Cím: A 43. Nemzetközi Fizikai Diákolimpia feladatainak megoldása
Szerző(k):  Sarló Ferenc ,  Vankó Péter ,  Vigh Máté 
Füzet: 2012/november, 489 - 501. oldal  PDF file

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1

 
Elméleti feladatok

 
1. feladat. Ragadd meg a lényeget!

A rész. Hajítás. i. Ha a golyót függőlegesen felfelé dobjuk, akkor ‐ a mechanikai energia megmaradása alapján ‐ eléri az x=0, z=v022g pontot. Ezt összehasonlítva a zz0-kx2 egyenlőtlenséggel
z0=v022g
adódik. A k állandó meghatározásához vizsgáljuk a z- határesetet! Ebben a határesetben a golyó akkor jut (adott z érték esetén) vízszintes irányban a legmesszebbre, ha a parabolapálya a leglaposabb, azaz ha a golyót vízszintesen hajítjuk el. Ekkor
z=-g2v02x2.
Ezt beírva a megadott, most x határesetben vizsgált egyenlőtlenségbe
-g2v02x2z0-kx2,azazk-g2v02z0x20.

Innen kg2v02. Ha k<g2v02 teljesülne, akkor (nagy x-re) a golyó által elérhető tartomány és a megadott egyenlőtlenség által meghatározott tartomány között egy ,,rés'' lenne, ezt a lehetőséget tehát kizárhatjuk. Eszerint a kérdezett paraméter:
k=g2v02.

 
ii. A golyó pályája megfordítható, így az eredeti kérdés helyett vizsgálhatjuk ezt is: legalább mekkora sebességgel kell az épület tetejéről eldobni a golyót, hogy valahol földet érjen (anélkül, hogy az épületnek ütközne). Könnyen belátható, hogy a golyó pályája vagy az 1. ábrán látható, az épületet érintő parabola, vagy pedig egy olyan vízszintes hajítás, ahol a parabola görbülete a csúcspontjában megegyezik a gömb sugarával. (Ha a golyó sehol nem érinti a parabolát, akkor csökkenthető a sebessége, egész addig, amíg valahol érinteni fogja.)


 

1. ábra
 

Vizsgáljuk meg a vízszintes hajítást! Ha változatlan sebességgel, de a vízszinteshez képest kis szöggel felfelé dobnánk a golyót, akkor sehol sem érintené az épületet ‐ így viszont kezdeti sebessége csökkenthető lenne! Ebből következik, hogy a vízszintes hajítás nem lehet ideális, így a helyes megoldás az 1. ábrán látható pálya.
 
iii. Vegyük észre, hogy az egész épületnek benne kell lenni abban a tartományban, amit az épület tetejéről induló, minimális sebességű hajításokkal el tudnánk találni. (Hiszen ha az optimálishoz képest csökkentjük az eldobás vízszintessel bezárt szögét, akkor a golyó nem érinti, hanem eltalálja az épületet.) Ugyanakkor a dobással elérhető tartomány határának érinteni kell az épületet. (Ellenkező esetben az optimális sebességgel lehetne úgy hajítani, hogy az nem érinti az épületet.)
Tehát a minimális sebességgel eldobott golyóval elérhető tartomány határa és az épület felszíne érinti egymást (a szimmetria miatt két pontban). Ha a minimális indítási sebesség a gömb tetejéről v0, akkor a következő egyenletrendszert kapjuk:
x2+z2+2zR=0,z=v022g-gx22v02.
z kiküszöbölésével x2-re a következő másodfokú egyenlet adódik:
(g2v02)2x4+(12-gRv02)x2+(v024g+R)v02g=0.
A két görbe akkor érinti egymást, amikor az egyenlet diszkriminánsa éppen 0. Ebből
(12-gRv02)2=14+gRv02,azazv02=gR2.
A mechanikai energia megmaradása alapján a keresett minimális indítási sebesség
vmin=v02+4gR=3gR2.

