Cím: Megoldásvázlatok a 2013/3. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2013/április, 210 - 217. oldal  PDF file

Megoldásvázlatok a 2013/3. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
 

Számadó László
Budapest
 

I. rész
 

 
1. Egy (pozitív számokat tartalmazó) mértani sorozat szomszédos elemeinek különbségét sorban egymás mellé írtuk. Igazoljuk, hogy az így kapott sorozat is mértani sorozat, ahol q1. Adjuk meg az így kapott mértani sorozat első elemét és hányadosát.  (11 pont)
 
 
Megoldás. Legyen az eredeti mértani sorozat első eleme a1, a hányadosa q. Ekkor a sorozat első néhány eleme: a1, a1q, a1q2, a1q3, a1q4, a1q5, ... .
A szomszédos elemek különbsége sorban:
a1q-a1,a1q2-a1q,a1q3-a1q2,...,a1qn-a1qn-1,....
Kiemelünk a1-et:
a1(q-1),a1(q2-q),a1(q3-q2),...,a1(qn-qn-1),....
A második elemtől kezdve q is kiemelhető, mindig eggyel növekvő kitevővel:
a1(q-1),a1q(q-1),a1q2(q-1),...,a1qn-1(q-1),....
Vagyis az így kapott sorozat valóban mértani sorozat.
Az első elem: a1(q-1), a hányados: q.
 
 
2. a) Réka környezetbarát mosógélt árusít 3 literes kiszerelésben. Negyvenöt darab színes cédulát tett egy kis kosárba. Ezen cédulák közül tizennyolc ,,egy ajándék'', tizenöt ,,két ajándék'', és tizenkettő ,,három ajándék'' szöveget tartalmaz. A vásárlók egy cédulát húznak a vásárlás előtt, és a rajta levő szövegek alapján ajándékot kapnak a következő sorrendben: 810 Ft-os univerzális tisztítószert, 510 Ft-os textilöblítőt, 290 Ft-os mosogatószert. Ezután a cédulát visszateszik a kosárba.
Vásárlás előtt László is húz egy cédulát. Mekkora valószínűséggel fog három ajándékot kapni?
Mennyi legyen a mosógél literjének ára, ha a forgalmazó cég átlagosan 535 Ft-os bevételt szeretne literenként kapni?
b) Elfelejtettük a telefon bekapcsolásához szükséges négyjegyű kódot. Csak azt tudjuk, hogy négy egymást követő pozitív számjegyből állt, de nem növekedő, és nem csökkenő sorrendben követik egymást a számjegyek. Hány ilyen négyjegyű szám van?  (13 pont)

 
 
Megoldás. a) A kis kosárban negyvenöt cédula található, ezek közül csak tizenkettő megfelelő. Azt feltételezhetjük, hogy minden cédula kihúzásának ugyanannyi a valószínűsége, ezért alkalmazhatjuk a klasszikus valószínűség-számítási modellt, azaz a kedvező esetek számát elosztjuk az összes eset számával:
P(három ajándék)=1245=4150,27.
Legyen a mosógél literenkénti ára x Ft. Ekkor a 3 literes csomag ára 3x Ft. Minden vásárló húz egy cédulát, vagyis mindenki kap valamilyen értékben ajándékot, amit a 3 literes csomag árából le kell vonnunk.
Tudjuk, hogy a negyvenöt cédulából tizennyolc ,,egy ajándék'', tizenöt ,,két ajándék'', és tizenkettő ,,három ajándék'' szöveget tartalmaz. Alkalmazhatjuk a klasszikus valószínűség-számítási modellt:
P(három ajándék)=1245=415,P(kettő ajándék)=1545=13,P(egy ajándék)=1845=25.
A forgalmazó cég átlagosan 1605 Ft bevételt szeretne a 3 literes csomagért.
Tudjuk, hogy egy vásárló 415 valószínűséggel 3x-810-510-290,
 
13 valószínűséggel 3x-810-510, és 25 valószínűséggel 3x-810 Ft-ot fizet a 3 literes mosógélért. Vagyis:
415(3x-810-510-290)+13(3x-810-510)+25(3x-810)=1605.
Az egyenletet rendezve:

4(3x-1610)+5(3x-1320)+6(3x-810)=24075,(12x-6440)+(15x-6600)+(18x-4860)=24075,45x-17900=24075,x932,8.

Vagyis a mosógél literenkénti ára kerekítve 933 Ft legyen (ekkor a 3 literes kiszerelésű csomagot 2799 Ft-ra lehet beárazni).
b) A lehetséges számjegynégyesek a következők:
 
  1, 2, 3, 4;  2, 3, 4, 5;  3, 4, 5, 6;  4, 5, 6, 7;  5, 6, 7, 8;  6, 7, 8, 9.  
 
