Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Simon János 
Füzet: 2012/november, 465 - 467. oldal  PDF file

Emelt szintű gyakorló feladatsor
 

I. rész
 

 
1. Egy iskola 520 tanulójával 9 kérdésből álló tesztet töltettek ki. A kérdésekre igennel vagy nemmel lehetett válaszolni. Mindenki válaszolt az összes kérdésre. Az értékelés úgy történt, hogy a k. kérdésre adott jó válasz k pontot, rossz válasz -k pontot ért.
a) Mutassuk meg, hogy biztosan volt két tanuló, aki ugyanúgy töltötte ki a tesztlapot.
b) Legalább hány tanulónak volt ugyanannyi pontja az értékelés után?
  (11 pont)
 
 
2. a) Állítsuk elő a 2012-t szomszédos természetes számok összegeként.
b) Egy számtani sorozat első 2013 elemének összege 2012. Az első 2012 elem közül a páros indexűek összege eggyel több, mint a páratlan indexűek összege. Határozzuk meg a sorozat első elemét.  (13 pont)
 

 
3. Adott a valós számokon értelmezett
I(x)=-2xf(t)dt
függvény, és tudjuk, hogy f(t)=3t2+4t-1. Határozzuk meg az I(x) zérushelyeit, és azokat az intervallumokat, melyeken konvex, illetve konkáv a függvény.
  (13 pont)
 

 
4. A párizsi Louvre üvegpiramisának (szabályos négyoldalú gúla) alapélét vegyük 34 m-nek, magasságát pedig 22 m-nek.
a) Mekkora felületet kell az ablakmosó csapatnak letisztítania, ha kívülről és belülről is lemossák az üveglapokat?
Éjszaka a piramist oszlopokon álló reflektorokkal szeretnék megvilágítani. Az oszlopokat egy négyzet csúcsaiban állítják fel, melynek oldalfelező pontjai a piramis alapjának csúcsai.
b) Milyen magasan kell a reflektorokat az oszlopon elhelyezni, hogy a belőlük kiinduló fénysugarak az oldallapok súlypontjaiban merőlegesen essenek az üvegfelületekre?  (14 pont)
 

II. rész
 

 
5. Adott az f(x)=log2(x+4)+1 hozzárendelésű függvény. Tudjuk, hogy az AnOCn háromszögek egyenlőszárú, O-nál derékszögű háromszögek, ahol An az f(x) függvény grafikonjának egy pontja, O pedig az origó.
a) Ábrázoljuk az f(x) függvényt. Adjuk meg egy tetszőleges An esetén a háromszög Cn csúcsának koordinátáit.
b) Határozzuk meg a Cn pontok halmazát, és ábrázoljuk a koordinátarendszerben.  (16 pont)
 
 
6. Oldjuk meg a következő egyenleteket:
a) 12+x-12-x=2;
b) 1sin2x-1cos2x=2.  (16 pont)
 
 
7. A p2 parabola csúcsa a C''(6;7) pont, tengelye párhuzamos a p1:y=x2-8x+14 paraboláéval, és a P(9;194) pont illeszkedik a p2 parabolára.
Az AnBnCn egyenlőszárú háromszögek alapja AnBn, ahol Anp2, Bnp1, és Cn illeszkedik a koordinátarendszer ordinátatengelyére. Az An és a Bn pontok abszcisszája egyenlő, és a Bn pontok ordinátája kisebb, mint az An pontoké.
a) Határozzuk meg a C1 pont koordinátáit, ha az A1B1C1 háromszög derékszögű.
b) Az AnBnCn háromszögek közül melyiknek legnagyobb a területe?  (16 pont)
 

 
8. Határozzuk meg az összes olyan P(x)=ax2+bx+c egész együtthatós polinomot, melyre |P(p1)|=|P(p2)|=|P(p3)|=5, ahol p1, p2, p3 különböző prímszámok.  (16 pont)
 

 
9. A nemzetközi sporteseményeken a versenyzőket nem csak a dicsőség hajtja, hanem részben a reklámszerződésekkel járó magas pénzösszegek is. Így nem meglepő, ha a sportolók és az edzők időnként a győzelem megszerzése érdekében nem megengedett eszközöket is alkalmaznak.
A lehetőségek szerinti legtisztességesebb feltételek biztosítása érdekében közvetlenül a fontos versenyek előtt, de a felkészülések során is meghatározott szabályok szerint dopping ellenőrzéseket tartanak. A sportolók vizeletmintát adnak, melyeket lepecsételve és megjelölve, két részben, egy úgynevezett A-próbaként, illetve B-próbaként őriznek meg és vizsgálnak.
Miközben a nemzetközi Sportszövetség egyértelmű, minden kétséget kizáró doppingteszt kialakításán fáradozik, addig bizonyos laborok olyan doppingszerek kifejlesztésén dolgoznak, melyek a kontroll során a vizeletből nem mutathatók ki. Az a) feladatrészben abból induljunk ki, hogy egy sportrendezvényen 2400 doppingvizsgálatnak alávetett résztvevőből 60-an egy bizonyos anyaggal doppingoltak. Az összes 2400 A-próbát ellenőrizték.
A tesztre a következő érvényes:
Amennyiben egy sportoló ezzel a szerrel doppingolt, akkor ezt a teszt 85% biztonsággal kimutatja. Ebben az esetben pozitív eredményről beszélünk.
Amennyiben egy sportoló nem használta az említett anyagot, úgy ezt a teszt 96% biztonsággal bizonyítja.
a) Számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott személyre az A-próba után hibás ítélet született.
b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy az A-próba után indokolatlanul vádoltak meg egy sportolót?
c) Mutassuk meg, hogy kisebb, mint 0,08 az esélye annak, hogy a B-próba után is indokolatlanul vádoltak valakit.  (16 pont)
 Simon János
 (Budapest)