Cím: A Kunfalvi Rezső olimpiai válogatóverseny elméleti feladatai
Füzet: 2012/szeptember, 365 - 368. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
A Kunfalvi Rezső olimpiai válogatóverseny 1. fordulójának elméleti feladatai1
Budapest, 2012. április 17‐19.
 

 

1. feladat. Kém-UFO mozgása a Nap körül.
A nemzetközi SETI2 együttműködés a földön kívüli élet nyomainak keresésével foglalkozik. Nemrégiben a kutatásban résztvevő csillagászok egy csoportja érdekes repülő objektumra lett figyelmes az égen. A megfigyelésekről készített szupertitkos jelentés egy részlete egy szemfüles újságírónak köszönhetően napvilágra került, amely azonnal meg is jelent a napilapokban, világszerte nagy pánikot keltve:
,,... A mérések szerint az azonosítatlan repülő tárgy (UFO) a Föld keringési síkjában közeledik a Naphoz. Az adatok elemzéséből az is kiderült, hogy az UFO pályája éppen olyan parabola, amelyiken szabadon esve (tehát esetleges hajtóműveit nem működtetve) a leghosszabb ideig tartózkodhat a Föld (jó közelítéssel kör alakú) pályáján belül. Ez az érdekes tény okot ad arra a feltételezésre, hogy a repülő tárgy egy földönkívüliek által küldött űreszköz, melynek célja minél több információt gyűjteni a földi életről ...''
Ebben a feladatban azt a célt tűzzük ki, hogy a jelentés alapján minél több információt derítsünk ki az esetleges kém-UFO pályájáról. A számítások során feltételezhetjük, hogy a Nap gravitációs hatása mellett minden más hatás elhanyagolható. A Nap‐Föld távolságot vegyük állandónak, melynek értéke R=1 Cs.E. (csillagászati egység).
a) Tegyük fel, hogy az UFO mozgása során d távolságra közelíti meg a Napot! Mekkora a parabolapálya görbületi sugara napközelben d-vel kifejezve?
b) A d paraméter felhasználásával írjuk fel az 1. ábrán látható koordináta-rendszerben az UFO pályájának y(x) egyenletét!


 

1. ábra
 

c) R és d segítségével adjuk meg annak a két pontnak a koordinátáit, ahol az UFO pályája metszi a Föld pályáját!
d) Mekkora d* paraméter esetén fog az UFO a jelentésben leírt, speciális parabolapályán haladni?
e) Az optimális d* paraméter esetén mennyi időt tölt el az UFO a Föld pályasugarán belül?
 
2. feladat. Joule‐Thomson-kísérlet.
Az alacsony hőmérsékletű fizikai kutatások elengedhetetlen feltétele a megfelelő hatékonyságú hűtési eljárások kidolgozása. A modern hűtési módszerek ma is a XIX. század közepén felfedezett Joule‐Thomson effektuson alapulnak.
 

A következőkben ismertetett Joule‐Thomson-jelenség lehetőséget nyújt gázok hatékony hűtésére még alacsony hőmérsékletek esetén is. A kísérleti berendezés a következő: egy mindkét végén dugattyúval ellátott hengeres tartály belsejét egy rögzített, porózus (lyukacsos) fal osztja két részre (2. ábra), a hengert gáz tölti ki. A tartály fala és a dugattyúk anyaga igen jó hőszigetelő.


 

2. ábra
 

A kísérlet kezdetén a p1 nyomású gáz a jobb oldali térrészben helyezkedik el, a bal oldali dugattyú pedig a porózus falnál áll. Ezután a két dugattyút lassan, egyenletesen mozgatni kezdjük a nyilak irányában, ezért a gáz elkezd átdiffundálni a porózus falon. A fal fojtó hatása következtében a bal oldalon a gáz p2 nyomása kisebb lesz, mint a jobb oldali p1 nyomás, de mindvégig ügyelünk rá, hogy e nyomásértékek ne változzanak. A folyamat addig tart, amíg a gáz teljes egészében át nem kerül a bal oldali térrészbe.
 

a) Mutassuk meg, hogy a gáz minőségétől függetlenül a folyamat során megmarad az E+pV mennyiség, ahol E az átnyomott gáz belső energiája, p a nyomása, V pedig a térfogata!
b) Ha ideális gázzal végeznénk el a Joule‐Thomson-kísérletet, hogyan változna a gáz hőmérséklete az átnyomás során?
 

