speciális esete

Most tekintsünk három, minden más objektumtól függetlennek tekinthető égitestet! A tömegek legyenek

m_{1}

m_{2}

és

m_{3}

, és a koordináta-rendszerünk origójának válasszuk most is a közös tömegközéppontot. Az

r_{i}

koordináták és az

{\dot{r}}_{i}

sebességek (

i = 1,2,3

) most az

\begin{matrix} m_{1} r_{1} + m_{2} r_{2} + m_{3} r_{3} = 0 és m_{1} {\dot{r}}_{1} + m_{2} {\dot{r}}_{2} + m_{3} {\dot{r}}_{3} = 0 \end{matrix}

(3)

egyenleteket elégítik ki. A három mozgásegyenlet:

\begin{matrix} {\ddot{r}}_{1} & = - γ \frac{m_{2}}{{(r_{1,2})}^{3}} (r_{1} - r_{2}) - γ \frac{m_{3}}{{(r_{1,3})}^{3}} (r_{1} - r_{3}), \\ {\ddot{r}}_{2} & = - γ \frac{m_{1}}{{(r_{1,2})}^{3}} (r_{2} - r_{1}) - γ \frac{m_{3}}{{(r_{2,3})}^{3}} (r_{2} - r_{3}), \\ {\ddot{r}}_{3} & = - γ \frac{m_{2}}{{(r_{2,3})}^{3}} (r_{3} - r_{2}) - γ \frac{m_{1}}{{(r_{1,3})}^{3}} (r_{3} - r_{1}), \end{matrix}

ahol az előzőekhez hasonlóan az

r_{i, j}

i

és

j

indexű tömegpontok távolsága. Ez a csatolt egyenletrendszer már kezelhetetlenül bonyolult, de igen egyszerűvé válik abban a speciális esetben, amikor

r_{1,2} = r_{1,3} = r_{2,3} = R

, azaz a testek egy

R

oldalhosszú, egyenlő oldalú háromszög csúcsain helyezkednek el. Ekkor (3) segítségével mind a három az

\begin{matrix} {\ddot{r}}_{i} = - γ \frac{m_{1} + m_{2} + m_{3}}{R^{3}} r_{i} (i = 1,2,3) \end{matrix}

(4)

alakra hozható.
Mi következik ebből? Nevezetesen az, hogy ha egy pillanatban mindhárom test sebessége ugyanúgy arányos a helyvektorával, azaz

\begin{matrix} {\dot{r}}_{i} = κ r_{i} + ω \times r_{i} (i = 1,2,3), \end{matrix}

(5)

akkor ez a mozgás során így is marad. Itt az első tag egy egyenletes tágulás, melyben a

κ

egy 1/s dimenziójú mennyiség, a második tag pedig egy egyszerű forgás, melyben az

ω

szögsebességvektor merőleges a három test síkjára. Ilyen sebességek mellett nyilván nem változik az

r_{i}

helyvektorok egymáshoz viszonyított mérete és iránya, és (4) miatt az

{\dot{r}}_{i}

sebességek is arányosak maradnak a megfelelő helyvektorokkal, csak

κ

és a szögsebességvektor nagysága,

ω

változik az idővel. Következésképp ilyen kezdeti feltételek mellett a három test által kijelölt háromszög végig egyenlő oldalú marad, a

\begin{matrix} λ_{i} = \frac{r_{i}}{R} \end{matrix}

(6)

arányok a mozgás során állandók, és a mozgásegyenletek

\begin{matrix} {\ddot{r}}_{i} = - γ \frac{λ_{i}^{3} (m_{1} + m_{2} + m_{3})}{r_{i}^{3}} r_{i} (i = 1,2,3) \end{matrix}

(7)

alakba írhatók. (A

λ_{i}

együtthatók csak a tömegarányoktól függenek, viszonylag könnyen megadhatók, de a magunk elé tűzött feladat szempontjából a konkrét alakjuk nem érdekes.)
A (7) és (1) egyenletek azonos alakja, és a háromszög arányainak változatlansága alapján állíthatjuk, hogy a három test egymáshoz hasonló kúpszeletpályákon mozog a közös tömegközéppont körül. Ugyan mindegyik más-más effektív centrális tömeget ,,lát'', de éppen ez biztosítja a pályák időbeli szinkronját. Ezzel összhangban ellipszispálya esetén bármelyik test keringési idejére ugyanaz adódik:

