Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Baráti Ákos
Füzet:	2009/december, 514 - 515. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle |45x-8|+7\cdot 2^{x+4}+\text{log}{}_2^2\left(x-2\right)+\sqrt[]{4x+2009}=2010.}\end{array}$  (11 pont)   2. Egy háromszög egyik oldala $a=10$, a rajta fekvő két szög $\beta ={50}^{\circ }$ és $\gamma ={60}^{\circ }$. Számítsuk ki annak a forgástestnek a térfogatát, amelyet úgy kapunk, hogy a háromszöget megforgatjuk a leghosszabb oldala körül.  (12 pont)   3. $a)$ Határozzuk meg az alábbi halmazok elemeit. $A=\{\text{log}{}_3\left(x-6\right)<2$ egyenlőtlenség egész gyökei$\}$; $B=\{$20-nál kisebb pozitív egészek, melyeknek legalább 4 db osztójuk van$\}$; $C=\{$A számjegyek összegének lehetséges értékei az olyan háromjegyű számokban, amelyeknek a számjegyei számtani sorozatot alkotnak$\}$. $b)$ Adjuk meg a $\left(C\setminus A\right)\cup \left(A\cap B\right)$ halmaz elemeit.  (14 pont)   4. A $\left[-2;2\right]$ mely $x$ elemeire igaz, hogy $\text{sin}x$, $2\text{tg}2x$ és $3\text{cos}x$ egy mértani sorozat szomszédos elemei ebben a sorrendben?  (14 pont)   II. rész   5. Az $A$ pont illeszkedik az $\begin{array}{c}{\displaystyle e:2x-y+4=\mathrm{0,}}\end{array}$ a $B$ pont pedig az $\begin{array}{c}{\displaystyle f:2x+3y-8=0}\end{array}$ egyenletű egyenesre. Határozzuk meg az $A$ és $B$ pontok koordinátáit, ha az $AB$ szakasz felezőpontja $F\left(5;4\right)$.  (16 pont)   6. $a)$ Határozzuk meg a $P$ és $Q$ pontok koordinátáit, ha $P$ az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+2}\end{array}$ függvény inflexiós pontja, $Q$ első koordinátája $f$ lokális maximumhelye, második koordinátája pedig a lokális maximum értéke. $b)$ Írjuk fel a $g$ másodfokú függvény hozzárendelési szabályát, ha $g$ képének tengelypontja a $P$ pont és a grafikon áthalad a $Q$ ponton is. $c)$ Számítsuk ki a két függvény grafikonja által közrefogott $P$ és $Q$ csúcsokkal rendelkező síkidom területét.  (16 pont)   7. Néhány egybevágó, egység élű kocka 3-3 lapját befestjük pirosra, mindegyik kockát egyformán, úgy, hogy egy közös csúcsban találkozó három lap legyen színes. 8 ilyen kockából egy $2\times 2\times 2$-es nagyobb kockát építünk úgy, hogy a kis kockákat véletlenszerűen helyezzük egymásra. $a)$ Mekkora annak a valószínűsége, hogy a nagy kocka minden lapja (teljesen) piros? $b)$ Mekkora lenne ez a valószínűség, ha 27 kis kockából $3\times 3\times 3$-as nagy kockát építünk? $c)$ Az összerakott $ABCDEFGH$ $3\times 3\times 3$-as kockát szétvágjuk a $BCQP$ síkkal ($P$ az $EF$ él, $Q$ a $HG$ él ábra szerinti harmadoló pontja), majd az egész építményt lebontjuk. Az így kapott testek közül azonos valószínűséggel, véletlenszerűen választunk egyet. Mennyi a valószínűsége, hogy egy kis kockát választunk?  (16 pont)     8. Az $f:\left]-14;5\right]\to \text{R}$, $f\left(x\right)=|x|+|x+2|-|x-3|$ függvény grafikonjának mely pontja van a legközelebb, illetve a legtávolabb a $P\left(-4;7\right)$ ponthoz?  (16 pont)   9. Két szomszédos természetes szám, Nagyobb (N) és Kisebb (K) beszélgetnek: K: Nekem 6 osztóm van. N: Nekem több. K: A számjegyeim összege 11. N: Nekem kevesebb. K: Pontosan két egyforma számjegyem van. N: Nekem is! Melyik ez a két szám?  (16 pont)