Cím:	Megoldásvázlatok a 2010/7. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2010/november, 465 - 471. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldásvázlatok a 2010/7. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz   Számadó László Veszprém   I. rész   1. Hajtsuk végre a következő utasításokat. Egy tetszőleges kétjegyű számnak vegyük a tízszeresét. Az így kapott számhoz adjunk hozzá egy tetszőleges számjegyet. Ennek az összegnek vegyük a százszorosát, majd adjuk hozzá az eredeti kétjegyű számot. Az ekkor kapott számból vegyük el a tetszőleges számjegy kétszeresét. A különbségnek vegyük a hetedét. Igazoljuk, hogy az eljárás végén mindig egész számot kapunk.  (11 pont)   Megoldás. Legyen a tetszőleges kétjegyű szám $\overline{ab}$ ($a$ pozitív számjegy, $b$ számjegy), a tetszőleges számjegy pedig $c$. A feladat utasításait követve ezeket a számokat kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \overline{ab}\mathrm{,}\overline{ab0}\mathrm{,}\overline{abc}\mathrm{,}\overline{abc00}\mathrm{,}\overline{abcab}\mathrm{,}\overline{abcab}-2c\mathrm{.}}\end{array}$ Ez utóbbit így is írhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1001\cdot \overline{ab}+100c-2c=1001\cdot \overline{ab}+98\cdot c=7\cdot \left(143\cdot \overline{ab}+14\cdot c\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel a zárójelben lévő kifejezés egész szám, azért valóban egész számot kapunk az eljárás végén. Megjegyzés: A feladat állítása tetszőleges egész szám esetén teljesül.   2. Határozzuk meg a $p$ értékét úgy, hogy a következő egyenletnek legyen valós gyöke: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x^2-2010x-2011}+\sqrt[]{x^2+2011x+2010}+\sqrt[]{x^2-p^2}=0.}\end{array}$  (12 pont)   Megoldás. Három nemnegatív valós szám összege csak úgy lehet nulla, ha mindegyik nulla. A másodfokú kifejezéseket szorzattá bonthatjuk: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2-2010x-2011}& {\displaystyle =\left(x-2011\right)\left(x+1\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^2+2011x+2010}& {\displaystyle =\left(x+2010\right)\left(x+1\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^2-p^2}& {\displaystyle =\left(x-p\right)\left(x+p\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ekkor az egyenletet így írhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{\left(x-2011\right)\left(x+1\right)}+\sqrt[]{\left(x+2010\right)\left(x+1\right)}+\sqrt[]{\left(x-p\right)\left(x+p\right)}=0.}\end{array}$ Az $x=-1$ esetén az első két tag értéke nulla. Ha van megoldás, akkor a harmadik tagnak is nullának kellene lennie $-1$ helyettesítésénél: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(-1\right)}^2-p^2=\left(-1+p\right)\left(-1-p\right)=0.}\end{array}$ Vagyis $p_1=1$ vagy $p_2=-1$.   3. Adott a koordinátarendszerben öt pont: $A\left(7;-1\right)$, $B\left(-2;2\right)$, $C\left(-1;5\right)$, $D\left(6;6\right)$, $E\left(7;6\right)$. $a)$ Adjuk meg azt a $P$ pontot (ha van ilyen), amelyre $PA=PB=PC=PD$. $b)$ Igazoljuk, hogy nincs olyan pont, amely az $A$, $B$, $C$ és $E$ pontoktól egyenlő távolságra található.  (14 pont)   Megoldás. $a)$ A keresett $P$ pont az $ABCD$ négyszög köré írt körének középpontja. Ennek meghatározására egy lehetséges gondolatmenet a következő: Felírjuk az $ABC$ háromszög köré írt körének egyenletét. Megnézzük, hogy erre a körre illeszkedik-e a $D$ pont. Ha igen, akkor az előbbi kör középpontja lesz a keresett $P$ pont. Írjuk fel az $AB$ szakasz $f_3$ felezőmerőlegesének egyenletét. Az $AB$ szakasz felezőpontja: $F_3\left(\frac{5}{2};\frac{1}{2}\right)$, az $f_3$ egyenes normálvektora: $\overrightarrow{n_3}\left(3;-1\right)\parallel \overrightarrow{AB}$. Vagyis az egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle f_3:3x-y=7.}\end{array}$ Írjuk fel a $BC$ szakasz $f_1$ felezőmerőlegesének egyenletét. Az $BC$ szakasz felezőpontja: $F_1\left(-\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right)$, az $f_1$ egyenes normálvektora: $\overrightarrow{n_1}\left(1;3\right)\parallel \overrightarrow{BC}$. Vagyis az egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle f_1:x+3y=9.