Mindegyikből 24 darab négyjegyű szám készíthető, de ezek között kettő nem lesz megfelelő (a növekedő és a csökkenő sorrendűek). Vagyis 132 megfelelő négyjegyű szám van.
 
3. A 6 egység oldalhosszúságú, vízszintes síkban elhelyezkedő ABCDEF szabályos hatszög minden csúcsában, a hatszög síkjára merőlegesen, a síknak ugyanazon az oldalán áll egy-egy szakasz. Ezeknek a szakaszoknak a hossza:
AA'=2,BB'=92,CC'=7,DD'=192,EE'=12,FF'=292.

a) Milyen hosszú az A'B'C'D'E'F' töröttvonal?
b) Határozzuk meg az A'D', B'E', C'F' azon pontpárjait, amelyek pontosan egymás fölött helyezkednek el, majd határozzuk meg az ezen pontpárok közötti távolságokat.

 
Megoldás. A szöveg alapján készítettünk egy vázlatrajzot.
 
 

Az adatok alapján megállapíthatjuk, hogy a következő derékszögű háromszögek egybevágók:

A'B1B'B'C1C'C'D1D'D'E1E'E'F1F'.



Ezen háromszögek átfogói alkotják a töröttvonal öt darabját. Egy ilyen szakasz hossza a Pitagorasz-tétellel számolva:
A'B'=62+(52)2=132.
A töröttvonal hiányzó darabja, az A'F' is egy derékszögű háromszög átfogója. Az A'F2F' derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tétel:
A'F'=62+(252)2=36+6254=7692.
Vagyis a töröttvonal hossza:
5132+7692=65+769246,37.

b) Legyen az ABCDEF szabályos hatszög középpontja K, az A'D' felezőpontja P1, a B'E' felezőpontja P2, a C'F' felezőpontja pedig P3. Amikor a hatszög síkjára merőlegesen ránézünk, akkor ezt a négy pontot egybeesőnek látjuk. Meghatározzuk a KP1, KP2 és KP3 szakaszok hosszát a szintkülönbségek megállapításához. Ezek a szakaszok rendre az ADD'A', BEE'B', CFF'C' trapézok középvonalai, ezért:

KP1=2+1922=234,KP2=92+122=334,KP3=7+2922=434.
Tehát a sorrend a szintkülönbségekkel: a P3 van a legmagasabban,
 
52-del alatta helyezkedik el a P2, és ez alatt található szintén 52-re a P1.
 
4. Tekintsük a következő, általános tagjával adott sorozatot:
an=an2+(2a+b)n-(b2-b-a).
Mutassuk meg, hogy ha a és b egész számok, akkor a sorozat bármely öt egymást követő tagjának összege osztható 5-tel.  (14 pont)

 
Megoldás. Legyen az öt egymást követő tag összege: an-2+an-1+an+an+1+an+2. A sorozat általános tagjára vonatkozó képlet alapján ezt így írhatjuk:
a(n-2)2+(2a+b)(n-2)-(b2-b-a)++a(n-1)2+(2a+b)(n-1)-(b2-b-a)++an2+(2a+b)n-(b2-b-a)++a(n+1)2+(2a+b)(n+1)-(b2-b-a)++a(n+2)2+(2a+b)(n+2)-(b2-b-a)==(5n2+10)a+5n(2a+b)-5(b2-b-a)==5(an2+2a+2an+bn-b2+b+a).


A zárójelben álló kifejezés nyilvánvalóan egész.
Vagyis a sorozat bármely öt egymást követő tagjának összege valóban osztható 5-tel.
 

II. rész
 

 
5. Oldjuk meg a következő egyenleteket:
a) 23x-22x-2x+1=0;
b) sin3x-sin2x-sinx=0.  (16 pont)

 
Megoldás. a) Ha kiemelünk az egyenlet bal oldalán 2x-t, akkor a következő alakban is írhatjuk az egyenletet:
2x[(2x)2-2x-2]=2x(2x-2)(2x+1)=0.
Azaz három lehetőség adódott a 2x értékére: 0, 2 és -1.
A 2x hozzárendelésű exponenciális függvény értékkészlete alapján tudjuk, hogy csak a 2 a lehetséges érték. Ekkor x=1.
Az egyenlet egyedüli megoldása az 1.
b) Használhatjuk a függvénytáblázatban is szereplő addíciós képletek közül az ide megfelelőeket.