 
B rész. Légáramlás a szárny körül. i. A szárnyhoz rögzített vonatkoztatási rendszerben a kontinuitási törvény miatt két áramvonal között (egy áramlási vonal mentén) állandó a levegő térfogatárama (az időegységenként átáramló levegő mennyisége). A térfogatáram a sebesség és a keresztmetszet szorzata. A keresztmetszet viszont esetünkben ‐ a kétdimenziós geometria miatt ‐ arányos az áramvonalak távolságával, ami a 2. ábráról leolvasható. Mivel nincsen szél, a nyugalomban lévő levegő sebessége a szárnyhoz viszonyítva éppen v0. Az ábrán megmérve a=10 egység és b=13 egység. Ez alapján a levegő sebessége a P pontban a szárnyhoz képest u=v0ab, a földhöz képest pedig
vP=v0-u=v0(1-ab)=23ms.



 

2. ábra
 

 
ii. Bár az 12ρv2 dinamikus nyomás aránylag kicsi, változása bizonyos mértékű adiabatikus összenyomódást vagy kitágulást eredményez. Ott, ahol a levegő kitágul, a hőmérséklete lecsökken, és ha a hőmérséklet eléri a harmatpontot, akkor a vízgőz kicsapódik, apró vízcseppek jelennek meg. A kicsapódás ott kezdődik meg, ahol a kitágulás maximális, azaz ahol a levegő (statikus) nyomása minimális. A Bernoulli-törvény szerint p+12ϱv2= állandó, így p ott lesz a legkisebb, ahol v (a levegő szárnyhoz viszonyított sebessége) a legnagyobb, azaz ahol az áramvonalak a legközelebb vannak egymáshoz. Ez a 2. ábrán Q-val jelölt pont.
 
iii. Először meg kell határoznunk a harmatpontot. A vízgőz nyomása pw=psar=2,08kPa. A kis változások miatt a gőznyomás hőmérséklet-függését tekinthetjük közelítőleg lineárisnak:
psa-pwTa-T=psa-psbTa-Tb,
amiből T291,5K adódik.
Ezután meg kell határozni a levegő sebessége és hőmérséklete közti kapcsolatot. A Bernoulli-törvényhez hasonlóan egy energiamérleget írhatunk fel, de figyelembe kell vennünk a levegő összenyomásával/kitágulásával kapcsolatos munkát is. Mivel a levegő rossz hővezető, és az áramlás során gyorsak a változások, a folyamat adiabatikus. Egy áramlási cső (például két közeli áramvonal közötti térrész) két pontjára (1 és 2) felírva a munkatételt egy mol levegőre az
12Mv12+cVMT1+p1V1=12Mv22+cVMT2+p2V2
összefüggést kapjuk, ahol M a levegő moláris tömege, cV pedig az állandó térfogaton mért fajhő. (Az első tag a gáz mozgási energiája, a második a belső energiája, a harmadik pedig a gáz benyomásakor végzett munka.) Felhasználva, hogy egy mol gázra pV=RT, és cVM+R=cpM, azt kapjuk, hogy 12v2+cpT= állandó. Ebből
cpΔT=-Δv22=12vkrit.2(1-a2c2),
ahol c az áramvonalak távolsága a Q pontban. Felhasználva, hogy c4,5 egység és ΔT=-1,5K,
vkrit.=c2cpΔTc2-a223ms.

 
Megjegyzés: A valóságban ennél valamivel nagyobb sebesség szükséges, mert a levegő hirtelen kicsapódása csak jelentős túltelítés hatására indul meg.
 

C rész. Mágneses csövek. i. A cső szupravezető falán nem mehetnek át indukcióvonalak, így a csőben állandó a fluxus. A cső belsejében örvénymentes a tér, a két feltételből együtt pedig adódik, hogy homogén is, azaz az indukcióvonalak párhuzamosak, és egyenlő távolságra vannak egymástól.
 

Megjegyzés: A csövön kívül a tér hasonlít a vékony, hosszú tekercs (szolenoid) mágneses teréhez, azzal a fontos különbséggel, hogy a szolinoid végeinek közelében a tekercs oldalán is lépnek ki indukcióvonalak, a szupravezető csőnél ez nem lehetséges. A másik különbség: a szolenoid árama (egyenletes tekercselés esetén) hosszegységenként mindenhol ugyanakkora, a szupravezető cső falában folyó áram pedig a végek közelében nem egyenletes.
 

