Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Gyanó Éva
Füzet:	2008/szeptember, 326 - 327. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{x+3}{3}=\frac{x^2+3x-4}{2x^2+4x-16}\cdot \left(x+3\right);}\hfill & \text{(<mi>*</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle \text{lg}\left(6^x-96\right)-2=\text{lg}2+\text{lg}6.}\hfill & \text{(<mi>*</mi>)}\end{array}}$   (11 pont)   2. Egy metró mozgólépcsőjén egy táska $a$ másodperc alatt ér le a metrószintre. Egy utas $b$ másodperc alatt teszi meg ugyanezt az utat a nem működő mozgólépcsőn. Mennyi idő alatt ér le az utas a metrószintre a működő mozgólépcsőn, ha közben ugyanúgy lépeget, mint akkor, amikor nem működik?  (12 pont)   3. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle x+y=\frac{1}{3}\mathrm{,}\text{cos}\pi x\cdot \text{cos}\pi y=\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ (14 pont)   4. Az $r$ sugarú negyedkör ívének (az ábrán az $a$ körív) egyik végpontjából, mint középpontból rajzoljunk ugyancsak $r$ sugarú körívet (ez a $b$ körív), amely a negyedkör által meghatározott körcikket két részre osztja.     Számítsuk ki a kisebbik részbe írható $k$ kör sugarát.  (14 pont)   II. rész   5. Egy háromszög két csúcspontja $A\left(6;10\right)$ és $B\left(2;7\right)$, a harmadik csúcspont az $y=2x+3$ egyenletű egyenesen van. Határozzuk meg ezt a csúcspontot úgy, hogy a háromszög $a)$ $AB$ alapú egyenlő szárú háromszög legyen; $b)$ oldalainak négyzetösszege minimális legyen.  (16 pont)   6. $a)$ Az $y=-x^2+6x$ és az $y=x^2-4x+8$ egyenletű parabolák által bezárt síkidom területét az $x=p$ egyenletű egyenes felezi. Határozzuk meg $p$ értékét. $b)$ Forgassuk meg az $y=-x^2+6x$ és az $y=x^2-4x+8$ egyenletű parabolák által bezárt síkidomot az $x$ tengely körül. Határozzuk meg a keletkező test térfogatát.  (16 pont)   7. A Csoki Gyárban a fogyasztóvédelmi ellenőrzés során megállapították, hogy 0,95 valószínűséggel van pontosan az előírt (szabványos) 40 szem cukorka a zacskóban, s csak 0,05 eséllyel több vagy kevesebb. $a)$ Véletlenszerűen kiválasztunk 5 zacskót. Mekkora a valószínűsége annak, hogy mindegyikben pontosan 40 szem cukorka lesz? $b)$ Mekkora a valószínűsége annak, hogy legalább két zacskót találunk az öt zacskó között, amelyek nem szabványosak? $c)$ Mekkora a valószínűsége annak, hogy 100 zacskó között pontosan 95 szabványos lesz?  (16 pont)   8. Egy cég 10 millió Ft-tal támogat egy egyetemet. A pénzösszeget beteszik egy bankba 7% éves kamatra. A feltételek alapján 15 millió Ft-ot el kell érnie az összegnek, majd az azt követő 20 évben ösztöndíjként minden év elején a legjobb 10 elsős diáknak kell kiosztani egyenlő arányban úgy, hogy az utolsó kifizetéskor fogyjon el a pénz. Az összeg közben folyamatosan kamatozik, az éves kamat mindvégig 7%. $a)$ Hány év múlva kezdik el folyósítani az ösztöndíjakat? $b)$ Mennyi pénzt kap egy-egy hallgató?  (16 pont)   9. $A$, $B$ és $C$ város azonos tengerszint feletti magasságban háromszöget alkot, ahol $A$ és $B$ távolsága 53 km, $B$ és $C$ távolsága 45 km, $A$ és $C$ távolsága 28 km. $A$ és $B$ város közti távolság $A$-hoz közelebbi harmadoló pontjában egy 800 m magas viharjelző tornyot építettek. $a)$ Az $A$ városból mekkora szögben látszik a torony teteje? $b)$ $A$ és $C$ várostól egyaránt 20 km-re lévő $D$ városból légvonalban milyen messze van a torony teteje?  (16 pont)