A Joule‐Thomson kísérletben a valódi (reális) gázok az ideálistól eltérően viselkednek. A reális gázokat jó közelítéssel leíró Van der Waals-állapotegyenlet és a gáz E belső energiáját megadó formula 1 mólnyi gázmennyiségre a következő:
(p+aV2)(V-b)=RT,E=CVT-aV,(1)
ahol a és b anyagtól függő pozitív állandók (bV), CV az állandó térfogaton vett mólhő, R pedig az egyetemes gázállandó.
 

A következőkben vizsgáljunk 1 mólnyi reális gázt, és tegyük fel, hogy a jobb és bal térfél közötti δp=p2-p1 nyomáskülönbség kicsiny, azaz
|δp|p1.
Ekkor hasonlóan kicsiny lesz az átnyomási folyamat végére a gáz δV=V2-V1 térfogatváltozása és δT=T2-T1 hőmérsékletváltozása is:
|δV|V1,|δT|T1.

c) Az (1) egyenletek és az a) részben bizonyított megmaradási törvény felhasználásával mutassuk meg, hogy ilyen feltételek esetén a nyomáskülönbség és a gáz hőmérsékletváltozása közötti kapcsolat vezető rendben
δT=(γpV-λ)δp(2)
alakú, ahol γ és λ konstansok. Mekkora γ és λ értéke?
d) Ha a valódi gáz kezdeti hőmérséklete nagyobb egy bizonyos Tinv (ún. inverziós) hőmérsékletnél, akkor a Joule‐Thomson-kísérlet során a gáz felmelegszik, ellenkező esetben pedig lehűl. A (2) összefüggésben a pVRT közelítést használva határozzuk meg a reális gáz Tinv inverziós hőmérsékletét a-val és b-vel kifejezve!
 
3. feladat. Modern fizikai feladatcsokor. (Ez a feladat három független, kisebb részből áll.)
 

3.1. Landau-nívók. Ismert, hogy homogén mágneses mezőben az indukcióvektorra merőlegesen mozgó elektron körpályára kényszerül. Ha a mágneses mező B indukcióját nagyon nagy értékre növeljük, az elektron viselkedése kvantumossá válik. Az elektron erős mágneses térben kialakuló energiaszintjeit ‐ azok első tanulmányozójáról ‐ Landau-nívóknak3 nevezik.
 

a) Becsüljük meg, hogy mekkora sugarú korongban ,,terül szét'' az elektron alapállapotban!
b) Mekkora energiájú fotonokat képes elnyelni egy ilyen rendszer? (Vigyázat: az elektronnak nem csak kinetikus energiája van!)
 

3.2. Radioaktív bomlás. Maghasadásos reakciókban gyakran keletkezik 92Sr izotóp, amely két egymást követő β-bomlással a stabil 92Zr-ra bomlik:
92Sr2,66  h92Y3,54  h92Zr.
Egy adag vegytiszta 92Sr preparátum elkészítése után mennyi idővel lesz a keletkező 92Y mennyisége a legnagyobb?
 

Útmutatás: Próbáljuk az egyenleteket egyetlen radioaktív bomlási egyenletre visszavezetni, melynek változója a stroncium és ittrium részecskeszámának lineárkombinációjaként képzett ,,redukált részecskeszám''!
 
3.3. Relativisztikus nyílvessző. Egy L0 nyugalmi hosszúságú nyílvessző a fénysebességgel összemérhető v sebességgel halad el egy álló, a haladási irányával párhuzamos vonalzó előtt. A nyílvesszőről egy távoli, a haladási irányhoz képest φ szögben elhelyezkedő, lényegében nulla expozíciós idejű szuperkamerával pillanatképet készítünk.


 

3. ábra
 

a) Milyen hosszúnak látszik a nyílvessző a fotón? (Másképp: a vonalzónak milyen hosszú része van takarásban a fényképen?)
b) Mekkora sebességgel mozog a nyílvessző, ha a φ=60-ban elhelyezkedő szuperkamera által készített pillanatképen éppen L0 hosszúságúnak látszik?
1Kunfalvi Rezső (1905‐1998) fizikatanár, a KöMaL Fizika Rovatának elindítója, a Nemzetközi Fizikai Diákolimpia egyik kezdeményezője.

2,,Search for extraterrestrial intelligence''.

3Lev D. Landau (1908-1968) Nobel-díjas szovjet fizikus