Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Simon János
Füzet:	2012/november, 465 - 467. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emelt szintű gyakorló feladatsor   I. rész     1. Egy iskola 520 tanulójával 9 kérdésből álló tesztet töltettek ki. A kérdésekre igennel vagy nemmel lehetett válaszolni. Mindenki válaszolt az összes kérdésre. Az értékelés úgy történt, hogy a $k$. kérdésre adott jó válasz $k$ pontot, rossz válasz $-k$ pontot ért. $a)$ Mutassuk meg, hogy biztosan volt két tanuló, aki ugyanúgy töltötte ki a tesztlapot. $b)$ Legalább hány tanulónak volt ugyanannyi pontja az értékelés után? $\begin{array}{c}\end{array}$ (11 pont)     2. $a)$ Állítsuk elő a 2012-t szomszédos természetes számok összegeként. $b)$ Egy számtani sorozat első 2013 elemének összege 2012. Az első 2012 elem közül a páros indexűek összege eggyel több, mint a páratlan indexűek összege. Határozzuk meg a sorozat első elemét.  (13 pont)     3. Adott a valós számokon értelmezett $\begin{array}{c}{\displaystyle I\left(x\right)=\underset{-2}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt}\end{array}$ függvény, és tudjuk, hogy $f\left(t\right)=3t^2+4t-1$. Határozzuk meg az $I\left(x\right)$ zérushelyeit, és azokat az intervallumokat, melyeken konvex, illetve konkáv a függvény. $\begin{array}{c}\end{array}$ (13 pont)     4. A párizsi Louvre üvegpiramisának (szabályos négyoldalú gúla) alapélét vegyük 34 m-nek, magasságát pedig 22 m-nek. $a)$ Mekkora felületet kell az ablakmosó csapatnak letisztítania, ha kívülről és belülről is lemossák az üveglapokat? Éjszaka a piramist oszlopokon álló reflektorokkal szeretnék megvilágítani. Az oszlopokat egy négyzet csúcsaiban állítják fel, melynek oldalfelező pontjai a piramis alapjának csúcsai. $b)$ Milyen magasan kell a reflektorokat az oszlopon elhelyezni, hogy a belőlük kiinduló fénysugarak az oldallapok súlypontjaiban merőlegesen essenek az üvegfelületekre?  (14 pont)   II. rész     5. Adott az $f\left(x\right)=\text{log}{}_2\left(x+4\right)+1$ hozzárendelésű függvény. Tudjuk, hogy az $A_{n}O{C}_n$ háromszögek egyenlőszárú, $O$-nál derékszögű háromszögek, ahol $A_n$ az $f\left(x\right)$ függvény grafikonjának egy pontja, $O$ pedig az origó. $a)$ Ábrázoljuk az $f\left(x\right)$ függvényt. Adjuk meg egy tetszőleges $A_n$ esetén a háromszög $C_n$ csúcsának koordinátáit. $b)$ Határozzuk meg a $C_n$ pontok halmazát, és ábrázoljuk a koordinátarendszerben.  (16 pont)     6. Oldjuk meg a következő egyenleteket: $a)$ $\frac{1}{\sqrt[]{2+x}}-\frac{1}{\sqrt[]{2-x}}=\sqrt[]{2}$; $b)$ $\frac{1}{\text{sin}{}^{2}x}-\frac{1}{\text{cos}{}^{2}x}=\sqrt[]{2}$.  (16 pont)     7. A $p_2$ parabola csúcsa a $C\text{'}\text{'}\left(6;7\right)$ pont, tengelye párhuzamos a $p_1:y=x^2-8x+14$ paraboláéval, és a $P(9;\frac{19}{4})$ pont illeszkedik a $p_2$ parabolára. Az $A_n{B}_n{C}_n$ egyenlőszárú háromszögek alapja $A_n{B}_n$, ahol $A_n\in p_2$, $B_n\in p_1$, és $C_n$ illeszkedik a koordinátarendszer ordinátatengelyére. Az $A_n$ és a $B_n$ pontok abszcisszája egyenlő, és a $B_n$ pontok ordinátája kisebb, mint az $A_n$ pontoké. $a)$ Határozzuk meg a $C_1$ pont koordinátáit, ha az $A_1{B}_1{C}_1$ háromszög derékszögű. $b)$ Az $A_n{B}_n{C}_n$ háromszögek közül melyiknek legnagyobb a területe?  (16 pont)     8. Határozzuk meg az összes olyan $P\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ egész együtthatós polinomot, melyre $|P\left(p_1\right)|=|P\left(p_2\right)|=|P\left(p_3\right)|=5$, ahol $p_1$, $p_2$, $p_3$ különböző prímszámok.  (16 pont)     9. A nemzetközi sporteseményeken a versenyzőket nem csak a dicsőség hajtja, hanem részben a reklámszerződésekkel járó magas pénzösszegek is. Így nem meglepő, ha a sportolók és az edzők időnként a győzelem megszerzése érdekében nem megengedett eszközöket is alkalmaznak. A lehetőségek szerinti legtisztességesebb feltételek biztosítása érdekében közvetlenül a fontos versenyek előtt, de a felkészülések során is meghatározott szabályok szerint dopping ellenőrzéseket tartanak. A sportolók vizeletmintát adnak, melyeket lepecsételve és megjelölve, két részben, egy úgynevezett A-próbaként, illetve B-próbaként őriznek meg és vizsgálnak. Miközben a nemzetközi Sportszövetség egyértelmű, minden kétséget kizáró doppingteszt kialakításán fáradozik, addig bizonyos laborok olyan doppingszerek kifejlesztésén dolgoznak, melyek a kontroll során a vizeletből nem mutathatók ki. Az $a)$ feladatrészben abból induljunk ki, hogy egy sportrendezvényen 2400 doppingvizsgálatnak alávetett résztvevőből 60-an egy bizonyos anyaggal doppingoltak. Az összes 2400 A-próbát ellenőrizték. A tesztre a következő érvényes: Amennyiben egy sportoló ezzel a szerrel doppingolt, akkor ezt a teszt 85% biztonsággal kimutatja. Ebben az esetben pozitív eredményről beszélünk. Amennyiben egy sportoló nem használta az említett anyagot, úgy ezt a teszt 96% biztonsággal bizonyítja. $a)$ Számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott személyre az A-próba után hibás ítélet született. $b)$ Mekkora a valószínűsége annak, hogy az A-próba után indokolatlanul vádoltak meg egy sportolót? $c)$ Mutassuk meg, hogy kisebb, mint 0,08 az esélye annak, hogy a B-próba után is indokolatlanul vádoltak valakit.  (16 pont)  Simon János  (Budapest)