Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Gerőcs László 
Füzet: 2011/november, 466 - 468. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

Emelt szintű gyakorló feladatsor
 

Gerőcs László
Budapest
 

I. rész
 

 
1. Az ábrán egy olyan pályát látunk, mely 2011 db négyzetből áll. A négyzetekbe számokat írtunk 1-től 5-ig egymás után a pálya végéig.
 
 

Az első négyzeten áll egy bábu. Mindig annyit lépünk a bábuval, amennyi azon a négyzeten látható, amelyen a bábu éppen tartózkodik. Számítsuk ki azoknak a számoknak az összegét, amely számokra nem lép rá a bábu, míg a pályán végighalad.  (10 pont)
 
2. Egy nagy cégnek 1320 dolgozója van. A dolgozók 60%-a a cég menzáján étkezik. A menzára járók számának és a cég dolgozói számának aránya 65-ször akkora, mint a menzára járó férfiak és a cég férfi dolgozóinak aránya. A menzára járó férfiak és a cég férfi dolgozóinak aránya és a menzára járó nők és a cég női dolgozóinak aránya pedig úgy aránylik egymáshoz, mint 2:3. Hány férfi és hány nő dolgozik ennél a cégnél?  (13 pont)
 
3. Egy raktárban 13 nagy dobozt tárolnak. E dobozok közül néhányban van 13-13 db közepes méretű doboz. A közepes méretű dobozok közül néhányba 13-13 kisebb dobozt tettek. Az üres dobozok száma 205. Hány doboz van a raktárban?
  (14 pont)
 
4. Négy dobozba piros és fekete golyókat helyeztünk el az ábra szerint.
 
 
Minden dobozból véletlenszerűen kiveszünk egy-egy golyót. Igazoljuk, hogy annak a valószínűsége, hogy mind a négy kivett golyó piros, ugyanannyi, mint annak a valószínűsége, hogy mind a négy golyó fekete.  (14 pont)
 

II. rész
 

 
5. Az ábrán egy autó hátsó szélvédőjét és annak ablaktörlőjét látjuk. Ez egy 10 cm-es és egy 20 cm-es, egymáshoz 120-os szögben csatlakozó kar, melynek 10 cm-es darabja a hajtókar, 20 cm-es darabja a gumilapát. A hajtókar a szimmetrikus trapéz alakú hátsó ablak hosszabbik alapjának F felezőpontja körül tud elfordulni 120-os szögben. (A hátsó ablakot tekintsük síkbeli alakzatnak.)
 
 

a) Milyen távol van a gumilapát P végpontja az ablak CD oldalától, amikor a legközelebb van hozzá?
b) Hány százalékát törli le a gumilapát a hátsó ablaknak?  (16 pont)
 
6. Az ábrán egy építendő háztömb és a hozzá tartozó mélygarázs alaprajzát látjuk. A háztömb alaprajza három egymás mellé helyezett négyzet, melyek oldalai: 50 m, 40 m és 30 m. A mélygarázs alakja egy olyan DEGH téglalap, melynek hosszabbik DE oldala a rövidebb oldalának másfélszerese.
 
 
 

a) Mekkora a mélygarázs területe?
b) A garázs kocsibejárója az EG oldal F felezőpontjában lesz. A háztömb A csúcsánál lesz egy lejárat a pincébe, ahonnan a B pontnál egy ajtón át lehet kijutni a mélygarázsba. Milyen hosszú a BF szakasz?  (16 pont)
 
7. Adott a valós számok halmazán értelmezett f(x)=x2+bx+c függvény. A függvényérték valamely k valós számra f(k)=190,1. Számítsuk ki az alábbi összeget:
f(k-1)+f(k+1)+f(k-2)+f(k+2)+...
 
(16 pont)   +f(k-5)+f(k+5).  
 (16 pont)



 
8. a) Oldjuk meg a log122x-10log12x+251 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán.
b) Legyen 0x5. Igazoljuk, hogy ekkor
-x2-2x+35+x+20-x210,5.(16 pont)


 
9. Adott a valós számok halmazán értelmezett függvénysereg:
f(x)=x3+(a-1)x2-(2a+2)x+a-4.

a) Bizonyítsuk be, hogy ha a egész szám, akkor f(-1)+f(0)+f(1)+f(2) osztható 6-tal.
b) Határozzuk meg a függvény zérushelyeit, ha a=4.
c) Valamely a-ra a függvény x=2 helyhez tartozó érintője áthalad az origón. Írjuk fel az érintő egyenletét.  (16 pont)