A szupravezető cső indukcióvonalait vázlatosan a 3. ábra mutatja.


 

3. ábra
 

 
ii. Nyújtsuk meg gondolatban egy kicsiny Δ értékkel a csövet, és vizsgáljuk meg, hogy ehhez mennyi munkára van szükség! A cső fluxusa nem változhat (mert a fluxusváltozás a szupravezetőben végtelen nagy áramokat indukálna), így a mágneses indukció is állandó: B=Φπr2. A mágneses tér energiasűrűsége 12μ0B2, amiből a cső megnyújtásához szükséges munka
ΔW=12μ0B2ΔV=12μ0Φ2π2r4πr2Δ=Φ22μ0πr2Δ.
Ezt a munkát a húzóerő végzi: ΔW=TΔ, amiből a keresett erő
T=Φ22μ0πr2.

 
iii. A csövek között fellépő erő iránya ‐ az elrendezés szimmetriája miatt ‐ nyilván merőleges a csövek tengelyére. Az erő nagyságát egy elektrosztatikus analógia alapján fogjuk meghatározni. Vizsgáljuk meg, hogyan változik a rendszer mágneses energiája, ha az egyik csövet egy kicsit elmozdítjuk, eltávolítjuk a másiktól! A csövek belsejében semmi se változik, mert a csövek fluxusa állandó, csak a külső tér változik. A csöveken kívül a mágneses indukció örvénymentes (mert nincsenek áramok), a csövek végpontjai ±Φ erősségű források, ezeken kívül viszont mindenhol forrásmentes a tér. Ezek a csöveken kívül pontosan olyan feltételek, mint amilyenek négy ±Q nagyságú elektromos töltés elektromos terét jellemzik. (A csöveken belül természetesen különböző a két tér, és a csövek falai is az elektromos esettől különböző határfelületet jelentenek, de három dimenzióban a vékony csövek elhanyagolható módon torzítják a csöveken kívüli teret.) Ezek szerint a csövek végpontjait úgy tekinthetjük, mintha mágneses ponttöltések lennének.
Keressük meg az elektromos és a mágneses jelenségek közötti megfeleltetést! Két Q nagyságú, egymástól a távolságra elhelyezett elektromos töltés között F=14πε0Q2a2 erő hat. Az egyik töltés terének energiasűrűsége a másik töltés helyén
w=ε02E2=132π2ε0Q2a4.
Ezek szerint az erőt írhatjuk F=8πwa2 alakban is. Ez a kifejezés bármely esetben használható két ellentétes előjelű, azonos nagyságú ponttöltés között fellépő erő meghatározására, így használhatjuk a mágneses ponttöltésekre is.
A Gauss-törvény alapján egy Φ fluxusú mágneses ponttöltés által a távolságra létrehozott indukció B=Φ4πa2. Az energiasűrűség a ponttöltéstől a távolságra
w=12μ0B2=132π2μ0Φ2a4,
amiből az a távolságra lévő Φ fluxusú mágneses ponttöltések között fellépő erő
F=8πwa2=14πμ0Φ2a2.

A négy ponttöltés közül az ellentétesek vonzzák egymást, a köztük fellépő erő F1=14πμ0Φ22. Az átlósan elhelyezkedő azonos előjelű töltések közti taszítóerő normális komponense
F2=2214πμ0Φ222.
Az eredő vonzó erő ezek alapján
F=2(F1-F2)=4-28πμ0Φ22.