}\end{array}$ Meghatározzuk a két egyenes metszéspontját, ehhez a $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 3x-y}& {\displaystyle =7}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x+3y}& {\displaystyle =9}\hfill \end{array}}\}}\end{array}$ egyenletrendszert kell megoldanunk. Ebből kapjuk: $x=3$, $y=2$. Vagyis az $ABC$ háromszög köré írt körének középpontja: $K\left(3;2\right)$. Meghatározzuk a középpont és valamelyik csúcs távolságát, hogy a kör sugarát is megkapjuk: $KA=KB=KC=5$. Ezek alapján a kör egyenlete: ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=25$. A $D\left(6;6\right)$ pont koordinátáinak behelyettesítésével egyenlőséget kapunk, ezért a $D$ pont illeszkedik erre a körre, azaz $ABCD$ húrnégyszög. A keresett pont azonos a $K$ ponttal, vagyis $P\left(3;2\right)$. Megjegyzés. Rövidebb számolással is eljuthatunk ehhez az eredményhez, ha észrevesszük és belátjuk, hogy az $ABC$ háromszög derékszögű. Ekkor az $ABC$ háromszög köré írt körének középpontja az $AC$ szakasz felezőpontja lesz (Thalész-kör). $b)$ Ha van ilyen pont, akkor az illeszkedik az $AE$ és a $BC$ szakasz felezőmerőlegesére is. A tanult módon felírjuk a két felezőmerőleges egyenletét, majd meghatározzuk a metszéspontjukat. Az $AE$ szakasz felezőmerőlegesének egyenlete: $y=\frac{5}{2}$. A $BC$ szakasz felezőmerőlegesének egyenlete: $x+3y=9$. A metszéspont: $Q\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)$. Ha van megfelelő pont, akkor az csakis a $Q$ lehet. Eddig tudjuk, hogy $AQ=EQ$ és $BQ=CQ$. Mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle EQ=\sqrt[]{{\left(7-\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(6-\frac{5}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt[]{170}}{2}\text{és}CQ=\sqrt[]{{\left(-1-\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(5-\frac{5}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt[]{50}}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ így $EQ\ne CQ$, vagyis valóban nincs a feltételeknek megfelelő pont. Megjegyzés. Az állítás igazolását most önállóan végeztük el. Természetesen az $a)$ részben kapott eredmények felhasználásával is igazolhattuk volna a $b)$ állítást: az $ABC$ köré írt kör egyenletébe behelyettesítjük az $E\left(7;6\right)$ koordinátáit.   4. Az $f\left(x\right)$ másodfokú függvény esetén minden valós $x$-re teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)+f\left(x+1\right)+1=2\cdot \left(f\left(x\right)+x+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Adjuk meg $f\left(8\right)-f\left(4\right)$ értékét.  (14 pont)   Megoldás. Legyen $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ ($a$, $b$, $c$ valós számok). Ekkor a feladat szövege szerint minden valós $x$ esetén: $\begin{array}{c}{\displaystyle a{x}^2+bx+c+a{\left(x+1\right)}^2+b\left(x+1\right)+c+1=2a{x}^2+2bx+2c+2x+2.}\end{array}$ Elvégezve a műveleteket, összevonásokat: $2ax+a+b=2x+1$. Ezt a következő alakban is írhatjuk: $2\left(a-1\right)x=1-a-b$. Ez minden valós $x$-re akkor teljesül, ha $2\left(a-1\right)=1-a-b=0$, azaz $a=1$, és $b=0$, a $c$ tetszőleges. Vagyis $f\left(x\right)=x^2+c$. Ekkor $f\left(8\right)-f\left(4\right)=8^2+c-4^2-c=48$. Megjegyzés. Tetszőleges, az (1)-nek eleget tevő $f\left(x\right)$ függvény esetén teljesül, hogy $f\left(8\right)-f\left(4\right)=48$. Ezt rekurzívan bizonyíthatjuk.   II. rész   5. Egy színpadi díszletet a díszlettervező egy $\text{1 m <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>×</mo></math>2,5 m}$-es préselt lemezből szeretné kivágatni. A lapra 1 dm-es beosztással rácsot rajzolnak, a téglalap hosszú középvonalának egyenesét $y$, az erre merőleges egyik oldal egyenesét pedig $x$ tengelynek tekintik. Berajzolják az $x\mapsto 25-x^2$ hozzárendelésű függvény rácspontjait. A rácspontokat összekötő egyenes szakaszok mentén kifűrészelik azt a konvex sokszöget, amelynek egyik oldala az eredeti téglalap egyik oldalával egybeesik. Hány $\text{d<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$-rel kapnának nagyobb területű síkidomot, ha a függvény görbéje mentén tudnának fűrészelni?  (16 pont)   Megoldás.   Az ábra mutatja a konvex sokszöget, amely négy húrtrapézból és egy egyenlőszárú háromszögből áll. Ezek területének összege: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle t}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \frac{\left(10+8\right)\cdot 9}{2}+\frac{\left(8+6\right)\cdot 7}{2}+\frac{\left(6+4\right)\cdot 5}{2}+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle +\frac{\left(4+2\right)\cdot 3}{2}+\frac{2\cdot 1}{2}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle 81+49+25+9+1=165.}\hfill \end{array}}$ Vagyis a sokszög területe 165 dm${}^2$.     Számoljuk ki, hogy mennyi lenne annak a síkidomnak a területe, amelyet a függvény görbéje mentén fűrészelve kapnánk. Ehhez a görbe alatti területet kell meghatároznunk: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle T}& {\displaystyle ={\int }_{-5}^5\left(25-x^2\right)dx={\left[25x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-5}^5=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =125-\frac{125}{3}+125-\frac{125}{3}=\frac{500}{3}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A két terület különbsége adja a kérdésre a választ: $\begin{array}{c}{\displaystyle T-t=\frac{500}{3}-165=\frac{5}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ Azaz csak $\frac{5}{3}$ dm${}^2$-rel lenne nagyobb a görbe mentén kifűrészelt síkidom területe.   6. Az $f\left(x\right)=|x-1|+|x-5|-4$ hozzárendeléssel megadott függvény jó közelítéssel egy középszakasz jellegű folyó keresztmetszetét adja. A koordinátarendszer egysége a valóságban $1$ métert jelent. Tudjuk, hogy a folyó sebessége $1\mathrm{,}2\frac{\text{m}}{\text{s}}$, a vízállás pedig $4$ méteres. $a)$ Mekkora mennyiségű víz halad keresztül a folyó keresztmetszetén $1$ óra alatt? $b)$ Hány százalékkal csökken a folyó vízhozama, ha a vízszint $2$ méternyit apad? $c)$ Mennyivel csökken a vízszint az eredetihez képest, ha a híradások szerint a folyó vízhozama a felére esett vissza?  (16 pont)   Megoldás. Rajzoljuk le a függvény görbéjét. Ha $x<1$, akkor $f\left(x\right)=|x-1|+|x-5|-4=-x+1-x+5-4=-2x+2$. Ha $1\le x\le 5$, akkor $f\left(x\right)=|x-1|+|x-5|-4=x-1-x+5-4=0$. Ha $5<x$, akkor $f\left(x\right)=|x-1|+|x-5|-4=x-1+x-5-4=2x-10$. Az így kapott három segédegyenes megfelelő része adja a függvény görbéjét, amint ezt az ábrán láthatjuk. Bejelöltük a 4 méteres vízállás szintjét is.     $a)$ Mivel a folyó sebessége 1,2 $\frac{\text{m}}{\text{s}}$, azért 1 óra alatt, azaz 3600 s alatt 4320 métert halad. A folyó keresztmetszetén egy ilyen hosszú vízoszlop halad keresztül. Ennek a húrtrapéz alapú hasábnak a térfogatát kell meghatároznunk. A függvény adatai alapján a trapéz párhuzamos oldalainak hossza 4 m és 8 m, a trapéz magassága 4 m. A hasáb magassága 4320 m. Ezek alapján a keresett térfogat: $\begin{array}{c}{\displaystyle V=\frac{\left(4+8\right)\cdot 4}{2}\cdot 4320=103680.}\end{array}$ Vagyis 1 óra alatt 103 680 m${}^3$ víz halad keresztül a folyó keresztmetszetén. $b)$ Ha a vízszint 2 méterrel csökken, akkor a vízállás már csak 2 méter lesz. Kiszámítjuk az eredeti és az új keresztmetszet esetén a területet, ekkor meg tudjuk mondani a vízhozam csökkenését. Az adatokat a vázlatrajzon rögzítettük. Az eredeti keresztmetszet területe: $T=\frac{\left(4+8\right)\cdot 4}{2}=24$. Az új keresztmetszet területe: $t=\frac{\left(4+6\right)\cdot 2}{2}=10$. A kérdéses százalék: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{T-t}{T}\cdot 100=\frac{1400}{24}\approx 58\mathrm{,}3.}\end{array}$ Vagyis kb. 58,3%-kal csökkent a folyó vízhozama.     $c)$ Azt a vízszintet keressük, amikor a keresztmetszet vázlatrajzán a szürkével jelölt rész területe fele az eredeti trapéz területének. Rajzunkon a trapéz kiegészítő háromszöge is látható.     