Cím: Megoldásvázlatok a 2010/7. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2010/november, 465 - 471. oldal  PDF file

Megoldásvázlatok a 2010/7. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
 

Számadó László
Veszprém
 

I. rész
 

1. Hajtsuk végre a következő utasításokat. Egy tetszőleges kétjegyű számnak vegyük a tízszeresét. Az így kapott számhoz adjunk hozzá egy tetszőleges számjegyet. Ennek az összegnek vegyük a százszorosát, majd adjuk hozzá az eredeti kétjegyű számot. Az ekkor kapott számból vegyük el a tetszőleges számjegy kétszeresét. A különbségnek vegyük a hetedét.
Igazoljuk, hogy az eljárás végén mindig egész számot kapunk.  (11 pont)
 
Megoldás. Legyen a tetszőleges kétjegyű szám ab¯ (a pozitív számjegy, b számjegy), a tetszőleges számjegy pedig c. A feladat utasításait követve ezeket a számokat kapjuk:
ab¯,ab0¯,abc¯,abc00¯,abcab¯,abcab¯-2c.
Ez utóbbit így is írhatjuk:
1001ab¯+100c-2c=1001ab¯+98c=7(143ab¯+14c).
Mivel a zárójelben lévő kifejezés egész szám, azért valóban egész számot kapunk az eljárás végén.
Megjegyzés: A feladat állítása tetszőleges egész szám esetén teljesül.
 
2. Határozzuk meg a p értékét úgy, hogy a következő egyenletnek legyen valós gyöke:
x2-2010x-2011+x2+2011x+2010+x2-p2=0.
 (12 pont)
 
Megoldás. Három nemnegatív valós szám összege csak úgy lehet nulla, ha mindegyik nulla. A másodfokú kifejezéseket szorzattá bonthatjuk:
x2-2010x-2011=(x-2011)(x+1),x2+2011x+2010=(x+2010)(x+1),x2-p2=(x-p)(x+p).
Ekkor az egyenletet így írhatjuk:
(x-2011)(x+1)+(x+2010)(x+1)+(x-p)(x+p)=0.
Az x=-1 esetén az első két tag értéke nulla. Ha van megoldás, akkor a harmadik tagnak is nullának kellene lennie -1 helyettesítésénél:
(-1)2-p2=(-1+p)(-1-p)=0.
Vagyis p1=1 vagy p2=-1.
 
3. Adott a koordinátarendszerben öt pont: A(7;-1), B(-2;2), C(-1;5), D(6;6), E(7;6).
a) Adjuk meg azt a P pontot (ha van ilyen), amelyre PA=PB=PC=PD.
b) Igazoljuk, hogy nincs olyan pont, amely az A, B, C és E pontoktól egyenlő távolságra található.  (14 pont)
 
Megoldás. a) A keresett P pont az ABCD négyszög köré írt körének középpontja. Ennek meghatározására egy lehetséges gondolatmenet a következő:
Felírjuk az ABC háromszög köré írt körének egyenletét. Megnézzük, hogy erre a körre illeszkedik-e a D pont. Ha igen, akkor az előbbi kör középpontja lesz a keresett P pont. Írjuk fel az AB szakasz f3 felezőmerőlegesének egyenletét. Az AB szakasz felezőpontja: F3(52;12), az f3 egyenes normálvektora: n3(3;-1)AB. Vagyis az egyenlet:
f3:3x-y=7.

Írjuk fel a BC szakasz f1 felezőmerőlegesének egyenletét. Az BC szakasz felezőpontja: F1(-32;72), az f1 egyenes normálvektora: n1(1;3)BC. Vagyis az egyenlet:
f1:x+3y=9.

