Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2007/február, 76 - 77. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Az $ABC$ szabályos háromszögben az $A$ középpontú, $AB$ sugarú kör kisebbik $BC$ ívének $B$-hez közelebbi harmadolópontja $D$, $C$-hez közelebbi harmadolópontja pedig $E$. A $B$ középpontú $AB$ sugarú kör kisebbik $AC$ ívének felezőpontja $F$. Mekkorák az $ABDECF$ hatszög belső szögei?  (11 pont)   2. Oldjuk meg a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x^2-2x-15}\cdot \text{lg}\left(5-x\right)\cdot \text{sin}\left(x-\frac{\pi }{3}\right)=0.}\end{array}$ (12 pont)   3. Egy vihar után tizenkét telefonvonal közül négy nem működik. Ekkor négy vonalon megpróbálunk telefonálni. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a négy hívásból pontosan kettő lesz sikeres?  (14 pont)   4. Mutassuk meg, hogy az $\left\{a_n\right\}$ számtani sorozatban: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x-y\right)a_z+\left(y-z\right)a_x=\left(x-z\right)a_y\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $x$, $y$ és $z$ természetes számok.  (14 pont)     II. rész   5. Egy húrtrapéz három csúcsának koordinátája a következő: $\left(-1;-3\right)$; $\left(5;-1\right)$; $\left(2;3\right)$. Határozzuk meg a negyedik csúcs koordinátáit, ha az ismeretlen pont két koordinátájának szorzata negatív.  (16 pont)   6. Egy iskola két párhuzamos osztálya közös dolgozatot írt, az elérhető legmagasabb pontszám $120$ pont volt. Az $A$ osztályban $74$ pont, a $B$ osztályban $84$ pont lett az átlag. Az $A$ osztályos lányok átlaga $71$ pont, a $B$ osztályos lányok pedig $81$ pontot értek el átlagosan. Az összes lány átlaga $79$ pont lett. A fiúk átlaga az $A$ osztályban $76$ pont, a $B$ osztályban pedig $90$ pont. Mennyi a két osztályban az összes fiú átlagpontszáma?  (16 pont)   7. Egy kis patak vízmélységét a folyás irányára merőlegesen az $f:\left[0;3\right]\to \text{R}$, $x\mapsto \frac{x^3-9x}{9}$ függvény adja meg (ahol az egységek métert jelentenek). $a)$ A patak szélétől hány méterre a legmélyebb a víz? $b)$ Mekkora a legnagyobb vízmélység? $c)$ Mekkora a patak percenkénti vízhozama, ha a folyási sebességét $0\mathrm{,}5\frac{\text{m}}{\text{s}}$-nak vehetjük?   8. Egy ötszög csúcsainak koordinátája: $A\left(0;0\right)$, $B\left(12;5\right)$, $C\left(12;6\right)$, $D\left(10;8\right)$, $E\left(4;6\right)$. $a)$ Hány rácspont található az ötszög határvonalán? $b)$ Hány rácspont található az ötszög belsejében? $c)$ A rácspontokra rajzolt sokszögek területét meghatározhatjuk a következő képlettel: $t=\frac{h+2b-2}{2}$, ahol $h$ a határvonalon, $b$ a belsejében lévő rácspontok számát jelöli. Mennyi ezen képlet szerint a feladatban szereplő ötszög területe? $d)$ Határozzuk meg a fenti képlet ismerete nélkül az ötszög területét.  (16 pont)   9. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_3\text{log}{}_2\left(4x^2\right)+\text{log}{}_{\frac{1}{3}}\text{log}{}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{x}=1.}\end{array}$ (16 pont)