Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Krisztin-Németh Andrea
Füzet:	2010/március, 142 - 143. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Adott az $\left(a_n\right)$ számtani sorozat. Igazoljuk, hogy a $b_n=a_{n+1}^2-a_n^2$ képlettel értelmezett sorozat is számtani sorozat.  (11 pont)   2. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\sqrt[]{x+1}+2}{\sqrt[]{x+1}-1}=\frac{x+1}{x-2}\mathrm{.}}\end{array}$  (12 pont)   3. Melyek azok a $P\left(x;y\right)$ pontok, amelyekre teljesül, hogy $||x|-1|-|y|\le 0$?  (14 pont)   4. Egy urnában 7 piros és 9 kék golyó van. Egymás után kihúzunk ötöt úgy, hogy minden húzás után visszatesszük a húzott golyót. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a kihúzott golyók között több a piros, mint a kék?  (14 pont)     II. rész   5. Egy távközlési társaság 13 000 előfizetővel rendelkezik 6500 Ft-os havidíj mellett. A piackutatások azt mutatják, hogy ha csökkentenék a havidíjat 100 Ft-tal, akkor 250 új előfizetőhöz jutnának, és ez igaz lenne minden újabb 100 Ft-tal történő csökkentésre. (A havidíj összege ennél a társaságnál mindig 100-zal osztható szám.) Mekkora havi előfizetési díj mellett lenne, a piackutatások szerint, a legnagyobb bevétele a társaságnak?  (16 pont)   6. Legyen $A_1$, $B_1$, $C_1$ rendre az $ABC$ háromszög $BC$, $CA$, $AB$ oldalán egy-egy tetszőleges pont. Legyen $l_a=A{A}_1$, $l_b=B{B}_1$, $l_c=C{C}_1$. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{l_a+l_b+l_c}{a+b+c}<\frac{3}{2}\mathrm{.}}\end{array}$  (16 pont)   7. Egy egyenes körkúpba írjunk bele egy félgömböt úgy, hogy az a körlapjával illeszkedjék a kúp alapkörének síkjára, gömbfelülete pedig érintse a kúp palástját. A kúp felszíne úgy aránylik a félgömb görbült felületének a felszínéhez, mint $18:5$. Mekkora a kúp nyílásszöge?  (16 pont)   8. Bálint és Jonatán a következő játékot játsszák. Dobnak két kockával; ha a dobott számok szorzata vagy összege hárommal osztható, akkor Bálint, egyébként Jonatán nyeri a játékot. Kinek van nagyobb esélye a győzelemre?  (16 pont)   9. Mely valós $p$ számokra igaz, hogy minden valós $x$ számra teljesül a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2x^2+2x+3}{x^2+x+1}\le p}\end{array}$ egyenlőtlenség?  (16 pont)