Meghatározzuk a két egyenes metszéspontját, ehhez a
3x-y=7x+3y=9}
egyenletrendszert kell megoldanunk. Ebből kapjuk: x=3, y=2. Vagyis az ABC háromszög köré írt körének középpontja: K(3;2).
Meghatározzuk a középpont és valamelyik csúcs távolságát, hogy a kör sugarát is megkapjuk: KA=KB=KC=5. Ezek alapján a kör egyenlete: (x-3)2+(y-2)2=25. A D(6;6) pont koordinátáinak behelyettesítésével egyenlőséget kapunk, ezért a D pont illeszkedik erre a körre, azaz ABCD húrnégyszög. A keresett pont azonos a K ponttal, vagyis P(3;2).
Megjegyzés. Rövidebb számolással is eljuthatunk ehhez az eredményhez, ha észrevesszük és belátjuk, hogy az ABC háromszög derékszögű. Ekkor az ABC háromszög köré írt körének középpontja az AC szakasz felezőpontja lesz (Thalész-kör).
b) Ha van ilyen pont, akkor az illeszkedik az AE és a BC szakasz felezőmerőlegesére is. A tanult módon felírjuk a két felezőmerőleges egyenletét, majd meghatározzuk a metszéspontjukat.
Az AE szakasz felezőmerőlegesének egyenlete: y=52. A BC szakasz felezőmerőlegesének egyenlete: x+3y=9. A metszéspont: Q(32;52).
Ha van megfelelő pont, akkor az csakis a Q lehet. Eddig tudjuk, hogy AQ=EQ és BQ=CQ. Mivel
EQ=(7-32)2+(6-52)2=1702ésCQ=(-1-32)2+(5-52)2=502,
így EQCQ, vagyis valóban nincs a feltételeknek megfelelő pont.
Megjegyzés. Az állítás igazolását most önállóan végeztük el. Természetesen az a) részben kapott eredmények felhasználásával is igazolhattuk volna a b) állítást: az ABC köré írt kör egyenletébe behelyettesítjük az E(7;6) koordinátáit.
 
4. Az f(x) másodfokú függvény esetén minden valós x-re teljesül, hogy
f(x)+f(x+1)+1=2(f(x)+x+1).(1)
Adjuk meg f(8)-f(4) értékét.  (14 pont)
 
Megoldás. Legyen f(x)=ax2+bx+c (a, b, c valós számok). Ekkor a feladat szövege szerint minden valós x esetén:
ax2+bx+c+a(x+1)2+b(x+1)+c+1=2ax2+2bx+2c+2x+2.
Elvégezve a műveleteket, összevonásokat: 2ax+a+b=2x+1. Ezt a következő alakban is írhatjuk: 2(a-1)x=1-a-b.
Ez minden valós x-re akkor teljesül, ha 2(a-1)=1-a-b=0, azaz a=1, és b=0, a c tetszőleges. Vagyis f(x)=x2+c. Ekkor f(8)-f(4)=82+c-42-c=48.
Megjegyzés. Tetszőleges, az (1)-nek eleget tevő f(x) függvény esetén teljesül, hogy f(8)-f(4)=48. Ezt rekurzívan bizonyíthatjuk.
 

II. rész
 

5. Egy színpadi díszletet a díszlettervező egy 1 m  ×2,5 m-es préselt lemezből szeretné kivágatni. A lapra 1 dm-es beosztással rácsot rajzolnak, a téglalap hosszú középvonalának egyenesét y, az erre merőleges egyik oldal egyenesét pedig x tengelynek tekintik. Berajzolják az x25-x2 hozzárendelésű függvény rácspontjait. A rácspontokat összekötő egyenes szakaszok mentén kifűrészelik azt a konvex sokszöget, amelynek egyik oldala az eredeti téglalap egyik oldalával egybeesik. Hány dm2-rel kapnának nagyobb területű síkidomot, ha a függvény görbéje mentén tudnának fűrészelni?  (16 pont)
 
Megoldás.
 
Az ábra mutatja a konvex sokszöget, amely négy húrtrapézból és egy egyenlőszárú háromszögből áll. Ezek területének összege:
t=(10+8)92+(8+6)72+(6+4)52++(4+2)32+212==81+49+25+9+1=165.
Vagyis a sokszög területe 165 dm2.
 
 

Számoljuk ki, hogy mennyi lenne annak a síkidomnak a területe, amelyet a függvény görbéje mentén fűrészelve kapnánk. Ehhez a görbe alatti területet kell meghatároznunk:
T=-55(25-x2)dx=[25x-x33]-55==125-1253+125-1253=5003.
A két terület különbsége adja a kérdésre a választ:
T-t=5003-165=53.
Azaz csak 53 dm2-rel lenne nagyobb a görbe mentén kifűrészelt síkidom területe.
 