 
2. feladat. Kelvin csepegtetős gépe

A rész. Egyetlen cső. i. A feladat szövege szerint a víz lassan csöpög ki a csőből: ez időben állandósult vízhozamra utal, ezért a csőben lévő vízoszlopra ható erők eredője (a cső falánál és a folyadékban fellépő belső súrlódás miatt) zérus. A vízcseppben uralkodó nyomás a külső légnyomásnál a felületi feszültség miatt Δp=2σ/r értékkel nagyobb (itt r a vízcsepp sugara). A cső végén függő, lassan hízó vízcseppre a következő négy erő hat: függőlegesen lefelé a 43πr3ρg nehézségi erő, a cső szája és a víz érintkezési vonalán a felületi feszültségből származó 2πrσ nagyságú, felfelé mutató erő, a p0 külső légnyomásból származó (felfelé irányuló) erő és a vízcsepp csőhöz csatlakozó részén egy kis d átmérőjű körlapon ható p0+Δp nyomásból származó, lefelé mutató erő. Könnyen belátható, hogy utóbbi két erő eredője π4d2Δp, ezt a d-ben másodrendűen kicsiny hatást dr miatt elhanyagolhatjuk.
Közvetlenül a leválás előtt a vízcsepp jelentősen deformálódik: a csepp felső része és a cső között kicsiny, d átmérőjű, hengeres nyak képződik. Ebben a pillanatban a ,,nyak'' által függőlegesen felfelé kifejtett πdσ kapilláris erő éppen ellensúlyozza a vízcsepp súlyát, azaz
πdσ=43πrmax3ρg,
innen a csepp maximális sugara:
rmax=3σd4ρg3.

 
ii. A vízcsepp töltéseloszlása (dr miatt) jó közelítéssel egyenletes, így a csepp φ potenciálja egy Q töltésű gömb potenciáljaként számolható:
φ=14πε0Qr,
ebből Q=4πε0φr.
 
iii. A feltöltött gömbön kívül, felületének közelében E=14πε0Qr2 nagyságú térerősség uralkodik, a gömbön belül pedig zérus az elektromos térerősség. A gömb felületén lévő, ΔA felszínű kicsiny darabka töltése az egyenletes töltéseloszlás miatt ΔQ=ΔA4πr2Q, a rá ható erő pedig
ΔF=12EΔQ=Q232π2ε0r4ΔA=ε0φ22r2ΔA.
(Az 12-es szorzótényező ‐ kissé pongyolán fogalmazva ‐ onnan származik, hogy a térerősség csak a darabka külső oldalán E, a belső oldalon zérus, így átlagosan E/2 a darabka helyén a térerősség. Ugyanez a faktor jelenik meg egy síkkondenzátor lemezei között ható erő kifejezésében is.)
A vízcseppet a felületi feszültség igyekszik összehúzni, a felületén lévő, egymást taszító töltések pedig igyekeznek kitágítani. Az elektromos taszításból származó erő ΔFΔA értékkel csökkenti a csepp belsejében uralkodó nyomást. A csepp akkor szakad szét, ha ez a ,,negatív'' nyomás éppen megegyezik a görbületi nyomással:
ε0φmax22r2=2σr,
ebből a maximálisan alkalmazható potenciál φmax=2σr/ε0.
 
B rész. Két cső. i. Bár a cseppek potenciálja a földelés miatt nulla, a környező, hengeres elektródák hatása miatt mégis feltöltődnek. Vizsgáljuk meg a potenciál változását a következő, a bal oldali csepptől a jobb oldali cseppig vezető útvonalon: a bal oldali csepptől a bal oldali hengeres elektródáig U a potenciálkülönbség, a bal oldali és a jobb oldali elektróda között q/C a feszültség (hiszen a kondenzátoron át kell haladnunk), végül a jobb oldali elektróda és a jobb oldali csepp között (a szimmetria miatt és a töltések előjele miatt) ismét U a feszültség. Útvonalunk kezdő- és végpontja egyaránt zérus potenciálú, tehát a feszültségek összegének is nullának kell lennie:
U+q/C+U=0,
azaz az azonos oldalon elhelyezkedő hengeres elektróda és csepp között
U=±q/(2C)
a feszültség (az előjel attól függ, hogy a jobb vagy bal oldalt vizsgáljuk). Az A/ii. rész eredményét felhasználva, a φ=q/(2C) és r=rmax helyettesítéssel megkapjuk az éppen leeső cseppek töltését:
Q=2πε0qrmax/C.