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{a_{i}^{3}}{γ λ_{i}^{3} (m_{1} + m_{2} + m_{3})}} = 2 π \sqrt[]{\frac{a^{3}}{γ (m_{1} + m_{2} + m_{3})}}, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} a_{i} = \frac{r_{i, {min}_{}^{}} + r_{i, {max}_{}^{}}}{2}, illetve a = \frac{R_{{min}_{}^{}} + R_{{max}_{}^{}}}{2} . \end{matrix}

Végezetül szólnunk kell a pálya alakját meghatározó feltételről. Senki nem lepődik meg azon, hogy azt most is az

\begin{matrix} E = - γ \frac{m_{1} m_{2} + m_{1} m_{3} + m_{2} m_{3}}{R} + \frac{1}{2} m_{1} {({\dot{r}}_{1})}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {({\dot{r}}_{2})}^{2} + \frac{1}{2} m_{3} {({\dot{r}}_{3})}^{2} \end{matrix}

(8)

teljes energia előjele határozza meg, de hogy ez hogyan hozható ki a (2)-ből formálisan adódó

\begin{matrix} - γ \frac{m_{i} λ_{i}^{3} (m_{1} + m_{2} + m_{3})}{r_{i}} + \frac{1}{2} m_{i} {({\dot{r}}_{i})}^{2} \end{matrix}

(9)

kifejezésből, azt a Függelékben mutatjuk be.

Megjegyzések. 1. A cikkben tárgyalt problémák tartalmazzák egymást mint határesetet. Az ikercsillagnál minél nagyobb az egyik csillag tömege a másikénál, annál jobban megközelíti a rendszer a rögzített centrum esetét. Hasonlóan, ha a három test közül az egyik tömege lényegesen kisebb, mint a másik kettőé, az a kettő úgy mozog, mint ahogy azt az ikercsillagoknál látjuk.
2. Az ikercsillagok problémája a gravitációs kéttestprobléma általános esete, és a pályák a tömegközépponti rendszerben mindig kúpszeletek. Ezzel szemben a háromtest-probléma általános esete igen bonyolult, nem periodikus, és általában nem is síkmozgás: a három test síkja időben elfordulhat. Az itt tárgyalt eset csak nagyon speciális kezdeti feltételek mellett valósulhat meg, és attól különleges, hogy a testek távolságainak az aránya, így az általuk kitűzött síkidom alakja nem változik a mozgás során. A háromtest-problémának van egy másik olyan megoldáscsaládja is, melyben a távolságok aránya nem változik: a három test háromféle módon is elhelyezhető úgy egy egyenesen, hogy azok egy (5)-nek megfelelő kezdeti sebesség esetén egymással szinkronban, végig egy egyenesen maradva kúpszelet pályán mozogjanak. (Ezek az esetek paraméteresen sajnos nem, csak numerikusan tárgyalhatók.) Így ha két test (mondjuk a két nagyobb) pozícióját és a mozgásuk síkját megadjuk, a harmadik test öt olyan pozícióba helyezhető, melyekben szinkronizált mozgás lehetséges. Ebből három a két (nehezebb) test egyenesére esik (egyik helyzet a két test között, egy-egy pedig a két testen kívül), kettő pedig a fentebb tárgyaltaknak megfelelően az a két pont, amely ugyanolyan távol van az egyes testektől, mint azok egymástól. Abban az esetben, ha a legkisebb tömeg elhanyagolhatóan kicsiny a két nagyobb tömeghez képest, ezt az öt pontot egyik tanulmányozójukról² a rendszer Lagrange-pontjainak nevezik. Érdekes még, hogy a nagy testek egyenesébe eső Lagrange-pontok instabilak, az oda helyezett objektumok bármilyen kicsi zavar esetén gyorsulva kimozdulnak, míg a másik két pont (a nehéz testek tömegarányának nagyságától függően) lehet stabil abban az értelemben, hogy az oda helyezett harmadik, kicsiny tömegű test a zavaró hatások ellenére is hosszú ideig az adott pont közelében marad. Ezzel függ össze, hogy a Naprendszerben kisbolygók és aszteroidák egész felhői találhatók a Nap-Jupiter rendszer megfelelő (a Jupitert