6. Az f(x)=|x-1|+|x-5|-4 hozzárendeléssel megadott függvény jó közelítéssel egy középszakasz jellegű folyó keresztmetszetét adja. A koordinátarendszer egysége a valóságban 1 métert jelent. Tudjuk, hogy a folyó sebessége 1,2ms, a vízállás pedig 4 méteres.
a) Mekkora mennyiségű víz halad keresztül a folyó keresztmetszetén 1 óra alatt?
b) Hány százalékkal csökken a folyó vízhozama, ha a vízszint 2 méternyit apad?
c) Mennyivel csökken a vízszint az eredetihez képest, ha a híradások szerint a folyó vízhozama a felére esett vissza?  (16 pont)
 
Megoldás. Rajzoljuk le a függvény görbéjét.
Ha x<1, akkor f(x)=|x-1|+|x-5|-4=-x+1-x+5-4=-2x+2.
Ha 1x5, akkor f(x)=|x-1|+|x-5|-4=x-1-x+5-4=0.
Ha 5<x, akkor f(x)=|x-1|+|x-5|-4=x-1+x-5-4=2x-10.
Az így kapott három segédegyenes megfelelő része adja a függvény görbéjét, amint ezt az ábrán láthatjuk. Bejelöltük a 4 méteres vízállás szintjét is.
 
 

a) Mivel a folyó sebessége 1,2 ms, azért 1 óra alatt, azaz 3600 s alatt 4320 métert halad. A folyó keresztmetszetén egy ilyen hosszú vízoszlop halad keresztül. Ennek a húrtrapéz alapú hasábnak a térfogatát kell meghatároznunk. A függvény adatai alapján a trapéz párhuzamos oldalainak hossza 4 m és 8 m, a trapéz magassága 4 m. A hasáb magassága 4320 m. Ezek alapján a keresett térfogat:
V=(4+8)424320=103680.
Vagyis 1 óra alatt 103 680 m3 víz halad keresztül a folyó keresztmetszetén.
b) Ha a vízszint 2 méterrel csökken, akkor a vízállás már csak 2 méter lesz. Kiszámítjuk az eredeti és az új keresztmetszet esetén a területet, ekkor meg tudjuk mondani a vízhozam csökkenését. Az adatokat a vázlatrajzon rögzítettük.
Az eredeti keresztmetszet területe: T=(4+8)42=24. Az új keresztmetszet területe: t=(4+6)22=10. A kérdéses százalék:
T-tT100=14002458,3.
Vagyis kb. 58,3%-kal csökkent a folyó vízhozama.
 
 

c) Azt a vízszintet keressük, amikor a keresztmetszet vázlatrajzán a szürkével jelölt rész területe fele az eredeti trapéz területének. Rajzunkon a trapéz kiegészítő háromszöge is látható.
 
 

Használjuk a rajz jelöléseit. Három hasonló háromszög látható az ábrán. Ezek alapján: a4=a+48, azaz a=4, illetve 44=4+mc, azaz c=m+4.
Tudjuk, hogy az eredeti keresztmetszet területe: T=24. A szürkével jelölt rész területe: t2=(4+c)m2=12, azaz (4+c)m=24. Behelyettesítve a korábban kapott c=m+4 eredményünket: (m+8)m=24. Az így kapott m2+8m-24=0 másodfokú egyenlet megoldásai: m1;2=-4±210.
Csak a pozitív érték jöhet szóba: m=-4+2102,32. Vagyis kb. 4-2,32=1,68 méterrel csökkent a vízszint az eredetihez képest, ha a folyó vízhozama a felére esett vissza.
 
7. A négyzetszámokat háromszög alakzatba rendezzük az alábbiak szerint:
149162536496481100121144169196225256...

a) Melyik szám áll a 13. sor 7. helyén?
b) Hol található a 66049?
c) Mennyi a 24. sorban lévő számok összege?  (16 pont)
 
Megoldás. a) A sorokban rendre 1,3,5,... darab négyzetszám található. A 13. sort megelőzően 12 teljes sor található, vagyis az első 12 páratlan szám összegét kell vennünk. Ez 1+3+...+23=144. A 13. sorban a 7. szám a 144+7=151. négyzetszám lesz.
Vagyis a kérdezett helyen a 1512=22801 áll.
b) Az n. sor utolsó tagja n4. Mivel 66049=2572, azért a 257. négyzetszám helyét kell megkeresnünk. Tudjuk, hogy 257=162+1. Az első 16 páratlan szám összege 162=256, ezért a 257. négyzetszám a 17. sor 1. helyén áll.
c) A 23. sor utolsó tagja a 232, azaz az 529. négyzetszám. A 24. sor utolsó tagja pedig a 242, azaz az 576. négyzetszám. A feladatunk a 530. négyzetszámtól az 576. négyzetszámig összeadni az összes négyzetszámot.
Felhasználjuk a négyzetszámok összegzésére vonatkozó képletet: Sn=n(n+1)(2n+1)6. A keresett összeg:
S576-S529=57657711536-52953010596=14381671.

