Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2011/április, 194 - 195. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emelt szintű gyakorló feladatsor   I. rész     1. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2x^2-1961x+4000}{x^2-2011x+2010}-\frac{x^2+51x-20}{\left(x-2010\right)\left(x-1\right)}=0.}\end{array}$    (11 pont)     2. Nagymama konyháját az ábrán látható négyzet alakú járólapokkal burkolták. A lap belsejében a mintát alkotó szakaszok mindegyike 5,8 cm hosszú. A nyolc egybevágó rombuszból négy fehér, négy piros, a lap többi része szürke. $a)$ Adjuk meg egy járólap méretét milliméterre kerekítve.       $b)$ A járólap területének hány százaléka piros, és hány százaléka szürke?   $c)$ Egy járólapot a középpontján át, két fehér rombusz átlója mentén kettévágunk. Milyen hosszú a vágás?  (13 pont)     3. Határozzuk meg azt a pozitív egész $x$ értéket, amelyre a következő összeg egészekre kerekítve 2540 lesz. $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_x\left(5\cdot \sqrt[]{\frac{1}{2}}\right)+\text{log}{}_x\left(5^2\cdot \sqrt[]{\frac{2}{3}}\right)+\text{log}{}_x\left(5^3\cdot \sqrt[]{\frac{3}{4}}\right)+\text{...}+\text{log}{}_x\left(5^{99}\cdot \sqrt[]{\frac{99}{100}}\right)\mathrm{.}}\end{array}$  (13 pont)       4. Adjuk meg a következő hozzárendeléssel adott függvények legbővebb értelmezési tartományát és a hozzátartozó értékkészletet, ha mindkét halmaz csak egész számokból áll: $\begin{array}{c}{\displaystyle a)f\left(x\right)=\sqrt[]{\frac{5-x}{x+7}};b)g\left(x\right)=\left|\frac{5-x}{x+7}\right|\mathrm{.}}\end{array}$    (14 pont)   II. rész     5. Az $f\left(x\right)$ egy másodfokú függvény, a $g\left(x\right)$ pedig egy lineáris törtfüggvény. Tudjuk, hogy $f\left(0\right)=g\left(0\right)=0$, $f\left(1\right)=g\left(1\right)=-1$, $f\left(3\right)=3$, a $g\left(3\right)$ pedig nem értelmezhető. $a)$ Határozzuk meg az $f\left(44\right)$ értékét. $b)$ Határozzuk meg a $g\left(9\right)$ értékét. $c)$ Hány megoldása lehet az $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ egyenletnek? Adjuk meg a gyököket. $\begin{array}{c}\end{array}$ (16 pont)   6. Az ábrán látható szürkére festett vaskerítés nyolc egymás melletti résén szeretnénk átdobni egy kislabdát. A kerítés 4 cm széles vasrudakból készült. Egy kerítéselem szélessége 164 cm, magassága 78 cm, a labda átmérője 8 cm. Dobásunk véletlenszerűnek tekinthető, de a kerítéselem téglalapját biztosan eltaláljuk (a labda középpontjával).     $a)$ Mekkora valószínűséggel tudjuk átdobni a labdát a kerítés résein úgy, hogy az ne érintkezzen a kerítéssel? $b)$ Mekkora labda esetén lesz ez a valószínűség 0,5?  (16 pont)   7. Adott a koordinátarendszerben az $S\left(-1;3\right)$ és az $L\left(9;3\right)$ pont. $a)$ Adjuk meg azokat a $Z$ pontokat koordinátáikkal, amelyekre az $SZL$ háromszög derékszögű és a területe 20. $b)$ Adjuk meg azoknak a $Z\left(x;y\right)$ pontoknak a halmazát, amelyekre $S{Z}^2+L{Z}^2=68$.  (16 pont)   8. Oldjuk meg a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{\text{sin}{}^{6}x+\text{cos}{}^{6}x}+\sqrt[]{\text{sin}{}^{4}x+\text{cos}{}^{4}x}+\sqrt[]{\text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}x}=\frac{3\sqrt[]{2}+2}{2\sqrt[]{2}}\mathrm{.}}\end{array}$    (16 pont)   9. Az $A\left(1;0\right)$, $B\left(1;6\right)$, $C\left(6;1\right)$, $D\left(6;0\right)$ pontok által meghatározott négyszög $BC$ oldalát először helyettesítsük a $K\left(6;6\right)$ középpontú és $r=5$ sugarú kör $B$ és $C$ közötti rövidebb ívével, másodszor pedig az $f\left(x\right)=\frac{6}{x}$ hozzárendeléssel adott függvény grafikonjának a $B$ és $C$ közötti darabjával. $a)$ Határozzuk meg mindkét esetben az $ABCD$ síkidom területét. Melyik a nagyobb? $b)$ Adjuk meg a $B$ és $C$ pontokat összekötő két görbe vonal közös pontjainak koordinátáit.  (16 pont)