Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Sztojcsevné Fekete Mária
Füzet:	2009/november, 468 - 469. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Egy téglalap alakú halastó oldalai 120 m és 160 m hosszúságúak. A téglalap egyik átlója mentén ott vernek le egy cölöpöt, ahonnan a kisebbik oldal két vége derékszög alatt látszik. Milyen messze van a cölöp a halastó oldalaitól?  (11 pont)   2. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán: $a)$ $\sqrt[]{x^2-5x+4}>-1$; $b)$ $\text{log}{}_{\frac{1}{2}}\left(4^x-5\cdot 2^x+8\right)<-2$.  (12 pont)   3. Két iskola sakkozói versenyeztek egymással. Mindenki mindenkivel egyszer játszott. Először egy-egy iskolán belül bonyolították le a mérkőzéseket, és így összesen 36 játszmára került sor. Amikor a két iskola tanulói mérkőztek egymással, akkor 42 játékra került sor. Hány tanuló vett részt a versenyen iskolánként?  (14 pont)   4. Antal 2005 elején 100 000 Ft-ot helyezett el egy bankban évi 20%-os kamatra. Béla 2005-től kezdve minden év elején $b$ forintot helyezett el szintén évi 20%-os kamatra. A 2009. év végén Antal és Béla betétje azonos értékre növekedett (2005-tól 2009-ig egyikük sem vett ki a betétjéből pénzt). Mennyi $b$ értéke 1000 Ft-ra kerekítve?  (14 pont)   II. rész   5. Az $ABCD$ deltoid szimmetriatengelye az $AC$ átló, ahol $A\left(0;0\right)$ és $C\left(8;10\right)$. A deltoid területe 41 területegység. Az egyik átló az origótól számítva $3:2$ arányban osztja a másikat. Határozzuk meg a hiányzó csúcspontok koordinátáit.  (16 pont)   6. Forgassunk meg egy egyenlő szárú háromszöget egyik szára, majd az alapja körül. Jelölje $V_1$, illetve $V_2$ az így keletkezett forgástestek térfogatát. Számítsuk ki a háromszög szögeit, ha $V_1:V_2=3:7$.  (16 pont)   7. $a)$ Adjuk meg azokat az $a$; $b$; $c$ számjegyeket, melyekre fennáll, hogy az egyjegyű $\overline{a}$, a kétjegyű $\overline{ba}$ és a háromjegyű $\overline{cba}$ pozitív számok egy mértani sorozat egymást követő elemei. $b)$ Adjuk meg azokat az $a$; $b$; $c$ számjegyeket, melyekre fennáll, hogy az egyjegyű $\overline{a}$, a kétjegyű $\overline{ba}$ kétszerese és a háromjegyű $\overline{cba}$ pozitív számok egy számtani sorozat egymást követő elemei.  (16 pont)   8. Egy lövész $\frac{1}{4}$ valószínűséggel találja el a célpontot. $a)$ Mi a valószínűsége annak, hogy 7 lövés közül legalább 2-szer célba talál? $b)$ Legalább hány lövést kell leadnia ahhoz, hogy a célt $\frac{2}{3}$-nál nagyobb valószínűséggel találja el?  (16 pont)   9. Adjuk meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=3^{1+\text{log}{}_3\left[\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right]}}\end{array}$ hozzárendeléssel megadott függvény grafikonját a $\left]-\frac{3\pi }{4};\frac{9\pi }{4}\right]$-on. Adjuk meg az $f\left(x\right)$ függvény értelmezési tartományát, értékkészletét, zérushelyeit, a függvény menetét, periódusát.  (16 pont)