A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a egyenlőtlenséget. (12 pont)
2. Egy háromszög leghosszabb oldalának hossza 16, legrövidebb oldalának hossza pedig 10. A háromszög legnagyobb szöge kétszer akkora, mint a legkisebb. Mekkorák a háromszög szögei és hiányzó oldala? (12 pont)
3. Anna és Bence egy játékban négy szabályos dobókockát dobál. Anna nyer, ha a dobott számok között vannak egyenlők, Bence nyer, ha a dobott számok között van legalább egy 6-os. Amennyiben mindkét feltétel teljesül, a játék döntetlen; ha egyik feltétel sem teljesül, tovább játszanak. Melyiküknek van nagyobb esélye a nyerésre? (7 pont) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy játék döntetlenre végződik? (6 pont)
4. Az háromszög oldalainak hossza: , , . A háromszög köré írható kör középpontja legyen , a beírható kör középpontja . Számítsuk ki a szakasz hosszát. (14 pont)
II. rész 5. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletet: | | (16 pont)
6. Egy élű kockát átlyukasztunk az egyik lapjára merőlegesen. A kivágott rész egy olyan négyzetes oszlop, melynek alaplapja egy élű négyzet, magassága pedig . Igazoljuk, hogy ha a keletkezett test térfogata az eredeti kocka térfogatánál 25%-kal kisebb, akkor felszíne az eredeti felszínnél 25%-kal nagyobb. Igazoljuk, hogy az előző állításban más szám nem írható a 25 helyére, azaz -os térfogatcsökkenés semmilyen és esetén nem járhat -os felszínnövekedéssel, ha . (16 pont)
7. Egy osztály 30 tanulója írt dolgozatot matematikából. A dolgozatokra kapott osztályzatok módusza 2, mediánja 3,5, terjedelme 4, átlaga 3,2. Tudjuk továbbá, hogy 1-gyel több 4-es volt, mint 5-ös és a jegyek szórása kisebb, mint 1,36. Határozzuk meg a dolgozatra kapott osztályzatok gyakoriságát. (16 pont)
8. Az egyenes egyenlete: , a parabola egyenlete: . Az és a pontok illeszkednek az egyenesre, a pont pedig a parabolára. Az pont abszcisszája , a pont ordinátája 2. Adjuk meg a pont koordinátáit úgy, hogy az háromszög területe a lehető legkisebb legyen. Mekkora ez a minimális terület? (16 pont)
9. Három kétjegyű természetes szám egy növekvő számtani sorozat három egymást követő tagja, a három szám összege 198. A három számot növekvő sorrendben egymás mögé írva, a kapott 6-jegyű szám osztható 2009-cel. Melyik ez a három szám? (16 pont) |
|