(sin2xcosx+cos2xsinx)-2sinxcosx-sinx=0,2sinxcos2x+(cos2x-sin2x)sinx-2sinxcosx-sinx=0.
Emeljünk ki sinx-et az egyenlet bal oldalán:

sinx(2cos2x+cos2x-sin2x-2cosx-1)=0,sinx(3cos2x-sin2x-2cosx-1)=0,sinx(3cos2x+cos2x-1-2cosx-1)=0,sinx(4cos2x-2cosx-2)=0,sinx(2cos2x-cosx-1)=0.

Egy szorzat akkor lesz nulla, ha legalább egy tényezője 0. Két esetet kapunk:
I. sinx=0. Ekkor x1=k1π, ahol k1Z.
II. 2cos2x-cosx-1=0.
(cosx)1=1+1+84=1+34=1,(cosx)2=1-1+84=1-34=-12.

i) (cosx)1=1. Ekkor x2=k22π, ahol k2Z.
ii) (cosx)2=-12. Ekkor x3=2π3+k32π, ahol k3Z, x4=4π3+k42π, ahol k4Z.
A fenti megoldásokat így is írhatjuk rövidebben: x5=k52π3, ahol k5Z, x6=π+k62π, ahol k6Z.
 
6. Egy 0,5 méter széles és 1,2 méter hosszú bútorlap hosszabb éle a vízszintes talajra illeszkedik, a vele párhuzamos él pedig 30 cm magasságban helyezkedik el.
a) Mennyi az emelkedési szöge a bútorlap egyik átlóján felfelé haladó hangyának?
b) Mennyit változik ez a szög, ha az alsó él egyik harmadolópontjából a felső él nem szemközti harmadolópontjába igyekszik ez a hangya?
c) Határozzuk meg a két útvonal hajlásszögét.  (16 pont)

 
Megoldás. A szöveg alapján készíthetünk egy vázlatrajzot. A rajzon szereplő hosszúságokat méterben adtuk meg.
 
 

Haladjon a hangya az AC átlón felfelé, ekkor a második útvonal lehet a H1Q1 vagy a H2Q2. Természetesen ezeknek a szakaszoknak a vízszintessel bezárt szöge egyenlő, csak a c) részben lesz fontos, hogy kétféle útvonal is lehetséges.
a) AzABC derékszögű háromszögben Pitagorasz-tétellel: AC=1,3. A kérdéses emelkedési szög az AP1C derékszögű háromszög A csúcsánál lévő α hegyesszöggel egyenlő: sinα=0,31,3, amiből α13,34.
b) A kérdéses emelkedési szög az H1TQ1 derékszögű háromszög H1 csúcsánál lévő β hegyesszöggel egyenlő. A H1H2Q1 derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tétellel
H1Q1=0,42+0,52=0,41.
 
Ekkor a H1TQ1 derékszögű háromszögben sinβ=0,30,41, amiből β27,94. A H2Q2 harmadolópontokat összekötő szakasz emelkedési szögére ugyanez adódik.
Vagyis 14,6-kal nagyobb lesz a szög.
c) A hajlásszöget meghatározhatjuk például koszinusztétellel. Mivel a hangya második útja az elsőhöz képest kétféle lehet, azért a b) részhez hasonlóan két esetet kell néznünk. Tudjuk, hogy
AK=AC2=1,32=0,65,ésH1K=H2K=H1Q12=0,412=0,1025.

I. eset: Az AKH1 háromszög K csúcsánál lévő γ szög a keresett hajlásszögre az egyik lehetőség. Felírjuk az AKH1 háromszög K csúcsánál lévő γ szögre a koszinusztételt:
 
0,42=0,652+(0,1025)2-20,650,1025cosγ.

 
Ebből: cosγ0,8770, azaz γ28,72.
II. eset: Az AKH2 háromszög K csúcsánál lévő δ szög a keresett hajlásszögre a másik lehetőség (vagy a kiegészítő szöge, ha δ tompaszög). Felírjuk az AKH2 háromszög K csúcsánál lévő δ szögre is a koszinusztételt:
 
0,82=0,652+(0,1025)2-20,650,1025cosδ.
 

Ebből: cosδ-0,2763, azaz δ106,04, aminek a kiegészítő szöge 180-δ73,96.
A két útvonal hajlásszöge kerekítve: vagy 28,72, vagy 73,96.
 