ii. Az egységnyi idő alatt lecseppenő cseppek száma n, így a hengeres elektródák (vagyis a kondenzátor) töltése dt idő alatt dq=Qndt értékkel növekszik. Az előző alkérdés eredményét felhasználva ez tovább alakítható:
dqdt=2πε0rmaxnCq,
ami egy előjeltől eltekintve a radioaktív bomlás differenciálegyenletére hasonlít. A jobb oldalon eltérő előjel azt eredményezi, hogy a kondenzátor töltése a radioaktív atommagok számával ellentétben nem exponenciálisan csökken, hanem exponenciálian növekszik az idővel:
q(t)=q0eγt,aholγ=2πε0rmaxnC=πε0nC6σdρg3.

 
iii. A leeső cseppek akkor érhetik el az alattuk elhelyezkedő edényeket, ha az mgH gravitációs helyzeti energiájuk elég nagy az elektrosztatikus taszítás legyőzéséhez. Közvetlenül a leszakadás után a Q töltésű csepp a hengeres elektróda által létrehozott q/(2C) potenciált érzi, amikor pedig az alatta lévő, vízzel telt edénybe érkezik, -q/(2C) potenciálú helyre kerül. Az edény elérésének feltétele tehát:
qCQmgH,aholQ=2πε0qrmaxC.
Ebből a kondenzátor UC=q/C feszültségének legnagyobb értéke:
UCmax=mgH2πε0rmax.
Az A/i. rész eredményét felhasználva a végeredmény:
UCmax=σ2d2H3ρg6ε06.

 
3. feladat. Csillagkezdemény kialakulása

i. A kezdeti szakaszban a hőmérséklet nem változik. Így a Boyle‐Mariotte-törvény alapján:
p1p0=V0V1=(r0r1)3=8.

 
ii. A folyamat kezdetén a gáz nyomásából származó erők elhanyagolhatók a gravitációs erőhöz képest. Tekintsünk egy kicsiny gáztérfogatot a gázfelhő szélén. Ismert, hogy egy gömbszimmetrikus tömegeloszlás gravitációs tere a gömbön kívül (és annak felületén) megegyezik a gömb középpontjába helyezet (azonos tömegű) tömegpont gravitációs terével. Így a gáztérfogatunk kezdeti gyorsulása gGm/r02. Mivel a gravitációs erő nem változik lényegesen, a gyorsulást közelíthetjük ezzel az állandó értékkel. Ebben a közelítésben egyenletesen gyorsuló mozgásról beszélhetünk. A négyzetes úttörvényből az idő könnyen kifejezhető:
t22(r0-r2)g=2r02(r0-r2)Gm=0,1r03Gm.
 

Megjegyzés. Érdemes észrevenni, hogy ez az idő csak a gázfelhő sűrűségétől függ. Ez azt jelenti, hogy a gázfelhő belsejében kiszemelt kicsiny gáztérfogatra is igaz, hogy t2 idő alatt csökken a középponttól mért távolsága 5%-kal. Hasonló okoskodással belátható, hogy ez a későbbi (nem nulla kezdősebességű) mozgásszakaszokra is érvényes, és emiatt a kezdetben homogén anyageloszlású gázfelhő mindaddig homogén marad, amíg a gáz nyomása elhanyagolható.

 
iii. Továbbra is feltételezzük, hogy a kicsiny gáztérfogatunk mozgásában a gravitáción kívüli hatásokat elhanyagolhatjuk. A feladat szövege azt sugallja, hogy az esési pályát egy elfajult ellipszispályának tekintsük, melynek fél nagytengelye r0/2 (lásd a 4. ábrát).


 

4. ábra
 

Kepler III. törvényéből következik, hogy a pálya periódusideje megegyezik egy r0/2 sugarú körpálya T periódusidejével, amit az egyenletes körmozgás mozgásegyenletéből könnyen ki lehet számítani:
(2πT)2r02=Gm(r0/2)2,ahonnanT=2πr038Gm.
A feladat szövegéből kitűnik, hogy a végső sugár sokkal kisebb, mint a kezdeti, ezért az összeomlás idejét közelíthetjük a kiszámolt periódusidő felével:
t=T2=πr038Gm.

