Cím: A gravitációs többtestprobléma két speciális esetre
Szerző(k):  Woynarovich Ferenc 
Füzet: 2015/december, 558 - 563. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Newton-féle gravitációs erő

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Amint az jól ismert, egy centrális gravitációs térben egy m tömegű testre (amit nevezzünk bolygónak)

F=-γmMr3r
erő hat, tehát a mozgásegyenlete
mr¨=-γmMr3r,(1)
ahol M a centrumban elhelyezkedő tömeget, r a mozgó test helyvektorát, γ pedig a Newton-féle gravitációs állandót jelöli.1
Az (1) egyenlet megoldása ellipszis, parabola vagy hiperbola attól függően, hogy a mozgó test teljes
E=-γmMr+12m(r˙)2(2)
energiája negatív, nulla vagy pozitív, és az adott kúpszelet (egyik) fókusza éppen a centrumba esik. Ellipszispálya esetén a bolygó keringési ideje
T=2πa3γM,
ahol a az ellipszis nagytengelyének a fele. Ez a leírás (mivel rögzített vonzócentrumot és egyetlen bolygót feltételez) eléggé idealizált, ennek ellenére nagyon pontosan írja le pl. a Naprendszerünk bolygóinak a mozgását. Ennek az az oka, hogy a Naprendszer összes tömegének legnagyobb része (99,87%-a) a Napban van, a bolygók pályasugarai pedig eléggé eltérnek egymástól, így a bolygók egymásra gyakorolt tömegvonzása, és az a tény, hogy a Nap maga is a közös tömegközéppont körül mozog, csak igen kicsi korrekciót okoz.
A következőkben két olyan esetet tárgyalunk meg részletesen, amelyekben ezek a feltételek nem teljesülnek: megvizsgáljuk, hogyan mozog két közel azonos tömegű égitest (ikercsillag) egymás gravitációs terében, és bemutatjuk a gravitációs háromtest-probléma egy igen speciális, de nagyon szép esetét.
 
Az ikercsillagok mozgása

Tegyük fel, hogy a két égitestre egymáson kívül nem hat semmi! Ekkor nyilván a közös tömegközéppont körül mozognak, ezért érdemes a koordináta-rendszerünk origóját ehhez a ponthoz rögzíteni. Ez az impulzusmegmaradás miatt inerciarendszer. Legyen a két tömeg m1 és m2, a helyvektorok pedig r1 és r2! A koordináta-rendszer választásunkból következik, hogy a mozgás során minden pillanatban
m1r1+m2r2=0  ésm1r˙1+m2r˙2=0.

Ebben a koordináta-rendszerben tehát csak olyan kezdeti feltételnek van értelme, amely a fenti egyenleteknek megfelel, és tulajdonképpen csak egy független koordinátánk van. Mivel az erőtörvényben a két test távolsága szerepel, független változónak érdemes pl. az r1,2=r1-r2 vektort választani (|r1,2|=r1,2=r1+r2). Ennek segítségével a két mozgásegyenlet
r¨1=-γm2(r1,2)3r1,2  ésr¨2=γm1(r1,2)3r1,2,
melyeket kivonva egymásból az
r¨1,2=-γm1+m2(r1,2)3r1,2
egyenletet kapjuk, ami (1)-gyel azonos szerkezetű, hiszen
r1,2r,r1,2r,m1+m2M
helyettesítésekkel a két egyenlet egymásba átírható. Ennek megfelelően a megoldásuk is azonos, vagyis az origóból felmért r1,2 vektor végpontja kúpszeletet rajzol le. Annak feltételét, hogy ez milyen kúpszelet, (2)-ből a megfelelő
r1,2r,m1+m2M
helyettesítéssel kapjuk meg: a pálya ellipszis, parabola vagy hiperbola, ha a
-γm1+m2r1,2+12(r˙1,2)2
mennyiség negatív, nulla vagy pozitív. A (2) kifejezés előjele nem függ m-től, ezért azt itt elhagytuk, de vegyük észre, hogy ha nem hagyjuk el, hanem a helyére m1m2m1+m2-t helyettesítünk, kihasználva a teljes impulzus nulla voltát, megkapjuk a rendszer teljes energiáját:
E=-γm1m2r1+r2+12m1(r˙1)2+12m2(r˙2)2.
Tehát ‐ a fizikai érzékünkkel összhangban ‐ most is mondhatjuk: az energia negatív vagy pozitív volta dönti el a pálya alakját. (Természetesen ez így csak ebben a tömegközépponti koordináta-rendszerben igaz. Ha a közös tömegközéppont mozog, ahhoz is tartozik egy energiajárulék, ami azonban nem befolyásolja a testek egymáshoz viszonyított mozgását.) Érdemes megjegyezni, hogy az egyes testek pályája geometriai értelemben hasonló ahhoz a síkgörbéhez, amelyet az r1,2 vektor kirajzol. A megfelelő fókuszpontok a közös tömegközéppontba esnek, és pl. ellipszispálya esetén az r1,2 ellipszisének fél nagytengelye a=(r1,2max+r1,2min)/2 azonos a két ellipszis a1 és a2 fél nagytengelyének összegével. (Az indexben megjelenő max és min jelzés értelemszerűen az adott mennyiség maximális és minimális értékére utal.) Ennek megfelelően a keringési idő
T=2π(a1+a2)3γ(m1+m2).

