Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Baráti Ákos
Füzet:	2009/március, 142 - 143. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a ${27}^x<6\cdot 9^x+3^{x+3}$ egyenlőtlenséget.  (12 pont)   2. Egy háromszög leghosszabb oldalának hossza 16, legrövidebb oldalának hossza pedig 10. A háromszög legnagyobb szöge kétszer akkora, mint a legkisebb. Mekkorák a háromszög szögei és hiányzó oldala?  (12 pont)   3. Anna és Bence egy játékban négy szabályos dobókockát dobál. Anna nyer, ha a dobott számok között vannak egyenlők, Bence nyer, ha a dobott számok között van legalább egy 6-os. Amennyiben mindkét feltétel teljesül, a játék döntetlen; ha egyik feltétel sem teljesül, tovább játszanak. $a)$ Melyiküknek van nagyobb esélye a nyerésre?  (7 pont) $b)$ Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy játék döntetlenre végződik?  (6 pont)   4. Az $ABC$ háromszög oldalainak hossza: $AB=34$, $BC=16$, $AC=30$. A háromszög köré írható kör középpontja legyen $P$, a beírható kör középpontja $Q$. Számítsuk ki a $PQ$ szakasz hosszát.  (14 pont)   II. rész   5. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{4-4x^2+4xy-y^2}=\text{log}{}_x\left(y-2\right)+\text{log}{}_{y-2}x\mathrm{.}}\end{array}$  (16 pont)   6. Egy $a$ élű kockát átlyukasztunk az egyik lapjára merőlegesen. A kivágott rész egy olyan négyzetes oszlop, melynek alaplapja egy $b$ élű négyzet, magassága pedig $a$. $a)$ Igazoljuk, hogy ha a keletkezett test térfogata az eredeti kocka térfogatánál 25%-kal kisebb, akkor felszíne az eredeti felszínnél 25%-kal nagyobb. $b)$ Igazoljuk, hogy az előző állításban más szám nem írható a 25 helyére, azaz $k\%$-os térfogatcsökkenés semmilyen $a$ és $b$ esetén nem járhat $k\%$-os felszínnövekedéssel, ha $k\ne 25$.  (16 pont)   7. Egy osztály 30 tanulója írt dolgozatot matematikából. A dolgozatokra kapott osztályzatok módusza 2, mediánja 3,5, terjedelme 4, átlaga 3,2. Tudjuk továbbá, hogy 1-gyel több 4-es volt, mint 5-ös és a jegyek szórása kisebb, mint 1,36. Határozzuk meg a dolgozatra kapott osztályzatok gyakoriságát.  (16 pont)   8. Az $e$ egyenes egyenlete: $2x-y=2$, a $P$ parabola egyenlete: $y=x^2+8x+17$. Az $A$ és a $B$ pontok illeszkednek az $e$ egyenesre, a $C$ pont pedig a $P$ parabolára. Az $A$ pont abszcisszája $-1$, a $B$ pont ordinátája 2. Adjuk meg a $C$ pont koordinátáit úgy, hogy az $ABC$ háromszög területe a lehető legkisebb legyen. Mekkora ez a minimális terület?  (16 pont)   9. Három kétjegyű természetes szám egy növekvő számtani sorozat három egymást követő tagja, a három szám összege 198. A három számot növekvő sorrendben egymás mögé írva, a kapott 6-jegyű szám osztható 2009-cel. Melyik ez a három szám?  (16 pont)