 

Megjegyzés. A gázfelhő gravitációs összeroskadásának idejét úgy is megkaphatjuk, hogy az energiamegmaradás törvényét használva kiszámítjuk a sebesség helyfüggését:
v22-Gmr=E(=-Gmr0),
ahonnan
-drdt=v(r)=2E+2Gmr,
majd a sebesség reciprokát integráljuk a teljes pályára:
t=0r0dr2E+2Gmr.
Az integrál (melynek kiszámítása a verseny korlátozott ideje alatt nyilván nem várható el) ugyanazt az eredményt adja, mint a Kepler-törvényekre hivatkozó megoldás.

 
iv. Mivel a gáz hőmérséklete nem változik, azért a gáz által kisugárzott hő a gázon végzett munkával egyenlő. A gáz izoterm állapotváltozása során a végzett munka:
W=-V0V3p(V)dV,
ahol a nyomás a pV=mμRT0 gáztörvényből számolható. A kisugárzott hő eszerint
Q=W=-nRT0V0V31VdV=RT0mμlnV0V3=3RT0mμlnr0r3.

 
Megjegyzések. 1. A felhasznált munkaképlet arra az esetre vonatkozik, amikor a gáz egyensúlyi állapotokon keresztül jut el egyik állapotból a másikba. Ez a jelen esetben nem teljesül, de ennél jobb becslést nem lehet adni.
2. Sokan ott hibáztak, hogy a gravitációs energia teljes változásával tették egyenlővé a kisugárzott hőt. Ez csak akkor lenne igaz, ha a nyomás a gravitációval azonos nagyságú lenne, itt viszont elhanyagolható. A feladat szövegében megadott Gmμ/r0RT0 egyenlőtlenséggel könnyű belátni, hogy a kisugárzott hő elhanyagolható a gravitációs energiaváltozáshoz képest.

 
v. Az összeroskadás ebben a szakaszban adiabatikus. Az adiabatikus állapotváltozásra igaz, hogy pVγ= állandó. Ebből és a gáztörvényből következik, hogy TVγ-1= állandó. Ezt felhasználva:
T=T0(V3V)γ-1=T0(r3r)3γ-3.

 
vi. Az összeroskadás r3r4 szakaszában a gravitációs energia és a meglévő mozgási energia alakul át a gáz belső energiájává. A mozgási energia megegyezik az r0r3 szakaszon történő gravitációs energiaváltozás nagyságával. A gravitációs energiaváltozást a következő formulával becsülhetjük:
ΔEg=-Gm2r4-(-Gm2r0)-Gm2r4.

(A pontosabb, integrálással meghatározható energiaváltozás ettől a becsléstől egy 35-ös szorzótényezőben különbözik.) A belső energia megváltozása:
ΔEb=f2nRT4-f2nRT0f2nRT4nRT4.
A fenti közelítéseknél kihasználtuk, hogy r4r0 és T4T0; az f/2 tényező helyébe pedig azért írtunk 1-et, mert csupán nagyságrendi becslésre törekszünk; az egységnyi nagyságú szorzótényezőket nem vesszük számításba.)
A két energiaváltozás nagyságát egyenlővé téve ‐ és a hőmérsékletet a felhő sugarával kifejezve ‐ kapjuk:
Gm2r4mμRT0(r3r4)3γ-3.
Innen a keresett méret és hőmérséklet kifejezhető:
r4r3(RT0r3μmG)13γ-4,T4T0(RT0r3μmG)3γ-34-3γ.

 

Megjegyzések. 1. Az egyensúlyba került gázfelhő közepén kialakuló nyomást (közelítően, de nagyságrendileg helyesen) kétféleképpen is kiszámíthatjuk: egyrészt a (ϱ sűrűségű) gáz hidrosztatikai nyomásaként:
pϱr4Gmr42,
másrészt a gáztörvény felhasználásával:
pϱμRT4.
A két kifejezés jobb oldalát egyenlővé téve (valamint T4 és r4 korábban kiszámított kapcsolatát is felhasználva) megkapjuk T4 és r4 fentebb levezetett kifejezéseit.
2. Sok versenyző (a magyar diákok közül is többen) a virtuális munka elvét használták. Eszerint egy test akkor van egyensúlyi helyzetben, ha egy kicsiny elképzelt (virtuális) kitérítés esetén a testen végzett munkák összege nulla. A jelen esetre alkalmazva ez azt jelenti, hogy kicsi sugárváltozás esetén a felszabaduló gravitációs energia éppen fedezi a gáz belső energia növekedését. Az így számolt képletek egy konstans szorzózényezőben térnek el a fenti eredményektől.
Az eltérés okát egy egyszerű mechanikai példával szemléltethetjük. Ha egy nyújtatlan rugóra egy testet akasztunk, és felírjuk az energia-megmaradás törvényét, akkor a rezgőmozgás alsó és felső maximális kitérési helyét kapjuk meg, a virtuális munka elvével pedig az egyensúlyi helyzetet találjuk meg.