Használjuk a rajz jelöléseit. Három hasonló háromszög látható az ábrán. Ezek alapján: $\frac{a}{4}=\frac{a+4}{8}$, azaz $a=4$, illetve $\frac{4}{4}=\frac{4+m}{c}$, azaz $c=m+4$. Tudjuk, hogy az eredeti keresztmetszet területe: $T=24$. A szürkével jelölt rész területe: $t_2=\frac{\left(4+c\right)\cdot m}{2}=12$, azaz $\left(4+c\right)\cdot m=24$. Behelyettesítve a korábban kapott $c=m+4$ eredményünket: $\left(m+8\right)\cdot m=24$. Az így kapott $m^2+8m-24=0$ másodfokú egyenlet megoldásai: $m_{1;2}=-4\pm 2\sqrt[]{10}$. Csak a pozitív érték jöhet szóba: $m=-4+2\sqrt[]{10}\approx 2\mathrm{,}32$. Vagyis kb. $4-2\mathrm{,}32=1\mathrm{,}68$ méterrel csökkent a vízszint az eredetihez képest, ha a folyó vízhozama a felére esett vissza.   7. A négyzetszámokat háromszög alakzatba rendezzük az alábbiak szerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccccccc}\hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 1}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 4}\hfill & \hfill {\displaystyle 9}\hfill & \hfill {\displaystyle 16}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 25}\hfill & \hfill {\displaystyle 36}\hfill & \hfill {\displaystyle 49}\hfill & \hfill {\displaystyle 64}\hfill & \hfill {\displaystyle 81}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hfill {\displaystyle 100}\hfill & \hfill {\displaystyle 121}\hfill & \hfill {\displaystyle 144}\hfill & \hfill {\displaystyle 169}\hfill & \hfill {\displaystyle 196}\hfill & \hfill {\displaystyle 225}\hfill & \hfill {\displaystyle 256}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{...}}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \end{array}}}\end{array}$ $a)$ Melyik szám áll a $13$. sor $7$. helyén? $b)$ Hol található a $66049?$ $c)$ Mennyi a $24$. sorban lévő számok összege?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ A sorokban rendre $\mathrm{1,3,5,}\text{...}$ darab négyzetszám található. A 13. sort megelőzően 12 teljes sor található, vagyis az első 12 páratlan szám összegét kell vennünk. Ez $1+3+\text{...}+23=144$. A 13. sorban a 7. szám a $144+7=151$. négyzetszám lesz. Vagyis a kérdezett helyen a ${151}^2=22801$ áll. $b)$ Az $n$. sor utolsó tagja $n^4$. Mivel $66049={257}^2$, azért a 257. négyzetszám helyét kell megkeresnünk. Tudjuk, hogy $257={16}^2+1$. Az első 16 páratlan szám összege ${16}^2=256$, ezért a 257. négyzetszám a 17. sor 1. helyén áll. $c)$ A 23. sor utolsó tagja a ${23}^2$, azaz az 529. négyzetszám. A 24. sor utolsó tagja pedig a ${24}^2$, azaz az 576. négyzetszám. A feladatunk a 530. négyzetszámtól az 576. négyzetszámig összeadni az összes négyzetszámot. Felhasználjuk a négyzetszámok összegzésére vonatkozó képletet: $S_n=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$. A keresett összeg: $\begin{array}{c}{\displaystyle S_{576}-S_{529}=\frac{576\cdot 577\cdot 1153}{6}-\frac{529\cdot 530\cdot 1059}{6}=14381671.}\end{array}$   8. Hat darab $\sqrt[]{3}$ és hat darab $4$ hosszúságú szakaszt valamilyen sorrendben úgy rakunk egymáshoz, hogy a végén egy húrtizenkétszög alakuljon ki. Mekkora a tizenkétszög köré írt kör sugara?  (16 pont)   Megoldás. A keresett kör sugara legyen $r$, a középpontja pedig $O$. A $\sqrt[]{3}$ hosszúságú húrhoz tartozó középponti szög legyen $\alpha$, a 4 hosszúságú húrhoz tartozó középponti szög pedig legyen $\beta$. Tudjuk, hogy $6\alpha +6\beta ={360}^{\circ }$, így $\alpha +\beta ={60}^{\circ }$. Válasszuk ki a tizenkétszög két olyan szomszédos oldalát, amelyek különböző hosszúak. Legyenek ezek pl. $AB=\sqrt[]{3}$, $BC=4$. Az előzőek alapján tudjuk, hogy $AOC$ háromszög szabályos, hiszen $AO=CO=r$, $AOC\sphericalangle =\alpha +\beta ={60}^{\circ }$. Vagyis $AC=r$. Az egyenlő íveken nyugvó középponti és kerületi szögekre vonatkozó tétel alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle ABC\sphericalangle =\frac{{360}^{\circ }-{60}^{\circ }}{2}={150}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Alkalmazzuk az $ABC$ háromszögre a koszinusztételt: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle A{C}^2}& {\displaystyle =3+16-2\cdot \sqrt[]{3}\cdot 4\cdot \text{cos}{150}^{\circ }=\mathrm{31,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle AC}& {\displaystyle =r=\sqrt[]{31}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A keresett kör sugara $\sqrt[]{31}$ hosszúságú.     