Cím: A 2009. évi William Lowell Putnam verseny feladatai
Füzet: 2010/február, 72 - 73. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1
A1. Legyen f a sík pontjain értelmezett valós értékű függvény, amelyre teljesül, hogy a síkban minden ABCD négyzetre f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0. Következik-e ebből, hogy a sík minden P pontjára f(P)=0?

 
A2. Az f, g, h függvények differenciálhatók valamely 0-t tartalmazó nyílt intervallumon, és kielégítik az alábbi egyenleteket és kezdeti feltételeket:
f'=2f2gh+1gh,f(0)=1,g'=fg2h+4fh,g(0)=1,h'=3fgh2+1fg,h(0)=1.
Keressen explicit kifejezést f(x)-re, mely megfelel a feltételeknek valamely 0-t tartalmazó nyílt intervallumon.
 
A3. Legyen dn annak az n×n-es mátrixnak a determinánsa, amely balról jobbra és felülről lefelé haladva a cos1,cos2,...,cosn2 elemekből áll. (Például
d3=|cos1cos2cos3cos4cos5cos6cos7cos8cos9|.
A koszinuszok argumentumai radiánban értendők.)
Határozza meg a limndn határértéket.
 
A4. Legyen S olyan racionális számokból álló halmaz, amelyre
(a) 0S;
(b) ha xS, akkor x+1S és x-1S; valamint
(c) ha xS és x{0,1}, akkor 1/(x(x-1))S.
Szükségszerű-e, hogy S tartalmazzon minden racionális számot?
 
A5. Létezik-e olyan véges kommutatív G csoport, amelyben az összes elem rendjének szorzata 22009?
 
A6. Legyen a zárt egységnégyzeten értelmezett f:[0,1]2R olyan folytonos függvény, amelyre fx és fy létezik és folytonos a négyzet (0,1)2 belsején. Legyen
a=01f(0,y)dy,b=01f(1,y)dy,c=01f(x,0)dx,d=01f(x,1)dx.
Igaz-e, hogy biztosan létezik olyan (x0,y0) pont a négyzet belsejében, amelyre
fx(x0,y0)=b-aésfy(x0,y0)=d-c?
Állítását bizonyítsa.
 
B1. Bizonyítsa be, hogy minden pozitív racionális szám felírható olyan tört alakban, ahol a számláló és a nevező is (nem szükségképpen különböző) prímszámok faktoriálisainak szorzata. Például
109=2!5!3!3!3!.

 
B2. Egy játék során a számegyenesen kell ugrálni balról jobb felé haladva. Ha a és b valós számok és b>a, akkor az a-ból b-be való ugrás költsége b3-ab2. Melyek azok a c valós számok, amelyekre lehetséges eljutni 0-ból 1-be véges számú ugrással úgy, hogy az ugrások összköltsége pontosan c legyen?
 
B3. Az {1,2,...,n} halmaz S részhalmazát nevezzük középszerűnek, ha rendelkezik az alábbi tulajdonsággal: amennyiben az S-beli a és b elemek átlaga egész, akkor az átlag is hozzátartozik az S halmazhoz. Legyen A(n) az {1,2,...,n} halmaz középszerű részhalmazainak száma. (Az {1,2,3} halmaznak például {1,3} kivételével minden részhalmaza középszerű, így A(3)=7.) Határozza meg az összes olyan n pozitív egészet, amelyre A(n+2)-2A(n+1)+A(n)=1.
 
B4. Azt mondjuk, hogy az x, y változókon értelmezett valós együtthatós kétváltozós polinom kiegyensúlyozott, ha a polinom értékeinek átlaga minden origó középpontú körre 0. A legfeljebb 2009-edfokú kiegyensúlyozott polinomok R fölött V vektorteret alkotnak. Határozza meg V dimenzióját.
 
B5. Legyen f:(1,)R differenciálható függvény, amelyre
f'(x)=x2-(f(x))2x2((f(x))2+1)minden  x>1  esetén.
Bizonyítsa be, hogy limxf(x)=.
 
B6. Bizonyítsa be, hogy minden n pozitív egészre létezik egész számoknak olyan a0,a1,...,a2009 sorozata, ahol a0=0, a2009=n, és a0 után minden tag vagy valamely korábbi tagból 2k hozzáadásával kapható, ahol k nemnegatív egész, vagy pedig b  mod  c alakú, ahol b és c mindketten a sorozat korábbi pozitív tagjai. [b  mod  c a b-nek c-vel való osztási maradékát jelöli, így 0(b  mod  c)<c.]
1A versenyről megjelent ismertetés lapunk 2005/2. számában olvasható, a 71‐72. oldalon. A verseny honlapja: http://math.scu.edu/putnam/index.html, a megoldások a http://www.unl.edu/amc/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml honlapon találhatók.