Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Baráti Ákos 
Füzet: 2009/március, 142 - 143. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a 27x<69x+3x+3 egyenlőtlenséget.  (12 pont)
 
2. Egy háromszög leghosszabb oldalának hossza 16, legrövidebb oldalának hossza pedig 10. A háromszög legnagyobb szöge kétszer akkora, mint a legkisebb. Mekkorák a háromszög szögei és hiányzó oldala?  (12 pont)
 
3. Anna és Bence egy játékban négy szabályos dobókockát dobál. Anna nyer, ha a dobott számok között vannak egyenlők, Bence nyer, ha a dobott számok között van legalább egy 6-os. Amennyiben mindkét feltétel teljesül, a játék döntetlen; ha egyik feltétel sem teljesül, tovább játszanak.
a) Melyiküknek van nagyobb esélye a nyerésre?  (7 pont)
b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy játék döntetlenre végződik?  (6 pont)
 
4. Az ABC háromszög oldalainak hossza: AB=34, BC=16, AC=30. A háromszög köré írható kör középpontja legyen P, a beírható kör középpontja Q. Számítsuk ki a PQ szakasz hosszát.  (14 pont)
 

II. rész
 

5. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletet:
4-4x2+4xy-y2=logx(y-2)+logy-2x.
 (16 pont)
 
6. Egy a élű kockát átlyukasztunk az egyik lapjára merőlegesen. A kivágott rész egy olyan négyzetes oszlop, melynek alaplapja egy b élű négyzet, magassága pedig a.
a) Igazoljuk, hogy ha a keletkezett test térfogata az eredeti kocka térfogatánál 25%-kal kisebb, akkor felszíne az eredeti felszínnél 25%-kal nagyobb.
b) Igazoljuk, hogy az előző állításban más szám nem írható a 25 helyére, azaz k%-os térfogatcsökkenés semmilyen a és b esetén nem járhat k%-os felszínnövekedéssel, ha k25.  (16 pont)
 
7. Egy osztály 30 tanulója írt dolgozatot matematikából. A dolgozatokra kapott osztályzatok módusza 2, mediánja 3,5, terjedelme 4, átlaga 3,2. Tudjuk továbbá, hogy 1-gyel több 4-es volt, mint 5-ös és a jegyek szórása kisebb, mint 1,36. Határozzuk meg a dolgozatra kapott osztályzatok gyakoriságát.  (16 pont)
 
8. Az e egyenes egyenlete: 2x-y=2, a P parabola egyenlete: y=x2+8x+17. Az A és a B pontok illeszkednek az e egyenesre, a C pont pedig a P parabolára. Az A pont abszcisszája -1, a B pont ordinátája 2.
Adjuk meg a C pont koordinátáit úgy, hogy az ABC háromszög területe a lehető legkisebb legyen. Mekkora ez a minimális terület?  (16 pont)
 
9. Három kétjegyű természetes szám egy növekvő számtani sorozat három egymást követő tagja, a három szám összege 198. A három számot növekvő sorrendben egymás mögé írva, a kapott 6-jegyű szám osztható 2009-cel. Melyik ez a három szám?  (16 pont)