 
A háromtest-probléma egy speciális esete

Most tekintsünk három, minden más objektumtól függetlennek tekinthető égitestet! A tömegek legyenek m1, m2 és m3, és a koordináta-rendszerünk origójának válasszuk most is a közös tömegközéppontot. Az ri koordináták és az r˙i sebességek (i=1,2,3) most az
m1r1+m2r2+m3r3=0ésm1r˙1+m2r˙2+m3r˙3=0(3)
egyenleteket elégítik ki. A három mozgásegyenlet:
r¨1=-γm2(r1,2)3(r1-r2)-γm3(r1,3)3(r1-r3),r¨2=-γm1(r1,2)3(r2-r1)-γm3(r2,3)3(r2-r3),r¨3=-γm2(r2,3)3(r3-r2)-γm1(r1,3)3(r3-r1),
ahol az előzőekhez hasonlóan az ri,j az i és j indexű tömegpontok távolsága. Ez a csatolt egyenletrendszer már kezelhetetlenül bonyolult, de igen egyszerűvé válik abban a speciális esetben, amikor r1,2=r1,3=r2,3=R, azaz a testek egy R oldalhosszú, egyenlő oldalú háromszög csúcsain helyezkednek el. Ekkor (3) segítségével mind a három az
r¨i=-γm1+m2+m3R3ri(i=1,2,3)(4)
alakra hozható.
Mi következik ebből? Nevezetesen az, hogy ha egy pillanatban mindhárom test sebessége ugyanúgy arányos a helyvektorával, azaz
r˙i=κri+ω×ri(i=1,2,3),(5)
akkor ez a mozgás során így is marad. Itt az első tag egy egyenletes tágulás, melyben a κ egy 1/s dimenziójú mennyiség, a második tag pedig egy egyszerű forgás, melyben az ω szögsebességvektor merőleges a három test síkjára. Ilyen sebességek mellett nyilván nem változik az ri helyvektorok egymáshoz viszonyított mérete és iránya, és (4) miatt az r˙i sebességek is arányosak maradnak a megfelelő helyvektorokkal, csak κ és a szögsebességvektor nagysága, ω változik az idővel. Következésképp ilyen kezdeti feltételek mellett a három test által kijelölt háromszög végig egyenlő oldalú marad, a
λi=riR(6)
arányok a mozgás során állandók, és a mozgásegyenletek
r¨i=-γλi3(m1+m2+m3)ri3ri(i=1,2,3)(7)
alakba írhatók. (A λi együtthatók csak a tömegarányoktól függenek, viszonylag könnyen megadhatók, de a magunk elé tűzött feladat szempontjából a konkrét alakjuk nem érdekes.)
A (7) és (1) egyenletek azonos alakja, és a háromszög arányainak változatlansága alapján állíthatjuk, hogy a három test egymáshoz hasonló kúpszeletpályákon mozog a közös tömegközéppont körül. Ugyan mindegyik más-más effektív centrális tömeget ,,lát'', de éppen ez biztosítja a pályák időbeli szinkronját. Ezzel összhangban ellipszispálya esetén bármelyik test keringési idejére ugyanaz adódik:
T=2πai3γλi3(m1+m2+m3)=2πa3γ(m1+m2+m3),
ahol
ai=ri,min+ri,max2,illetvea=Rmin+Rmax2.

Végezetül szólnunk kell a pálya alakját meghatározó feltételről. Senki nem lepődik meg azon, hogy azt most is az
E=-γm1m2+m1m3+m2m3R+12m1(r˙1)2+12m2(r˙2)2+12m3(r˙3)2(8)
teljes energia előjele határozza meg, de hogy ez hogyan hozható ki a (2)-ből formálisan adódó
-γmiλi3(m1+m2+m3)ri+12mi(r˙i)2(9)
kifejezésből, azt a Függelékben mutatjuk be.
 

