Kezdőlap


Cím:	A 2009. évi William Lowell Putnam verseny feladatai
Füzet:	2010/február, 72 - 73. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

¹
A1. Legyen $f$ a sík pontjain értelmezett valós értékű függvény, amelyre teljesül, hogy a síkban minden $A B C D$ négyzetre $f (A) + f (B) + f (C) + f (D) = 0$ . Következik-e ebből, hogy a sík minden $P$ pontjára $f (P) = 0$ ?

A2. Az

f

g

h

függvények differenciálhatók valamely

0

-t tartalmazó nyílt intervallumon, és kielégítik az alábbi egyenleteket és kezdeti feltételeket:

\begin{matrix} f' & = 2 f^{2} g h + \frac{1}{g h}, & f (0) & = 1, \\ g' & = f g^{2} h + \frac{4}{f h}, & g (0) & = 1, \\ h' & = 3 f g h^{2} + \frac{1}{f g}, & h (0) & = 1. \end{matrix}

Keressen explicit kifejezést

f (x)

-re, mely megfelel a feltételeknek valamely

0

-t tartalmazó nyílt intervallumon.

A3. Legyen

d_{n}

annak az

n \times n

-es mátrixnak a determinánsa, amely balról jobbra és felülről lefelé haladva a

cos 1, cos 2, ..., cos n^{2}

elemekből áll. (Például

\begin{matrix} d_{3} = | \begin{matrix} cos 1 & cos 2 & cos 3 \\ cos 4 & cos 5 & cos 6 \\ cos 7 & cos 8 & cos 9 \end{matrix} | . \end{matrix}

A koszinuszok argumentumai radiánban értendők.)
Határozza meg a

{lim}_{n \to \infty}^{} d_{n}

határértéket.

A4. Legyen

S

olyan racionális számokból álló halmaz, amelyre

(a)

0 \in S

;

(b)

x \in S

, akkor

x + 1 \in S

és

x - 1 \in S

; valamint

(c)

x \in S

és

x \notin {0,1}

, akkor

1 / (x (x - 1)) \in S

.
Szükségszerű-e, hogy

S

tartalmazzon minden racionális számot?

A5. Létezik-e olyan véges kommutatív

G

csoport, amelyben az összes elem rendjének szorzata

2^{2009}

A6. Legyen a zárt egységnégyzeten értelmezett

f : {[0,1]}^{2} \to R

olyan folytonos függvény, amelyre

\frac{\partial f}{\partial x}

és

\frac{\partial f}{\partial y}

létezik és folytonos a négyzet

{(0,1)}^{2}

belsején. Legyen

\begin{matrix} a = \int_{0}^{1} f (0, y) d y, b = \int_{0}^{1} f (1, y) d y, c = \int_{0}^{1} f (x,0) d x, d = \int_{0}^{1} f (x,1) d x . \end{matrix}

Igaz-e, hogy biztosan létezik olyan

(x_{0}, y_{0})

pont a négyzet belsejében, amelyre

\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) = b - a és \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) = d - c ? \end{matrix}

Állítását bizonyítsa.

B1. Bizonyítsa be, hogy minden pozitív racionális szám felírható olyan tört alakban, ahol a számláló és a nevező is (nem szükségképpen különböző) prímszámok faktoriálisainak szorzata. Például

\begin{matrix} \frac{10}{9} = \frac{2! \cdot 5!}{3! \cdot 3! \cdot 3!} . \end{matrix}

B2. Egy játék során a számegyenesen kell ugrálni balról jobb felé haladva. Ha

a

és

b

valós számok és

b > a

, akkor az

a

-ból

b

-be való ugrás költsége

b^{3} - a b^{2}

. Melyek azok a

c

valós számok, amelyekre lehetséges eljutni

0

-ból

1

-be véges számú ugrással úgy, hogy az ugrások összköltsége pontosan

c

legyen?

B3. Az

{1,2, ..., n}

halmaz

S

részhalmazát nevezzük középszerűnek, ha rendelkezik az alábbi tulajdonsággal: amennyiben az

S

-beli

a

és

b

elemek átlaga egész, akkor az átlag is hozzátartozik az

S

halmazhoz. Legyen

A (n)

{1,2, ..., n}

halmaz középszerű részhalmazainak száma. (Az

{1,2,3}

halmaznak például

{1,3}

kivételével minden részhalmaza középszerű, így

A (3) = 7

.) Határozza meg az összes olyan

n

pozitív egészet, amelyre

A (n + 2) - 2 A (n + 1) + A (n) = 1

B4. Azt mondjuk, hogy az

x

y

változókon értelmezett valós együtthatós kétváltozós polinom kiegyensúlyozott, ha a polinom értékeinek átlaga minden origó középpontú körre 0. A legfeljebb 2009-edfokú kiegyensúlyozott polinomok

R

fölött

V

vektorteret alkotnak. Határozza meg

V

dimenzióját.

B5. Legyen

f : (1, \infty) \to R

differenciálható függvény, amelyre

\begin{matrix} f' (x) = \frac{x^{2} - {(f (x))}^{2}}{x^{2} ({(f (x))}^{2} + 1)} mindenx > 1esetén. \end{matrix}

Bizonyítsa be, hogy

{lim}_{x \to \infty}^{} f (x) = \infty

B6. Bizonyítsa be, hogy minden

n

pozitív egészre létezik egész számoknak olyan

a_{0}, a_{1}, ..., a_{2009}

sorozata, ahol

a_{0} = 0

a_{2009} = n

, és

a_{0}

után minden tag vagy valamely korábbi tagból

2^{k}

hozzáadásával kapható, ahol

k

nemnegatív egész, vagy pedig

b mod c

alakú, ahol

b

és

c

mindketten a sorozat korábbi pozitív tagjai. [

b mod c

b

-nek

c

-vel való osztási maradékát jelöli, így

0 \leq (b mod c) < c

¹A versenyről megjelent ismertetés lapunk 2005/2. számában olvasható, a 71‐72. oldalon. A verseny honlapja: http://math.scu.edu/putnam/index.html, a megoldások a http://www.unl.edu/amc/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml honlapon találhatók.