 
Kísérleti feladatok

 
1. feladat. A víz mágneses permeabilitása

A sztatikus mágneses mező hatása a legtöbb anyagra (a ferromágneses anyagokon kívül) igen gyenge. Ez alól a víz sem kivétel: még ha egy erős neodímium mágnest is helyezünk a vízfelszín közelébe, annak alakváltozása szabad szemmel alig észrevehető. Ebben a mérési feladatban a víz mágneses permeabilitását kellett meghatározni egy tálkában lévő erős mágnest éppen ellepő víz felületének megfigyelésével.
A víz felületének letapogatása precíziós mérési összeállítást kívánt. Egy asztalon helyezkedett el a tálca, benne az alacsony, henger alakú erős mágnessel és a vízzel. A vízfelszín kb. 1 mm-rel állt magasabban a mágnes tetejénél. A felszín alakját egy ferdén beállított, vízszintesen tolómérővel mozgatható lézerceruzából érkező nyalábbal lehetett letapogatni. A visszaverődés után a lézerfolt egy függőlegesen rögzített milliméterpapíron (ernyőn) vált észlelhetővé. A versenyzők a lézerceruza pozíciójának függvényében mérték a fényfolt helyzetét az ernyőn; ezekből az adatokból és a szükséges geometriai méretek leméréséből ‐ némi gondolkodás és számolás után ‐ a vízfelszín pontos alakja meghatározható. Az eredményekből kiderült, hogy a mágnes fölötti részen a víz (körülbelül 100 μm-es mértékben) behorpadt.


 

5. ábra
 

A vízfelszín h behorpadásának mért értékéből és a henger alakú mágnes által a körlapon létrehozott indukció (a feladatban megadott) B nagyságából következtetni kellett a víz relatív permeabilitására. Ehhez többféle gondolatmenettel is eljuthatunk, egy lehetséges út a következő. A felszín besüllyedése a mágnes fölött a víznek egy A területű részén történik. Képzeljük el, hogy a felület behorpadását h-ról h+Δh értékre növeljük! Ekkor a mágnes fölött AΔh térfogatú térrészben az addig jelenlévő μ relatív permeabilitású víz helyére 1 relatív permeabilitású levegő kerül, így a mágneses mező energiaváltozása:
ΔEmágn.=-(B22μμ0-B22μ0)AΔh-B22μ0(1-μ)AΔh
(itt kihasználtuk, hogy 1-μ1). Másrészt a gondolatkísérletünk során a tálkában lévő víz gravitációs helyzeti energiája megnőtt, amit úgy számolhatunk, mintha AΔh térfogatú víz a felszín mágnestől távoli részére, azaz h-val magasabbra került volna:
ΔEpot.=ϱghAΔh,
itt ϱ a víz sűrűsége. Egyensúly esetén a virtuális munkák összege zérus, azaz ΔEmágn.+ΔEpot.=0, amiből:
1-μ=2μ0ϱghB2.

A feladatban megadott B és a mért h adat felhasználásával 1-μ-re 110-5 körüli érték adódott, ami összhangban van az irodalmi érték nagyságrendjével. A víz relatív permeabilitása tehát kicsit kisebb 1-nél, az ilyen anyagokat diamágneseknek nevezzük.
Ebben a mérési feladatban a legnagyobb nehézséget a megfelelő pontosságú és számú adat felvétele, valamint a precíz kiértékelés jelentette. Kihívás volt a relatív permeabilitás meghatározására vonatkozó összefüggés felírása is. Összességében ez a feladat (a 2-es számú méréssel ellentétben) inkább a kísérletező készséget, gyakorlottságot mérte, megoldása nagy ötleteket nem igényelt.
 