7. Oldjuk meg a következő egyenletet:
x-8-560x-32=19x-8x-32.(16 pont)

 
Megoldás. Meghatározzuk a feladat értelmezési tartományát: x-8x-320, azaz
x]-;8]]32;]. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát (x-32)-vel, és rendezzük ez egyenletet:
 
(x-8)(x-32)-19(x-32)x-8x-32-560=0.

 
I. eset: Ha x]-;8], akkor x-32<0, ezért az egyenlet így írható:
 
(x-8)(x-32)+19(x-8)(x-32)-560=0.

 
Ez másodfokú egyenlet (x-8)(x-32)-re nézve.
 


((x-8)(x-32))1=-19+192+45602=-19+512=16,((x-8)(x-32))2=-19-192+45602=-19-512=-35.
Csak a pozitív megoldás jöhet szóba:
 

(x-8)(x-32)=16,(x-8)(x-32)=256,x2-40x=0,x1=0,x2=40.

 
A vizsgált intervallumba csak az x1=0 esik.
II. eset: Ha x]32;], akkor x-32>0, ezért az egyenlet így írható:
 
(x-8)(x-32)-19(x-8)(x-32)-560=0.
 

Ez is másodfokú egyenlet (x-8)(x-32)-re nézve.

((x-8)(x-32))3=19+192+45602=19+512=35,((x-8)(x-32))4=19-192+45602=19-512=-16.

Most is csak a pozitív megoldás jöhet szóba:

(x-8)(x-32)=35,(x-8)(x-32)=1225,x2-40x-969=0,x3=57,x4=-17.

A vizsgált intervallumba csak az x3=57 esik.
Az egyenlet két megoldása az x1 és az x3. (Ellenőrzéssel látható, hogy jól számoltunk, ezek valóban megoldásai az egyenletnek.)
 
8. Az A(1;2), B(12;4) és C(4;8) csúcsokkal megadott háromszögnek adjuk meg a
a) súlypontját;
b) legnagyobb szögét;
c) CP2+CQ2 értékét, ahol a P pont a C csúcsból induló belső, a Q pont pedig a C csúcsból induló külső szögfelező és az AB oldalegyenes metszéspontja.  (16 pont)

 
Megoldás. a) Ismert, hogy a súlypont koordinátái a csúcsok megfelelő koordinátáinak számtani közepével egyenlő: S(1+12+43;2+4+83), azaz S(173;143).
b) Két pont távolsága meghatározható a pontok koordinátáinak ismeretében:

AB=(12-1)2+(4-2)2=125;BC=(12-4)2+(4-8)2=80;AC=(4-1)2+(8-2)2=45.

Láthatóan: AC2+BC2=AB2, így a Pitagorasz-tétel megfordítása miatt a C csúcsnál derékszög van. Vagyis a háromszög legnagyobb szöge 90.
c) Alkalmazzuk a belső szögfelező osztásarányára vonatkozó tételt: APBP=ACBC. Az oldalhosszak ismeretében:
ACBC=4580=3545=34.
Legyen AP=3x, BP=4x. Ezek alapján: 3x+4x=125, amiből x=1257. Tehát
AP=31257=1557.
Alkalmazzuk a külső szögfelező osztásarányára vonatkozó tételt:
 
AQBQ=ACBC. Már tudjuk az oldalhosszak ismeretében: ACBC=34.
Legyen AQ=3y, BQ=4y. Ezek alapján: 4y-3y=125, amiből y=125. Tehát AQ=3125=155.
Megadható PQ a két szakasz hosszával:
PQ=AP+AQ=1557+155=12075.
Mivel PQ az átfogója az PCQ derékszögű háromszögnek (a belső és a külső szög mindig merőleges egymásra), azért CP2+CQ2=PQ2. Ezek alapján a kérdéses négyzetösszeg:
(12075)2=12025491469,39.

 
9. Határozzuk meg a következő határozott integrálok értékét:
a)  -14(x2-2x+2)dx;
b)  -ππ(x+cosx)dx;
c)  12(ex-1x)dx;
d)  01(2x+1)4dx.

 
Megoldás.
a)
-14(x2-2x+2)dx=[x33-2x22+2x]-14==(433-2422+24)-((-1)33-2(-1)22-2)=503.

 

b)
-ππ(x+cosx)dx=[x22+sinx]-ππ=(π22+sinπ)-((-π)22+sin(-π))==sinπ-sin(-π)=0.

 
c)
12(ex-1x)dx=[ex-ln|x|]12=(e2-ln2)-(e-ln1)=e2-e-ln2.

 
d)
01(2x+1)4dx=01(16x4+32x3+24x2+8x+1)dx==[16x55+32x44+24x33+8x22+x]01=165+8+8+4+1=1215.