Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Baráti Ákos 
Füzet: 2009/december, 514 - 515. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:
|45x-8|+72x+4+log22(x-2)+4x+2009=2010.
 (11 pont)
 
2. Egy háromszög egyik oldala a=10, a rajta fekvő két szög β=50 és γ=60. Számítsuk ki annak a forgástestnek a térfogatát, amelyet úgy kapunk, hogy a háromszöget megforgatjuk a leghosszabb oldala körül.  (12 pont)
 
3. a) Határozzuk meg az alábbi halmazok elemeit.
A={log3(x-6)<2 egyenlőtlenség egész gyökei};
B={20-nál kisebb pozitív egészek, melyeknek legalább 4 db osztójuk van};
C={A számjegyek összegének lehetséges értékei az olyan háromjegyű számokban, amelyeknek a számjegyei számtani sorozatot alkotnak}.
b) Adjuk meg a (CA)(AB) halmaz elemeit.  (14 pont)
 
4. A [-2;2] mely x elemeire igaz, hogy sinx, 2tg2x és 3cosx egy mértani sorozat szomszédos elemei ebben a sorrendben?  (14 pont)
 

II. rész
 

5. Az A pont illeszkedik az
e:2x-y+4=0,
a B pont pedig az
f:2x+3y-8=0
egyenletű egyenesre. Határozzuk meg az A és B pontok koordinátáit, ha az AB szakasz felezőpontja F(5;4).  (16 pont)
 
6. a) Határozzuk meg a P és Q pontok koordinátáit, ha P az
f(x)=x3-3x2-9x+2
függvény inflexiós pontja, Q első koordinátája f lokális maximumhelye, második koordinátája pedig a lokális maximum értéke.
b) Írjuk fel a g másodfokú függvény hozzárendelési szabályát, ha g képének tengelypontja a P pont és a grafikon áthalad a Q ponton is.
c) Számítsuk ki a két függvény grafikonja által közrefogott P és Q csúcsokkal rendelkező síkidom területét.  (16 pont)
 
7. Néhány egybevágó, egység élű kocka 3-3 lapját befestjük pirosra, mindegyik kockát egyformán, úgy, hogy egy közös csúcsban találkozó három lap legyen színes. 8 ilyen kockából egy 2×2×2-es nagyobb kockát építünk úgy, hogy a kis kockákat véletlenszerűen helyezzük egymásra.
a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a nagy kocka minden lapja (teljesen) piros?
b) Mekkora lenne ez a valószínűség, ha 27 kis kockából 3×3×3-as nagy kockát építünk?
c) Az összerakott ABCDEFGH 3×3×3-as kockát szétvágjuk a BCQP síkkal (P az EF él, Q a HG él ábra szerinti harmadoló pontja), majd az egész építményt lebontjuk. Az így kapott testek közül azonos valószínűséggel, véletlenszerűen választunk egyet. Mennyi a valószínűsége, hogy egy kis kockát választunk?  (16 pont)
 
 

8. Az f:]-14;5]R, f(x)=|x|+|x+2|-|x-3| függvény grafikonjának mely pontja van a legközelebb, illetve a legtávolabb a P(-4;7) ponthoz?  (16 pont)
 
9. Két szomszédos természetes szám, Nagyobb (N) és Kisebb (K) beszélgetnek:
K: Nekem 6 osztóm van.
N: Nekem több.
K: A számjegyeim összege 11.
N: Nekem kevesebb.
K: Pontosan két egyforma számjegyem van.
N: Nekem is!
Melyik ez a két szám?  (16 pont)