2. feladat. Nemlineáris fekete doboz

Ebben a mérésben a 6. ábrán látható nemlineáris elemet is tartalmazó elektromos fekete dobozt vizsgálták a versenyzők.


 

6. ábra
 

A fekete dobozban egy ismeretlen, nemlineáris karakterisztikájú áramköri elem, egy elektrolitkondenzátor és egy ‐ kapcsolóval rövidre zárható ‐ 10μH induktivitású tekercs található. A méréshez egy áramforrás, egy ,,intelligens'' (adatgyűjtő funkciókkal rendelkező) multiméter és összekötő vezetékek állnak még rendelkezésre.


 

7. ábra
 



 

8. ábra
 

A multiméter ‐ két különböző bemeneten ‐ egyszerre tud feszültséget és áramerősséget mérni. Ezekkel együtt kiírja és elmenti a feszültség és az áramerősség változási sebességét (idő szerinti deriváltját), a P=UI teljesítményt, az R=UI ellenállást és a mérés időpontját. Ezzel nagyon meggyorsítja és megkönnyíti a feladat elvégzéséhez szükséges adatok összegyűjtését.
 
A rész. Induktivitás nélküli áramkör. Ebben a részben a tekerccsel párhuzamosan kötött kapcsolót be kell kapcsolni, így a tekercs rövidre van zárva (mintha ott se lenne). Az elektrolitkondenzátor kapacitása kb. 2F ‐ ezt méréssel igazolni kell.
Ezután ‐ először a kondenzátor kapacitását feszültségfüggetlennek feltételezve ‐ fel kell venni és ábrázolni kell az ismeretlen nemlineáris áramköri elem áram‐feszültség karakterisztikáját. Az eredmény a 9. ábrán látható (folytonos vonal). Megfigyelhető, hogy az I(U) karakterisztika egy szakaszon csökken, tehát itt az áramköri elem differenciális ellenállása (amit a dUdI deriválttal értelmezünk) negatív. Ez az áramkörben instabilitásokat okozhat, ahogy az majd a következő részben látható is lesz.


 

9. ábra
 

Ennek a résznek a végén ki kell mérni a kondenzátor kapacitásának (kismértékű) feszültségfüggését. Itt az a buktató, hogy ehhez ‐ természetesen ‐ nem lehet felhasználni olyan eredményeket, amelyeket a kapacitás állandóságát feltételezve kaptunk. A trükk az, hogy a kondenzátor feltöltése és kisütése közben is kell méréseket végezni.
(Részletek az olimpia honlapján: http://www.ipho2012.ee/solutions/.)
 
B rész. Áramkör induktivitással. A kapcsoló kinyitásával a tekercs sorba kötődik a nemlineáris áramköri elemmel. Most ismét a nemlineáris elem I(U) karakterisztikáját kell felvenni és értelmezni. Az előző ábrán látható, hogy a görbe (szaggatott vonal) a pozitív differenciális ellenállású tartományokban hibahatáron belül megegyezik az előző részben mért görbével. A negatív differenciális ellenállású tartományban azonban lényegesen eltérő: ugrásszerű változás után közel állandó értékű lesz, majd ismét ugrásszerűen tér vissza az eredeti görbéhez.
Mi ennek az oka? A nemlineáris elemnek kicsiny (1nF) kapacitása is van (ez szerepelt a feladat szövegében), így a tekerccsel egy néhány MHz-es frekvenciájú soros rezgőkört alkotnak. A negatív differenciális ellenállás miatt ez a rezgés nem csillapodik, hanem folyamatosan erősödik, amplitúdójának csak a tápfeszültség szab határt. Az egyenáramú mérőműszer azonban ennek a rezgésnek csak az átlagértékét méri ‐ ez látszik a grafikonon.
 
Sarlós Ferenc, Vankó Péter, Vigh Máté


1Az elméleti feladatok szövegét a múlt havi számunkban közöltük.