Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2014/március, 130 - 131. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emelt szintű gyakorló feladatsor   I. rész     1. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2x^2-12x+107}{x^3-7x-6}=\frac{x^2+8x+16}{\left(x-3\right)\left(x^2+3x+2\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ (11 pont)     2. A lottósorsolás előtt a sorsoló gömbben elhelyeztek 90 golyót 1-től 90-ig megszámozva. $a)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy egyszerre két golyót kihúzva egy köbszám két egész szomszédja lesz a kisorsolt két szám? $b)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy egyszerre öt golyót kihúzva a húzott számok számjegyei mind párosak lesznek?  (12 pont)   3. $a)$ Az $x^2-\left(4k-2\right)x+y^2-\left(2k+4\right)y+c=0$ köregyenletben határozzuk meg a $k$ és a $c$ paraméter értékét úgy, hogy a kör érintse mindkét koordinátatengelyt. $b)$ Az $x^2-10x+y^2-10y+25=0$ egyenlettel megadott körvonalra illeszkedik az $ABC$ szabályos háromszög minden csúcsa. Adjuk meg a háromszög hiányzó csúcsainak koordinátáit, ha $A\left(5;10\right)$.  (14 pont)   4. $a)$ Hány olyan négyjegyű szám van, amely osztható 9-cel és 3-ra végződik? $b)$ Egy számtani sorozat első 33 páratlan sorszámú elemének összege $A$, az első 32 páros sorszámú elemének összege $B$, az első 32 páratlan sorszámú elemének összege pedig $C$. Tudjuk, hogy $A-B=323$ és $B-C=320$. Mennyi a sorozat 50. eleme?  (14 pont)   II. rész     5. $a)$ Két szabályos dobókockával dobunk, a pirossal dobott érték legyen $a$, a fehérrel dobott pedig legyen $b$. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két egész gyöke lesz az $a{x}^2+bx=0$ egyenletnek? $b)$ Három szabályos dobókockával dobunk, a pirossal dobott érték legyen $a$, a fehérrel dobott legyen $b$, a zölddel dobott pedig legyen $c$. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két azonos, egész gyöke lesz az $a{x}^2-bx+c=0$ egyenletnek? $c)$ Három szabályos dobókockával dobunk, a pirossal dobott érték legyen $a$, a fehérrel dobott legyen $b$, a zölddel dobott pedig legyen $c$. Mekkora a valószínűsége annak, hogy három különböző, pozitív egész gyöke lesz az $x^3-6x^2+\left(a+b\right)x-c=0$ egyenletnek?  (16 pont)   6. Adott három függvény a hozzárendelési szabályával a $\left[0;2\right]$ intervallumon: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(x\right)}& {\displaystyle =x^4-3x^2+\mathrm{3,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle g\left(x\right)}& {\displaystyle =2|x-1|+\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle h\left(x\right)}& {\displaystyle =2\text{sin}x\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tekintsük azokat a síkidomokat, amelyeket az $y$ tengely, az $x$ tengely, az $x=2$ egyenletű egyenes, valamint az adott függvény grafikonja határol. Határozzuk meg a három síkidom területét.  (16 pont)   7. Egy $a$ élhosszúságú kocka minden csúcsánál levágunk a kockából egy olyan háromoldalú gúlát (tetraédert), amelynek mindhárom oldaléle a kockaélek egy $b$ hosszúságú darabja lesz $\left(2b<a\right)$. A megmaradt test térfogata $\frac{47}{48}{a}^3$. $a)$ Hányadrésze a $b$ hosszúságú szakasz az $a$ élnek? $b)$ Adjuk meg a maradék test felszínét $a$-val, ha a $b$ harmada az $a$ élnek? $\begin{array}{c}\end{array}$ (16 pont)   8. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{{\left(17-12\sqrt[]{2}\right)}^x}+\sqrt[]{{\left(17+12\sqrt[]{2}\right)}^x}=\frac{10}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ (16 pont)     9. Egy fedőlap nélküli, négyzet alapú láda felülete $5\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$. Mekkora lehet a maximális térfogata a ládának? Adjuk meg ennek a maximális térfogatú ládának a méreteit is (a határoló lapok vastagságát vegyük nullának).  (16 pont)