Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Gyanó Éva
Füzet:	2010/február, 74 - 75. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Határozzuk meg a következő kifejezések pontos értékét számológép nélkül: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle a)\sqrt[]{{100}^{\text{lg}\left(1-\text{sin}\frac{19\pi }{6}\right)}}b)\text{cos}{}^2{15}^{\circ }\cdot \text{tg}{15}^{\circ }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c)\text{log}{}_{\pi }\frac{1}{\sqrt[]{\pi }}+\text{tg}\left(-\frac{11\pi }{4}\right)+2^{\text{log}{}_{4}9}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$  (11 pont)   2. Oldjuk meg az egyenletrendszert a valós számpárok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{x^2-3xy+4}+x\left(x-3y\right)}& {\displaystyle =\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2x-y}& {\displaystyle =3.}\hfill \end{array}}}\end{array}$  (12 pont)   3. Adott az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+y^2-6x-4y+a=0}\end{array}$ egyenletű kör. Az abszcissza tengelyen pontosan egy olyan pont van, melyből a körhöz húzott érintők ${60}^{\circ }$-os szöget zárnak be egymással. $a)$ Határozzuk meg az $a$ paraméter értékét. $b)$ Mekkora szöget zárnak be egymással a kör origóból húzott érintői az $a=12$ paraméter esetén?  (14 pont)   4. Három pozitív szám egy mértani sorozat három szomszédos eleme. Ha a másodikhoz hozzáadunk kettőt, egy számtani sorozat három egymás utáni elemét kapjuk. Ha az így kapott sorozat első elemét 16-tal növeljük, ismét egy újabb, mértani sorozat három szomszédos elemét kapjuk. Melyik az eredeti három szám?  (14 pont)   II. rész   5. Két egyenes út $A$ pontban, derékszögben metszi egymást. Az útkereszteződéstől 70 km távolságban az egyik úton, 10 km távolságban a másik úton étterem van. A két étteremből egyszerre indul el egy-egy társaság $A$ felé. A távolabbról jövők óránként 4 km-t, a közelebbről jövők óránként 3 km-t tesznek meg. $a)$ Hány óra múlva lesznek egymáshoz a legközelebb, és mekkora a köztük lévő legkisebb távolság? $b)$ Indulás után hány órával lesz a köztük lévő távolság 50 km?  (16 pont)   6. Egy dobókockával háromszor dobunk. $a)$ Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott számok szorzata prímszám? $b)$ Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott számok szorzata négyzetszám?  (16 pont)   7. Egy 10 cm sugarú egyenes henger alakú edénybe vizet öntünk. Ezután belehelyezünk egy olyan négyzet alapú egyenes gúlát, amelynek minden éle 12 cm. A gúla lesüllyed a víz fenekére, alapnégyzete a henger alapkörére illeszkedik, és a gúla csúcsa 3 cm magasan kiáll a vízből. Mennyit emelkedik a vízszint?  (16 pont)   8. A $\text{sin}{}^{2}x+\text{sin}x+2^m-4=0$ egyenletben határozzuk meg az $m$ paraméter értékét úgy, hogy az egyenletnek a $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ intervallumban pontosan egy gyöke legyen.  (16 pont)   9. Határozzuk meg az $y=x^2+4$, $y=-3x+4$, $y=x^3$ egyenletű görbék grafikonja által határolt véges terület nagyságát. Ezt a síkidomot forgassuk meg az $x$ tengely körül. Mekkora az így kapott forgástest térfogata?  (16 pont)