Kezdőlap


Cím:	A Kunfalvi Rezső olimpiai válogatóverseny elméleti feladatai
Füzet:	2012/szeptember, 365 - 368. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Kunfalvi Rezső olimpiai válogatóverseny 1. fordulójának elméleti feladatai¹
Budapest, 2012. április 17‐19.

1. feladat. Kém-UFO mozgása a Nap körül.
A nemzetközi SETI² együttműködés a földön kívüli élet nyomainak keresésével foglalkozik. Nemrégiben a kutatásban résztvevő csillagászok egy csoportja érdekes repülő objektumra lett figyelmes az égen. A megfigyelésekről készített szupertitkos jelentés egy részlete egy szemfüles újságírónak köszönhetően napvilágra került, amely azonnal meg is jelent a napilapokban, világszerte nagy pánikot keltve:
,,

...

A mérések szerint az azonosítatlan repülő tárgy (UFO) a Föld keringési síkjában közeledik a Naphoz. Az adatok elemzéséből az is kiderült, hogy az UFO pályája éppen olyan parabola, amelyiken szabadon esve (tehát esetleges hajtóműveit nem működtetve) a leghosszabb ideig tartózkodhat a Föld (jó közelítéssel kör alakú) pályáján belül. Ez az érdekes tény okot ad arra a feltételezésre, hogy a repülő tárgy egy földönkívüliek által küldött űreszköz, melynek célja minél több információt gyűjteni a földi életről

...

''
Ebben a feladatban azt a célt tűzzük ki, hogy a jelentés alapján minél több információt derítsünk ki az esetleges kém-UFO pályájáról. A számítások során feltételezhetjük, hogy a Nap gravitációs hatása mellett minden más hatás elhanyagolható. A Nap‐Föld távolságot vegyük állandónak, melynek értéke

R = 1

Cs.E. (csillagászati egység).

a)

Tegyük fel, hogy az UFO mozgása során

d

távolságra közelíti meg a Napot! Mekkora a parabolapálya görbületi sugara napközelben

d

-vel kifejezve?

b)

d

paraméter felhasználásával írjuk fel az 1. ábrán látható koordináta-rendszerben az UFO pályájának

y (x)

egyenletét!

1. ábra

c)

R

és

d

segítségével adjuk meg annak a két pontnak a koordinátáit, ahol az UFO pályája metszi a Föld pályáját!

d)

Mekkora

d^{*}

paraméter esetén fog az UFO a jelentésben leírt, speciális parabolapályán haladni?

e)

Az optimális

d^{*}

paraméter esetén mennyi időt tölt el az UFO a Föld pályasugarán belül?

2. feladat. Joule‐Thomson-kísérlet.
Az alacsony hőmérsékletű fizikai kutatások elengedhetetlen feltétele a megfelelő hatékonyságú hűtési eljárások kidolgozása. A modern hűtési módszerek ma is a XIX. század közepén felfedezett Joule‐Thomson effektuson alapulnak.

A következőkben ismertetett Joule‐Thomson-jelenség lehetőséget nyújt gázok hatékony hűtésére még alacsony hőmérsékletek esetén is. A kísérleti berendezés a következő: egy mindkét végén dugattyúval ellátott hengeres tartály belsejét egy rögzített, porózus (lyukacsos) fal osztja két részre (2. ábra), a hengert gáz tölti ki. A tartály fala és a dugattyúk anyaga igen jó hőszigetelő.

2. ábra

A kísérlet kezdetén a

p_{1}

nyomású gáz a jobb oldali térrészben helyezkedik el, a bal oldali dugattyú pedig a porózus falnál áll. Ezután a két dugattyút lassan, egyenletesen mozgatni kezdjük a nyilak irányában, ezért a gáz elkezd átdiffundálni a porózus falon. A fal fojtó hatása következtében a bal oldalon a gáz

p_{2}

nyomása kisebb lesz, mint a jobb oldali

p_{1}

nyomás, de mindvégig ügyelünk rá, hogy e nyomásértékek ne változzanak. A folyamat addig tart, amíg a gáz teljes egészében át nem kerül a bal oldali térrészbe.

a)

Mutassuk meg, hogy a gáz minőségétől függetlenül a folyamat során megmarad az

E + p V

mennyiség, ahol

E

az átnyomott gáz belső energiája,

p

a nyomása,

V

pedig a térfogata!

b)

Ha ideális gázzal végeznénk el a Joule‐Thomson-kísérletet, hogyan változna a gáz hőmérséklete az átnyomás során?