Megjegyzések. 1. A cikkben tárgyalt problémák tartalmazzák egymást mint határesetet. Az ikercsillagnál minél nagyobb az egyik csillag tömege a másikénál, annál jobban megközelíti a rendszer a rögzített centrum esetét. Hasonlóan, ha a három test közül az egyik tömege lényegesen kisebb, mint a másik kettőé, az a kettő úgy mozog, mint ahogy azt az ikercsillagoknál látjuk.
2. Az ikercsillagok problémája a gravitációs kéttestprobléma általános esete, és a pályák a tömegközépponti rendszerben mindig kúpszeletek. Ezzel szemben a háromtest-probléma általános esete igen bonyolult, nem periodikus, és általában nem is síkmozgás: a három test síkja időben elfordulhat. Az itt tárgyalt eset csak nagyon speciális kezdeti feltételek mellett valósulhat meg, és attól különleges, hogy a testek távolságainak az aránya, így az általuk kitűzött síkidom alakja nem változik a mozgás során. A háromtest-problémának van egy másik olyan megoldáscsaládja is, melyben a távolságok aránya nem változik: a három test háromféle módon is elhelyezhető úgy egy egyenesen, hogy azok egy (5)-nek megfelelő kezdeti sebesség esetén egymással szinkronban, végig egy egyenesen maradva kúpszelet pályán mozogjanak. (Ezek az esetek paraméteresen sajnos nem, csak numerikusan tárgyalhatók.) Így ha két test (mondjuk a két nagyobb) pozícióját és a mozgásuk síkját megadjuk, a harmadik test öt olyan pozícióba helyezhető, melyekben szinkronizált mozgás lehetséges. Ebből három a két (nehezebb) test egyenesére esik (egyik helyzet a két test között, egy-egy pedig a két testen kívül), kettő pedig a fentebb tárgyaltaknak megfelelően az a két pont, amely ugyanolyan távol van az egyes testektől, mint azok egymástól. Abban az esetben, ha a legkisebb tömeg elhanyagolhatóan kicsiny a két nagyobb tömeghez képest, ezt az öt pontot egyik tanulmányozójukról2 a rendszer Lagrange-pontjainak nevezik. Érdekes még, hogy a nagy testek egyenesébe eső Lagrange-pontok instabilak, az oda helyezett objektumok bármilyen kicsi zavar esetén gyorsulva kimozdulnak, míg a másik két pont (a nehéz testek tömegarányának nagyságától függően) lehet stabil abban az értelemben, hogy az oda helyezett harmadik, kicsiny tömegű test a zavaró hatások ellenére is hosszú ideig az adott pont közelében marad. Ezzel függ össze, hogy a Naprendszerben kisbolygók és aszteroidák egész felhői találhatók a Nap-Jupiter rendszer megfelelő (a Jupitert 60-kal megelőző, illetve követő) Lagrange-pontjainak a környékén, de találhatók kisbolygók a Neptunusz, a Mars és a Föld pályájához tartozó stabil Lagrange-pontok közelében is.3

 
Függelék

Vegyük észre, hogy ha (9)-et beszorozzuk az
m1m2+m1m3+m2m3λi2mi(m1+m2+m3)
kifejezéssel, és kihasználjuk (6)-ot, akkor a kapott
-γm1m2+m1m3+m2m3R+12m1m2+m1m3+m2m3m1+m2+m3(r˙i)2λi2(F1)
mennyiség első tagja a teljes energia gravitációs része, tehát azt kell belátnunk, hogy a második tag éppen a teljes mozgási energia. Mivel az r˙i (5) szerinti felbontásában a két tag egymásra merőleges,
(r˙i)2=ri2(κ2+ω2).(F2)
Ennek és (6)-nak a következményeként (F1) második tagja
12m1m2+m1m3+m2m3m1+m2+m3R2(κ2+ω2).(F3)

 
Ha megmutatjuk, hogy
m1m2+m1m3+m2m3m1+m2+m3R2=(F4)=m1r12+m2r22+m3r32,


akkor igazoljuk, hogy (F3) a mozgási energia, tehát (F1) valóban a teljes energia. Márpedig (F4) fennáll, ahogy azt a mellékelt ábra segítségével könnyen beláthatjuk.

 
 

Ezen a háromszög oldala R, a geometriai súlypontja C, a fizikai tömegközéppontja S, a C-ből az S-be mutató vektor r, a C-ből és az S-ből az egyes tömegekhez mutató vektorok ci és ri. Az (F4) egyenlet jobb oldala a rendszer S-re vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka, amit a Steiner-tétel segítségével összeköthetünk a jól számítható C-re vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékkal. Eszerint
i=13miri2=i=13mici2-r2i=13mi.(F5)
Ugyanakkor a tömegközéppont definíciójából
i=13mici=ri=13mi.
Ezt az egyenletet négyzetre emelve és kihasználva, hogy cicj=13R2, ha i=j, és -16R2, ha ij, kiszámíthatjuk r2-et, és így (F5) jobb oldalát kiértékelve valóban megkapjuk (F4)-et.
1A cikkben azt a gyakorlatot követjük, hogy egy vektort és annak nagyságát ugyanaz a szimbólum jelöli, csak a vektort magát félkövér karakterrel szedjük; így pl. r az r vektor nagysága. Egy mennyiség jele fölé tett pont a mennyiség időbeli változásának ütemét jelzi, így r˙ a tömegpont sebessége, r¨ pedig a gyorsulása.

2Joseph-Louis Lagrange (1736‐1813) olasz születésű francia matematikus és fizikus, aki többek között a számelméletben, a matematikai analízisben és az égitestek mechanikájában ért el nagyon jelentős eredményeket.

3A Naprendszer különböző bolygóihoz tartozó Lagrange-pontok közelében elhelyezkedő természetes és mesterséges égitestek impozáns listája található a https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_objects_at_Lagrangian_points webhelyen.