9. Egy pihenőpark használatáért az üzemeltető pénzt szeretne kapni, ezért két lehetőséget dolgoztatott ki. Az első változat szerint lenne $12$ órás és $6$ órás jegy. A $12$ órás jeggyel nyitástól zárásig bent lehet lenni 1000 Ft-ért, a $6$ órás jegy ára pedig 600 Ft lenne. A második változat szerint lenne $3$ órás jegy 350 Ft-ért, $6$ órás jegy 600 Ft-ért, $9$ órás jegy 850 Ft-ért és az ezt meghaladó időre szóló jegy 1250 Ft-ért. Megfigyeltek $150$ látogatót és a következő gyakoriság adódott:   ${\displaystyle \begin{array}{|ccccccccccccc|}\hline {\displaystyle \text{időtartam (h)}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0‐1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1‐2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2‐3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3‐4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4‐5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{5‐6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6‐7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{7‐8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{8‐9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{9‐10}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{10‐11}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{11‐12}}\hfill \\ {\displaystyle \text{gyakoriság (fő)}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{11}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{18}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{25}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{26}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{20}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{16}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{15}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}\hfill \\ \hline\end{array}}$   $a)$ Mennyi lesz az adatok alapján az egy főre eső átlagos bevétel az első változat szerint? $b)$ Mennyi lesz az adatok alapján az egy főre eső átlagos bevétel a második változat szerint? $c)$ Egy harmadik változatban $4$, $8$ és $12$ órás jegyeket lehetne vásárolni, melyek ára arányos lenne az időtartammal. Milyen áron kellene adni ezeket a jegyeket, ha a rendelkezésre álló adatok alapján az egy főre eső átlagos bevételként 700 Ft körüli értéket szeretne kapni az üzemeltető és a jegyek ára $10$-zel osztható?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Az első változat szerint $20+16+15+4+2+0=57$ fő 1000 Ft-os jegyet, és $150-57=93$ fő 600 Ft-os jegyet vásárolna. Ekkor az egy főre eső átlagos bevétel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{57\cdot 1000+93\cdot 600}{150}=752\left(\frac{\text{Ft}}{\text{fő}}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ A második változat szerint $4+2+0=6$ fő 1250 Ft-os jegyet, $20+16+15=51$ fő 850 Ft-os jegyet, $18+25+26=69$ fő 600 Ft-os jegyet és $6+7+11=24$ fő 350 Ft-os jegyet vásárolna. Ekkor az egy főre eső átlagos bevétel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{24\cdot 350+69\cdot 600+51\cdot 850+6\cdot 1250}{150}=671\left(\frac{\text{Ft}}{\text{fő}}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ $c)$ Legyen a 4 órás jegy ára $x$ Ft, ekkor a 8 órásé $2x$ Ft, a 12 órásé $3x$ Ft. A megadott adatok alapján $15+4+2+0=21$ fő $3x$ Ft-os jegyet, $25+26+20+16=87$ fő $2x$ Ft-os jegyet és $6+7+11+18=42$ fő $x$ Ft-os jegyet vásárolna. Ekkor az egy főre eső átlagos bevétel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{42\cdot x+87\cdot 2x+21\cdot 3x}{150}=\frac{279x}{150}\left(\frac{\text{Ft}}{\text{fő}}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Azt szeretnénk, hogy ez a szám 700 körüli érték legyen, vagyis $\frac{279x}{150}=700$, amiből $x\approx 376$. A jegyek ára kerekítés után lehetne: 380 Ft a 4 órásé, 760 Ft a 8 órásé és 1140 Ft a 12 órásé.