A Joule‐Thomson kísérletben a valódi (reális) gázok az ideálistól eltérően viselkednek. A reális gázokat jó közelítéssel leíró Van der Waals-állapotegyenlet és a gáz

E

belső energiáját megadó formula 1 mólnyi gázmennyiségre a következő:

\begin{matrix} (p + \frac{a}{V^{2}}) (V - b) = R T, E = C_{V} T - \frac{a}{V}, \end{matrix}

(1)

ahol

a

és

b

anyagtól függő pozitív állandók (

b ≪ V

C_{V}

az állandó térfogaton vett mólhő,

R

pedig az egyetemes gázállandó.

A következőkben vizsgáljunk 1 mólnyi reális gázt, és tegyük fel, hogy a jobb és bal térfél közötti

δ p = p_{2} - p_{1}

nyomáskülönbség kicsiny, azaz

\begin{matrix} | δ p | ≪ p_{1} . \end{matrix}

Ekkor hasonlóan kicsiny lesz az átnyomási folyamat végére a gáz

δ V = V_{2} - V_{1}

térfogatváltozása és

δ T = T_{2} - T_{1}

hőmérsékletváltozása is:

\begin{matrix} | δ V | ≪ V_{1}, | δ T | ≪ T_{1} . \end{matrix}

c)

Az (1) egyenletek és az

a)

részben bizonyított megmaradási törvény felhasználásával mutassuk meg, hogy ilyen feltételek esetén a nyomáskülönbség és a gáz hőmérsékletváltozása közötti kapcsolat vezető rendben

\begin{matrix} δ T = (\frac{γ}{p V} - λ) δ p \end{matrix}

(2)

alakú, ahol

γ

és

λ

konstansok. Mekkora

γ

és

λ

értéke?

d)

Ha a valódi gáz kezdeti hőmérséklete nagyobb egy bizonyos

T_{inv}

(ún. inverziós) hőmérsékletnél, akkor a Joule‐Thomson-kísérlet során a gáz felmelegszik, ellenkező esetben pedig lehűl. A (2) összefüggésben a

p V \approx R T

közelítést használva határozzuk meg a reális gáz

T_{inv}

inverziós hőmérsékletét

a

-val és

b

-vel kifejezve!

3. feladat. Modern fizikai feladatcsokor. (Ez a feladat három független, kisebb részből áll.)

3.1. Landau-nívók. Ismert, hogy homogén mágneses mezőben az indukcióvektorra merőlegesen mozgó elektron körpályára kényszerül. Ha a mágneses mező

B

indukcióját nagyon nagy értékre növeljük, az elektron viselkedése kvantumossá válik. Az elektron erős mágneses térben kialakuló energiaszintjeit ‐ azok első tanulmányozójáról ‐ Landau-nívóknak³ nevezik.

a)

Becsüljük meg, hogy mekkora sugarú korongban ,,terül szét'' az elektron alapállapotban!

b)

Mekkora energiájú fotonokat képes elnyelni egy ilyen rendszer? (Vigyázat: az elektronnak nem csak kinetikus energiája van!)

3.2. Radioaktív bomlás. Maghasadásos reakciókban gyakran keletkezik

^{92} Sr

izotóp, amely két egymást követő

β

-bomlással a stabil

^{92} Zr

-ra bomlik:

\begin{matrix} ^{92} Sr \to_{}^{2, 66 h}^{92} Y \to_{}^{3, 54 h}^{92} Zr . \end{matrix}

Egy adag vegytiszta

^{92} Sr

preparátum elkészítése után mennyi idővel lesz a keletkező

^{92} Y

mennyisége a legnagyobb?

Útmutatás: Próbáljuk az egyenleteket egyetlen radioaktív bomlási egyenletre visszavezetni, melynek változója a stroncium és ittrium részecskeszámának lineárkombinációjaként képzett ,,redukált részecskeszám''!

3.3. Relativisztikus nyílvessző. Egy

L_{0}

nyugalmi hosszúságú nyílvessző a fénysebességgel összemérhető

v

sebességgel halad el egy álló, a haladási irányával párhuzamos vonalzó előtt. A nyílvesszőről egy távoli, a haladási irányhoz képest

φ

szögben elhelyezkedő, lényegében nulla expozíciós idejű szuperkamerával pillanatképet készítünk.

3. ábra

a)

Milyen hosszúnak látszik a nyílvessző a fotón? (Másképp: a vonalzónak milyen hosszú része van takarásban a fényképen?)

b)

Mekkora sebességgel mozog a nyílvessző, ha a

φ = 60^{\circ}

-ban elhelyezkedő szuperkamera által készített pillanatképen éppen

L_{0}

hosszúságúnak látszik?

¹Kunfalvi Rezső (1905‐1998) fizikatanár, a KöMaL Fizika Rovatának elindítója, a Nemzetközi Fizikai Diákolimpia egyik kezdeményezője.

²,,Search for extraterrestrial intelligence''.

³Lev D. Landau (1908-1968) Nobel-díjas szovjet fizikus