Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Gerőcs László
Füzet:	2011/november, 466 - 468. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emelt szintű gyakorló feladatsor   Gerőcs László Budapest   I. rész     1. Az ábrán egy olyan pályát látunk, mely 2011 db négyzetből áll. A négyzetekbe számokat írtunk 1-től 5-ig egymás után a pálya végéig.     Az első négyzeten áll egy bábu. Mindig annyit lépünk a bábuval, amennyi azon a négyzeten látható, amelyen a bábu éppen tartózkodik. Számítsuk ki azoknak a számoknak az összegét, amely számokra nem lép rá a bábu, míg a pályán végighalad.  (10 pont)   2. Egy nagy cégnek 1320 dolgozója van. A dolgozók 60%-a a cég menzáján étkezik. A menzára járók számának és a cég dolgozói számának aránya $\frac{6}{5}$-ször akkora, mint a menzára járó férfiak és a cég férfi dolgozóinak aránya. A menzára járó férfiak és a cég férfi dolgozóinak aránya és a menzára járó nők és a cég női dolgozóinak aránya pedig úgy aránylik egymáshoz, mint $2:3$. Hány férfi és hány nő dolgozik ennél a cégnél?  (13 pont)   3. Egy raktárban 13 nagy dobozt tárolnak. E dobozok közül néhányban van 13-13 db közepes méretű doboz. A közepes méretű dobozok közül néhányba 13-13 kisebb dobozt tettek. Az üres dobozok száma 205. Hány doboz van a raktárban? $\begin{array}{c}\end{array}$ (14 pont)   4. Négy dobozba piros és fekete golyókat helyeztünk el az ábra szerint.     Minden dobozból véletlenszerűen kiveszünk egy-egy golyót. Igazoljuk, hogy annak a valószínűsége, hogy mind a négy kivett golyó piros, ugyanannyi, mint annak a valószínűsége, hogy mind a négy golyó fekete.  (14 pont)   II. rész     5. Az ábrán egy autó hátsó szélvédőjét és annak ablaktörlőjét látjuk. Ez egy 10 cm-es és egy 20 cm-es, egymáshoz ${120}^{\circ }$-os szögben csatlakozó kar, melynek 10 cm-es darabja a hajtókar, 20 cm-es darabja a gumilapát. A hajtókar a szimmetrikus trapéz alakú hátsó ablak hosszabbik alapjának $F$ felezőpontja körül tud elfordulni ${120}^{\circ }$-os szögben. (A hátsó ablakot tekintsük síkbeli alakzatnak.)     $a)$ Milyen távol van a gumilapát $P$ végpontja az ablak $CD$ oldalától, amikor a legközelebb van hozzá? $b)$ Hány százalékát törli le a gumilapát a hátsó ablaknak?  (16 pont)   6. Az ábrán egy építendő háztömb és a hozzá tartozó mélygarázs alaprajzát látjuk. A háztömb alaprajza három egymás mellé helyezett négyzet, melyek oldalai: 50 m, 40 m és 30 m. A mélygarázs alakja egy olyan $DEGH$ téglalap, melynek hosszabbik $DE$ oldala a rövidebb oldalának másfélszerese.       $a)$ Mekkora a mélygarázs területe? $b)$ A garázs kocsibejárója az $EG$ oldal $F$ felezőpontjában lesz. A háztömb $A$ csúcsánál lesz egy lejárat a pincébe, ahonnan a $B$ pontnál egy ajtón át lehet kijutni a mélygarázsba. Milyen hosszú a $BF$ szakasz?  (16 pont)   7. Adott a valós számok halmazán értelmezett $f\left(x\right)=x^2+bx+c$ függvény. A függvényérték valamely $k$ valós számra $f\left(k\right)=190\mathrm{,}1$. Számítsuk ki az alábbi összeget:   8. $a)$ Oldjuk meg a $\sqrt[]{\text{log}{}_{\frac{1}{2}}^{2}x-10\text{log}{}_{\frac{1}{2}}x+25}\ge 1$ egyenlőtlenséget a valós számok halmazán. $b)$ Legyen $0\le x\le 5$. Igazoljuk, hogy ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{-x^2-2x+35}+\sqrt[]{x+20-x^2}\le 10\mathrm{,}5.}\end{array}$ (16 pont)   9. Adott a valós számok halmazán értelmezett függvénysereg: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=x^3+\left(a-1\right)x^2-\left(2a+2\right)x+a-4.}\end{array}$ $a)$ Bizonyítsuk be, hogy ha $a$ egész szám, akkor $f\left(-1\right)+f\left(0\right)+f\left(1\right)+f\left(2\right)$ osztható 6-tal. $b)$ Határozzuk meg a függvény zérushelyeit, ha $a=4$. $c)$ Valamely $a$-ra a függvény $x=2$ helyhez tartozó érintője áthalad az origón. Írjuk fel az érintő egyenletét.  (16 pont)