 
8. Hat darab 3 és hat darab 4 hosszúságú szakaszt valamilyen sorrendben úgy rakunk egymáshoz, hogy a végén egy húrtizenkétszög alakuljon ki. Mekkora a tizenkétszög köré írt kör sugara?  (16 pont)
 
Megoldás. A keresett kör sugara legyen r, a középpontja pedig O. A 3 hosszúságú húrhoz tartozó középponti szög legyen α, a 4 hosszúságú húrhoz tartozó középponti szög pedig legyen β. Tudjuk, hogy 6α+6β=360, így α+β=60.
Válasszuk ki a tizenkétszög két olyan szomszédos oldalát, amelyek különböző hosszúak. Legyenek ezek pl. AB=3, BC=4. Az előzőek alapján tudjuk, hogy AOC háromszög szabályos, hiszen AO=CO=r, AOC=α+β=60. Vagyis AC=r. Az egyenlő íveken nyugvó középponti és kerületi szögekre vonatkozó tétel alapján:
ABC=360-602=150.
Alkalmazzuk az ABC háromszögre a koszinusztételt:
AC2=3+16-234cos150=31,AC=r=31.
A keresett kör sugara 31 hosszúságú.
 
 

9. Egy pihenőpark használatáért az üzemeltető pénzt szeretne kapni, ezért két lehetőséget dolgoztatott ki. Az első változat szerint lenne 12 órás és 6 órás jegy. A 12 órás jeggyel nyitástól zárásig bent lehet lenni 1000 Ft-ért, a 6 órás jegy ára pedig 600 Ft lenne. A második változat szerint lenne 3 órás jegy 350 Ft-ért, 6 órás jegy 600 Ft-ért, 9 órás jegy 850 Ft-ért és az ezt meghaladó időre szóló jegy 1250 Ft-ért. Megfigyeltek 150 látogatót és a következő gyakoriság adódott:
 
időtartam (h)0‐11‐22‐33‐44‐55‐66‐77‐88‐99‐1010‐1111‐12gyakoriság (fő)6711182526201615420
 

a) Mennyi lesz az adatok alapján az egy főre eső átlagos bevétel az első változat szerint?
b) Mennyi lesz az adatok alapján az egy főre eső átlagos bevétel a második változat szerint?
c) Egy harmadik változatban 4, 8 és 12 órás jegyeket lehetne vásárolni, melyek ára arányos lenne az időtartammal. Milyen áron kellene adni ezeket a jegyeket, ha a rendelkezésre álló adatok alapján az egy főre eső átlagos bevételként 700 Ft körüli értéket szeretne kapni az üzemeltető és a jegyek ára 10-zel osztható?  (16 pont)
 
Megoldás. a) Az első változat szerint 20+16+15+4+2+0=57 fő 1000 Ft-os jegyet, és 150-57=93 fő 600 Ft-os jegyet vásárolna.
Ekkor az egy főre eső átlagos bevétel:
571000+93600150=752(Ft).

b) A második változat szerint 4+2+0=6 fő 1250 Ft-os jegyet, 20+16+15=51 fő 850 Ft-os jegyet, 18+25+26=69 fő 600 Ft-os jegyet és 6+7+11=24 fő 350 Ft-os jegyet vásárolna. Ekkor az egy főre eső átlagos bevétel:
24350+69600+51850+61250150=671(Ft).

c) Legyen a 4 órás jegy ára x Ft, ekkor a 8 órásé 2x Ft, a 12 órásé 3x Ft. A megadott adatok alapján 15+4+2+0=21 fő 3x Ft-os jegyet, 25+26+20+16=87 fő 2x Ft-os jegyet és 6+7+11+18=42 fő x Ft-os jegyet vásárolna. Ekkor az egy főre eső átlagos bevétel:
42x+872x+213x150=279x150(Ft).
Azt szeretnénk, hogy ez a szám 700 körüli érték legyen, vagyis 279x150=700, amiből x376.
A jegyek ára kerekítés után lehetne: 380 Ft a 4 órásé, 760 Ft a 8 órásé és 1140 Ft a 12 órásé.