60^{\circ}

-kal megelőző, illetve követő) Lagrange-pontjainak a környékén, de találhatók kisbolygók a Neptunusz, a Mars és a Föld pályájához tartozó stabil Lagrange-pontok közelében is.³

Függelék

Vegyük észre, hogy ha (9)-et beszorozzuk az

\begin{matrix} \frac{m_{1} m_{2} + m_{1} m_{3} + m_{2} m_{3}}{λ_{i}^{2} m_{i} (m_{1} + m_{2} + m_{3})} \end{matrix}

kifejezéssel, és kihasználjuk (6)-ot, akkor a kapott

\begin{matrix} - γ \frac{m_{1} m_{2} + m_{1} m_{3} + m_{2} m_{3}}{R} + \frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2} + m_{1} m_{3} + m_{2} m_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}} \cdot \frac{{({\dot{r}}_{i})}^{2}}{λ_{i}^{2}} \end{matrix}

(F1)

mennyiség első tagja a teljes energia gravitációs része, tehát azt kell belátnunk, hogy a második tag éppen a teljes mozgási energia. Mivel az

{\dot{r}}_{i}

(5) szerinti felbontásában a két tag egymásra merőleges,

\begin{matrix} {({\dot{r}}_{i})}^{2} = r_{i}^{2} (κ^{2} + ω^{2}) . \end{matrix}

(F2)

Ennek és (6)-nak a következményeként (F1) második tagja

\begin{matrix} \frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2} + m_{1} m_{3} + m_{2} m_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}} R^{2} (κ^{2} + ω^{2}) . \end{matrix}

(F3)

Ha megmutatjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{m_{1} m_{2} + m_{1} m_{3} + m_{2} m_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}} R^{2} = & (F4) \\ = m_{1} r_{1}^{2} + m_{2} r_{2}^{2} + m_{3} r_{3}^{2}, \end{matrix}

akkor igazoljuk, hogy (F3) a mozgási energia, tehát (F1) valóban a teljes energia. Márpedig (F4) fennáll, ahogy azt a mellékelt ábra segítségével könnyen beláthatjuk.

Ezen a háromszög oldala

R

, a geometriai súlypontja

C

, a fizikai tömegközéppontja

S

, a

C

-ből az

S

-be mutató vektor

r

, a

C

-ből és az

S

-ből az egyes tömegekhez mutató vektorok

c_{i}

és

r_{i}

. Az (F4) egyenlet jobb oldala a rendszer

S

-re vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka, amit a Steiner-tétel segítségével összeköthetünk a jól számítható

C

-re vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékkal. Eszerint

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{3} m_{i} r_{i}^{2} = \sum_{i = 1}^{3} m_{i} c_{i}^{2} - r^{2} \sum_{i = 1}^{3} m_{i} . \end{matrix}

(F5)

Ugyanakkor a tömegközéppont definíciójából

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{3} m_{i} c_{i} = r \sum_{i = 1}^{3} m_{i} . \end{matrix}

Ezt az egyenletet négyzetre emelve és kihasználva, hogy

c_{i} c_{j} = \frac{1}{3} R^{2}

, ha

i = j

, és

- \frac{1}{6} R^{2}

, ha

i \neq j

, kiszámíthatjuk

r^{2}

-et, és így (F5) jobb oldalát kiértékelve valóban megkapjuk (F4)-et.

¹A cikkben azt a gyakorlatot követjük, hogy egy vektort és annak nagyságát ugyanaz a szimbólum jelöli, csak a vektort magát félkövér karakterrel szedjük; így pl.

r

r

vektor nagysága. Egy mennyiség jele fölé tett pont a mennyiség időbeli változásának ütemét jelzi, így

\dot{r}

a tömegpont sebessége,

\ddot{r}

pedig a gyorsulása.

²Joseph-Louis Lagrange (1736‐1813) olasz születésű francia matematikus és fizikus, aki többek között a számelméletben, a matematikai analízisben és az égitestek mechanikájában ért el nagyon jelentős eredményeket.

³A Naprendszer különböző bolygóihoz tartozó Lagrange-pontok közelében elhelyezkedő természetes és mesterséges égitestek impozáns listája található a https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_objects_at_Lagrangian_points webhelyen.