Cím: Csavarási inga: forgási rezgése
Füzet: 1967/szeptember, 34 - 37. oldal  PDF file
Témakör(ök): Ábrázoló geometria

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Csavarási inga: forgási rezgések
 


A forgási rezgések létrejötte
 
Ha egy testre ható erők eredője 0, akkor a test haladó mozgás vonatkozásában egyensúlyban van. Ha ezenkívül az erők közös támadáspontban hatnak (vagy ha hatásvonalaik közös ponton mennek keresztül és ez a közös pont nem a végtelen távoli pont, azaz az erők nem párhuzamosak), akkor a test forgómozgás szempontjából is egyensúlyban van, tehát szögsebessége vagy 0 vagy állandó. Két egyenlő nagyságú párhuzamos, ellentétes irányú erő esetén, vagy ha több erőt két olyan eredőben tudunk a vektori összegezés szabályai szerint egyesíteni, hogy a két eredő erőpárt alkot, akkor gyorsuló forgómozgás jön létre az ismert M=Iβ alapösszefüggés szerint.
 

 
 
1. ábra
 

Ha a kísérletileg könnyen megvalósítható 1. ábra szerinti elrendezésre egyre növekvő nyomatékú erőpárral hatunk, a közvetlen tapasztalat azt mutatja, hogy a szögelfordulás arányos a forgatónyomatékkal és a szögelfordulás előjele megegyezik a forgatónyomaték előjelével;
M1=Dφ,
ahol M1 az alkalmazott forgatónyomaték, φ az elfordulás szöge, D a direkciós nyomaték, mely az egyensúlyi helyzetből φ szöggel elforgatott testre ható M1 forgatónyomaték nagyságának és φ-nek a hányadosa. Dimenziója erő hosszúság, szám szerint azzal a forgatónyomatékkal egyezik meg, mely az illető elrendezésen 1 radián szögelfordulást hoz létre. A D-nek MKS egysége Nm.
A külső forgatónyomaték meghatározott értéke mellett a korong egyensúlyi helyzetet foglal el. Mivel erőpárt csak erőpárral lehet kiegyensúlyozni, ezért az a forgatónyomaték, melyet a torziószál a felfüggesztett testre kifejt, a külső forgatónyomatékkal egyenlő nagyságú, de ellentétes előjelű: M=-M1. Az előző összefüggés felhasználásával
M=-Dφ.
Ha a külső M1 forgatónyomatékot megszüntetjük, ez a rugalmas elcsavarodásból származó M nyomaték a testen forgómozgást hoz létre. Az így létrejövő mozgást forgási rezgésnek, a berendezést csavarási ingának nevezzük.
A haladó és forgómozgás közötti formális analógia alapján is látszik, hogy a lineáris nyomatéki törvénynek akár az M1, akár az M nyomatékra felírt alakja kísértetiesen hasonlít a lineáris erőtörvény F1=Dx és F=-Dx alakjához, ahol F1 az alakváltoztató erő, melyet a rugóra helyezett testeknek az egyensúlyi helyzetből való x kitérése esetén kell kifejtenünk, F az x kitérés esetén a rugótól a testre ható rugalmas visszatérítő erő, D pedig jelenleg a direkciós erő (nem szerencsés a direkciós nyomatékkal való azonos jelölés, ezért az irodalomban a direkciós nyomatékot D*-gal szokás jelölni), melynek dimenziója erőhosszúság, MKS egysége Nm. A direkciós erő reciproka a k rugóállandó, dimenziója hosszúságerő, egysége mN. A rugóra helyezett testet egyensúlyi helyzetéből kitérítve F1=-F, és az F1 megszüntetése után (a testet elengedve) F által létrehozott mozgás a harmonikus rezgőmozgás.
 


Csavarási munka és a torziószál energiája
 
Forgómozgás során, ha a forgatónyomaték állandó, a végzett munkát W=Mφ alapon számítjuk. Ha a nyomaték nem állandó, akkor a munkát
W=Mátlφ
összefüggés adja meg. Mivel a nyomaték a szögelfordulással arányos, mint lineárisan változó mennyiség átlagát, ebben az összefüggésben is az átlagnyomatékot a kezdő- és végérték számtani közepe adja:
W=Mátlφ=Mmax+Mmin2(φmax-φmin)=D2(φmax+φmin)(φmax-φmin).

A szorzás elvégzése után
W=12Dφmax2-12Dφmin2.

Ha a csavarást az egyensúlyi helyzettől kezdjük, akkor
W=12Dφ02,
ahol φ0 a maximális szögelfordulás. Az M0=Dφ0 összefüggés felhasználásával a munkára még a következő két kifejezést nyerjük:
W=M022D=M0φ02.

A munkának ezen három utóbbi képlete a torziószál energiáját is megadja az energiatétel értelmében.
 


