Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Fazekas Anna
Füzet:	2008/november, 468 - 469. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x-2\right)}^2+\sqrt[]{4-4x+x^2}+\frac{6x-18}{3-x}=0.}\end{array}$  (11 pont)   2. Az Aggteleki Nemzeti Park egyik legféltettebb, fokozottan védett növényritkasága a tornai vértő. Eszmei értéke 250 000 Ft. A növény tulajdonságait vizsgáló kutató úgy tapasztalta, hogy a tornai vértő növekedését közelítőleg a $h\left(x\right)=2+\text{log}{}_2\left(x+1\right)$ hozzárendelésű függvény írja le. A növény magassága $h$ cm, az eltelt idő pedig $x$ nap, $x\in \left[0;7\right]$. $a)$ Milyen magas a mérés utolsó napján a növény?  (3 pont) $b)$ Melyik napon éri el a magassága a 4 cm-t?  (3 pont) $c)$ Magyarországon még jelentős az állomány. Az Európai Unióban lévő állomány kb. 30%-a található itt, mintegy 600 000 példány. Évi 4%-os csökkenéssel számolva mennyi idő alatt csökken a magyarországi állomány a negyedére?  (6 pont)   3. Egy derékszögű háromszögben az átfogó hossza 5, a szögek szinusza pedig növekvő sorrendben egy számtani sorozat három egymást követő eleme. Mekkora a háromszög területe?  (14 pont)   4. Egy rombusz egyik tompaszögének csúcsából húzott két magasság hossza 13, a talppontjukat összekötő szakasz hossza pedig 10. $a)$ Mekkorák a rombusz szögei?  (10 pont) $b)$ Mekkora a rombusz kerülete?  (4 pont)   II. rész   5. $a)$ Hány darab négyjegyű szám képezhető a páros számjegyek felhasználásával, ha a számjegyek nem ismétlődhetnek?  (3 pont) $b)$ Mennyi az így kapott négyjegyű számok összege?  (5 pont) $c)$ Öt cédulára rendre felírva a páros számjegyeket, majd egy urnába téve négyet kihúzunk közülük, és ezeket a kihúzás sorrendjében egymás mellé tesszük. Mennyi a valószínűsége, hogy ha a kapott szám négyjegyű, akkor hattal osztható?  (8 pont)   6. Egy paralelogramma két szomszédos csúcsának koordinátái $A\left(8;9\right)$ és $B\left(0;3\right)$, egyik oldalegyenesének egyenlete $x+2y=6$. A paralelogramma területe 80. Határozzuk meg a hiányzó csúcsok koordinátáit.  (16 pont)   7. Adott az $\text{R}\setminus \left\{-1;6\right\}$ valós számokra értelmezett $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2x^2-9x-11}{x^2-5x-6}}\end{array}$ függvény. $a)$ Ábrázoljuk az $f$ függvényt grafikonját.  (8 pont) $b)$ Határozzuk meg $f$ legkisebb és legnagyobb értékét a $\left[0;5\right]$ intervallumon.  (2 pont) $c)$ Adjuk meg az $f$ függvény grafikonjának 5 abszcisszájú pontjához húzható érintőjének egyenletét.  (6 pont)   8. Vágjunk ki papírból egy 4 dm oldalú négyzetet és egy 4 dm oldalú szabályos háromszöget, majd vágjuk átlói mentén a négyzetet négy egybevágó derékszögű háromszögre. Három egyenlő szárú derékszögű háromszögből és az egyenlő oldalú háromszögből gúla hálózata állítható össze, mely egy építmény $1:20$ arányú kicsinyített mása az éleket tekintve. $a)$ Mekkora az építmény felszíne, ha az alaplapot is hozzászámítjuk?  (9 pont) $b)$ A tömör építményt betonból szeretnénk elkészíteni. Mekkora mennyiséget fogunk felhasználni az egyes anyagokból, ha $10\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ betonhoz 2500 kg cementre, $12\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ sóderre és 2400 l vízre van szükség?  (5 pont) $c)$ Mekkora a bedolgozott beton anyagköltsége, ha a megrendeléstől a szállításig (a kifizetéséig) az anyagárak 15%-kal emelkedtek, és a tervezéskor 1 mázsa cement ára 3100 Ft, $1\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ sóder ára 4200 Ft volt? (A vizet saját kútból vettük, így az nem növelte a költségeket.)  (3 pont)   9. Az $f\left(x\right)=x^2+2x+p^3+3p^2+2p$ hozzárendelésű másodfokú függvénynek két különböző zérushelye van. Határozzuk meg a $p$ paraméter értékét úgy, hogy a zérushelyek szorzata az $f$ függvény 0 helyen felvett értékének négyzetével legyen egyenlő.  (16 pont)