Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Marton Zsuzsanna
Füzet:	2008/december, 522 - 523. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Tóni bácsi a péceli sportpályán pogácsát és perecet árult. A pogácsán 25%, a perecen 60% haszna volt. Egy alkalommal ugyanannyi pogácsát adott el, mint perecet, így 50% haszonra tett szert. Másnap viszont kétszer annyi pogácsát adott el, mint perecet. $a)$ Hány százalék volt ekkor a haszna?  (8 pont) $b)$ Később Tóni bácsi kínálatát bővítette gumicukorral és muffinnal. Endre a szurkoláshoz három terméket vásárol. Hányféleképpen teheti ezt meg, ha egyféle termékből többet is vehet?  (4 pont)   2. Az U2CK3 bolygón egy hónap 41 napból áll. A helyiek szerint az összes nap alkalmas a három nemes tevékenység (repülés, tanulás, főzés) közül legalább az egyikre. Mindhárom nemes tevékenységre a hónapban csak három nap alkalmas. A repülésre alkalmas napok száma 19, a tanulásra alkalmas napok száma 23, a főzésre alkalmas napok száma 19. $a)$ A hónap azon napjainak száma, amelyek csak repülésre és főzésre, amelyek csak repülésre és tanulásra, illetve amelyek csak tanulásra és főzésre alkalmasak, egy 2 hányadosú mértani sorozat három egymást követő elemei. Hány olyan nap van a hónapban, amely csak egy nemes tevékenységre alkalmas?  (6 pont) $b)$ Ha a 41 nap közül véletlenszerűen kiválasztunk hármat, akkor mennyi a valószínűsége, hogy mindhárom nap csak főzésre alkalmas?  (6 pont)   3. $a)$ Végezzük el a következő integrálást: $\begin{array}{c}{\displaystyle \int \frac{1}{\text{cos}{}^{2}x\cdot \text{sin}{}^{2}x}dx\mathrm{.}}\end{array}$ (8 pont) $b)$ Határozzuk meg $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\left(x^2+3\right)\left(x^3+2x-1\right)}\end{array}$ differenciálhányados függvényét.  (5 pont)   4. $a)$ Ábrázoljuk a következő hozzárendeléssel megadott függvényt: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle -x^2+\mathrm{4,}}& {\displaystyle \text{ha }x\ge \mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{x^2-5x}{x^2-x-20}\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha }x<0\text{ és }x\ne 4.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ (8 pont) $b)$ Legyen $k$ egy valós szám. Hány zérushelye van a $g\left(x\right)=f\left(x\right)-k$ függvénynek?  (6 pont)   II. rész   5. Egy építőmérnök feladata egy szökőkút tervezése és építtetése. A telket nyugatról egy fal, délről egy sövény határolja, a fal és a sövény egymásra merőlegesen helyezkednek el. A telken áll egy szilvafa a faltól és a sövénytől egyaránt 7 m-re, egy cseresznyefa a faltól 5 a sövénytől 3 m-re és egy szobor a faltól 18 és a sövénytől 9 m-re. A szökőkutat úgy kell elhelyeznie, hogy a fáktól egyenlő távolságra legyen, és a szökőkút kétszer olyan messze legyen a szobortól, mint a cseresznyefától. $a)$ Milyen messze épül a szökőkút a szobortól?  (11 pont) $b)$ A szökőkút építéséhez tartozó földmunka elvégzésével Ede 10, Béla 12 óra alatt végezne. Béla reggel 7 órakor hozzáfog a munkához, egy óra múlva csatlakozik hozzá Ede, egy alkalommal fél óra szünetet tartanak, majd együtt dolgoznak a munka befejezéséig. Hány órakor végeznek?  (5 pont)   6. Egy számtani sorozatban az első és a negyedik tag reciprokának összege 5,5. A sorozat első, második és hatodik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Adjuk meg a számtani sorozat első tagját és a differenciáját.  (16 pont)   7. Két dobókockát feldobunk. Legyen $X$ a két dobott szám különbségének abszolútértéke. $a)$ Mekkora a valószínűsége annak, hogy $X$ négyzetszám?  (6 pont) $b)$ Ábrázoljuk az $X$ valószínűségi változó eloszlását.  (5 pont) $c)$ Határozzuk meg $X$ várható értékét.  (5 pont)   8. Az $ABC$ háromszög oldalainak hossza: $a=13$ cm, $b=14$ cm, $c=15$ cm. $a)$ Határozzuk meg a háromszög $A$ csúcsából induló $s_a$ súlyvonalának és a $c$ oldalhoz tartozó $f_c$ szögfelezőjének hosszát.  (8 pont) $b)$ Határozzuk meg a háromszög beírt és köré írt körének sugarát.  (8 pont)   9. Egy húrtrapéz alapú egyenes hasáb alakú edényben víz van. A trapéz párhuzamos oldalai 4 cm és 10 cm, szárai 5 cm, a test magassága 11,2 cm hosszú. Ha a testet a trapéz alakú oldallapjáról a legnagyobb területű oldallapjára fordítjuk, akkor az edényben levő víz magassága a harmadára változik. Határozzuk meg az edényben levő víz térfogatát.  (16 pont)