A forgási rezgések jellemzése
 

 
 
2. ábra
 

A közvetlen tapasztalat azt mutatja, hogy a létrejövő mozgás időben periodikus. Az ingára a 2. ábra szerint ecsetet helyezve, az egyenletesen mozgatott papírlapon kis szögelfordulás esetén szinuszos jel marad. Legyen a periódus T, az amplitúdó A. A kitérés időfüggvénye y=AsincT. Kis szögek esetén y arányos φ-vel: y=bφ, ahol b az ecsetnek a forgástengelytől való távolsága. Ugyanígy A=bφ0, ahol φ0 a maximális kitérés szöge. Ezeknek az adatoknak a behelyettesítésével a szögelfordulás időtől való függése:
φ=φ0sinct.

A c konstans meghatározása érdekében vegyük figyelembe azt, hogy t=T4 idő elteltével φ=φ0. Ez az értékpár tehát ki kell, hogy elégítse az alábbi egyenletet:
φ0=φ0sincT4.

Ebből azonnal következik, hogy c=2πT=2πn. Ez a mennyiség a körfrekvencia, jelentése a 2π idő alatt történő forgási rezgések száma. A későbbiekben a körfrekvenciát Ω-val jelöljük. Ezzel a szögelfordulás időfüggvénye:
φ=φ0sinΩt.

A Δt időintervallumra vett átlagos szögsebességet ΔφΔt adja. Mivel a szögelfordulás a mozgás kezdetétől számított t+Δt időpillanatban φ0sinΩ(t+Δt), a t időpillanatban φ0sinΩt, ezért az átlagos szögsebesség
ω¯=φ0sinΩ(t+Δt)-φ0sinΩtΔt
Az összegezési tétel értelmében
ω=φ0sinΩtcosΩΔt+cosΩtsinΩΔt-sinΩtΔt.
Ez az átlagos szögsebesség annál jobban megközelíti a pillanatnyi szögsebességet, minél kisebb a Δt időintervallum. De ekkor az ΩΔt szög is egyre kisebb lesz. Kis szögek esetén
cosΩΔt1,sinΩΔtΩΔt.
Tehát az átlagos szögsebesség tetszőleges pontossággal megközelíti az
ω=φ0sinΩt+ΩΔtcosΩt-sinΩtΔt=φ0ΩcosΩt
értéket, hacsak Δt elég kicsi, vagyis a pillanatnyi szögsebesség:
ω=φ0ΩcosΩt.

Ez az összefüggés minden forgási rezgésre igaz, e leírásból semmit nem tudunk meg a rezgések periódusáról. A közvetlen tapasztalat azt mutatja, hogy a rezgésidő a torziószál direkciós nyomatékától, valamint a rendszer tehetetlenségi nyomatékától függ. Ezeket az adatokat úgy tudjuk például az összefüggéseinkbe behozni, hogy energetikai megfontolásokat végzünk. A rendszerre érvényes az energiamegmaradás elve (külső nyomaték csupán a torziószál befogásánál hat, de ott a szögelfordulás 0). A maximális szögelfordulásnál csak a torziószálnak van rugalmas energiája, egy tetszőleges helyzetben pedig a torziószálnak rugalmas és a testnek forgási energiája van:
12Dφ02=12Dφ2+12Iω2.
Ebből
ω=DI(φ02-φ2).
A φ=φ0sinΩt helyettesítéssel
ω=φ0DIcosΩt.
A szögsebességre kapott két összefüggés összevetéséből
Ω=DI.
Ebből
T=2πID.
Ha a pillanatnyi szöggyorsulást β=ΔωΔt összefüggés alapján a Δt időintervallumon belüli átlagos szöggyorsulásból az előbbiekhez hasonló módon számítjuk, akkor a
β=-φ0Ω2sinΩt
összefüggéshez jutunk. Másrészt a forgómozgás alapegyenletéből
Iβ=-Dφ0sinΩt,
ebből
β=-φ0DIsinΩt.
A gyorsulásra kapott két kifejezés összevetéséből szintén a már megismert rezgésidő képlet adódik.
 


A fizikai inga
 
A fizikai inga olyan lengő rendszer, melynek minden pontja körpályán mozog. Legyen az inga tömege m, tehetetlenségi nyomatéka a 0 ponton átmenő tengelyre I, súlypontjának a forgástengelytől mért távolsága s (3. ábra).
 
 
3. ábra
 

Az ingát egyensúlyi helyzetéből φ szöggel kitérítve a visszatérítő nyomaték
M=-mgssinφ.

Ha φ kicsiny, akkor sinφφ, és figyelembe véve φ és M ellentétes előjelét, lineáris nyomatéki törvényt kapunk:
M=-mgsφ.
A létrejövő mozgás tehát forgási lengés D=mgs direkciós nyomatékkal. A rezgésidő képletébe helyettesítve a fizikai inga lengésideje:
T=2πImgs.


A fonálinga
 
 
4. ábra
 

Fonálinga esetén (4. ábra) a nyomaték M=-mglsinφ. Az előbbi közelítéssel M=-mglφ. A D=mgl és I=ml2 összefüggésekkel a rezgésidőre
T=2πlgadódik.

A csavarási inga egyik elterjedt alkalmazása az órákban az úgynevezett spirálrugós inga. Ezenkívül közismertek mind a fizika történetében, mind a modern technikában a torziószálas mérési berendezések.
 
 Nagy László