Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2014/február, 71 - 72. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emelt szintű gyakorló feladatsor   I. rész     1. Péternek volt 84 000 Ft-ja, amit édesapja $p\%$-kal megnövelt. Ezt követően Péter a pénzének $\left(p-5\right)\%$-áért könyveket vásárolt. Ekkor annyi pénze maradt, mint amennyi eredetileg volt. Mennyibe kerültek a könyvek?  (11 pont)   2. Milyen háromszög oldalaira teljesül az $a^4+2b^2{c}^2=b^4+c^4$ összefüggés? $\begin{array}{c}\end{array}$ (12 pont)   3. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert az egész számpárok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{14}{x+3y-5}-\frac{15}{x+y+2}}& {\displaystyle =\mathrm{4,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{7}{x+3y}+\frac{9}{x+y}}& {\displaystyle =4.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ (14 pont)   4. Egy kiadó honlapján az olvasók szavazhattak arra, hogy szerintük mi volt 2013 legjellemzőbb szava. A játékosoknak három szót kellett ajánlani. László nagyon korán bekapcsolódott a játékba, és ekkor mindhárom szava felkerült a tízes listára. Az ekkori állást a következő táblázat mutatja:   ${\displaystyle \begin{array}{|cc|}\hline {\displaystyle \text{A szó}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{szavazatok száma}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Rezsicsökkentés}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{36}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ Okostelefon}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{25}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ Táblagép}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{24}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ Életpályamodell}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{21}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ Kedvesem}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{16}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ Nemzeti dohánybolt}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{15}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ Jobban teljesít}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{14}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ Devizahitel}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{11}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ Összefogás}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{10}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ Remény}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>1</mn></mphantom></math>8}}\hfill \\ \hline\end{array}}$   $a)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy kitaláljuk az általa ajánlott három szót, ha tudjuk, hogy ekkor pontosan egy szava szerepelt a legjobb három között? $b)$ Hányféle olyan ajánlás képzelhető el, amelynek mindhárom szava szerepel a listán? $c)$ Hányféle olyan ajánlás képzelhető el, amelynek mindhárom szava szerepel a listán, de nincsenek szomszédosak közöttük?  (14 pont)   II. rész   5. Egy 120 cm-szer 120 cm-es ablakba beilleszthető üvegtáblát az ábrán látható módon szeretnénk megosztani. (A négy ötszög egybevágó, az ötödik síkidom négyzet.) $a)$ Milyen határok között mozog ennek az osztóvonalnak a hossza? $b)$ Adjuk meg az osztóvonal hosszát centiméter pontossággal, ha az ablak belsejében kialakuló minta öt egyenlő területű         részből áll.  (16 pont)   6. Egy mértani sorozat első és harmadik elemének összege 50, a második és negyedik elemének összege pedig 350. A sorozat minden eleme pozitív egész szám, továbbá az első $n$ elem összege osztható 5-tel. $a)$ Adjuk meg a sorozat első négy elemét. $b)$ Határozzuk meg $n$ értékét.  (16 pont)   7. Adott az $ABC$ egyenlő szárú háromszög két szárának egyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle a:7x-4y=-\mathrm{24,}b:x-8y=\mathrm{4,}}\end{array}$ továbbá a harmadik oldalára illeszkedő $P\left(10;4\right)$ pont. $a)$ Adjuk meg a szárak $C$ metszéspontját. $b)$ Írjuk fel a $C$ csúcsra illeszkedő belső szögfelező egyenletét. $c)$ Írjuk fel a háromszög harmadik oldalegyenesének egyenletét.  (16 pont)   8. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(2-4\sqrt[]{3}\right)\text{cos}{}^{2}x+2\text{sin}x\text{cos}x+\left(2-2\sqrt[]{3}\right)\text{sin}{}^{2}x=2-3\sqrt[]{3}+\sqrt[]{2}\mathrm{.}}\end{array}$ (16 pont)     9. Ha a $\left[-3;3\right]$ intervallumon értelmezett $f\left(x\right)=2|x+1|+2|x-1|$ és $g\left(x\right)=x^2$ hozzárendelésű függvények görbéjét az $y$ tengely körül megforgatjuk, akkor két pohár belső felületét kapjuk. A koordinátarendszer egysége pontosan 1 cm. Adjuk meg a két pohár térfogatának különbségét. A számolás során ‐ ha szükséges ‐ felhasználhatjuk, hogy az $\left[a;b\right]$-n értelmezett $f\left(x\right)$ függvény grafikonjának az $x$ tengely körüli megforgatásával kapott test térfogata: $\begin{array}{c}{\displaystyle \pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx\mathrm{.}}\end{array}$ (16 pont)