Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Szlovák Sándorné
Füzet:	2006/október, 398 - 399. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Az $a=\overline{374x25y}$ tízes számrendszerbeli számban az $x$ és $y$ számjegyek véletlenszerű megválasztásánál mi a valószínűsége annak, hogy a szám osztható $15$-tel?   2. Két különböző sugarú kör kívülről érinti egymást. Bizonyítsuk be, hogy a közös belső érintőnek a közös külső érintők közötti szakasza egyenlő a két sugár mértani közepének a kétszeresével.   3. Ábrázoljuk derékszögű koordinátarendszerben azoknak a pontoknak a halmazát, amelyek kielégítik az alábbi egyenletet: $a)$ $\left(x-3\right)\cdot \left(4x-3y\right)=0$; $b)$ $17x^2-24xy+9y^2-6x+9=0$; $c)$ $\frac{4x-3y}{x-3}=0$; $d)$ $\frac{x-3}{4x-3y}=0$.   4. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2^x+2^{-x}+\frac{1}{2^x+2^{-x}}\ge -\frac{11}{3\sqrt[]{2}}\text{log}{}_{\left(3-2\sqrt[]{2}\right)}\left(3+2\sqrt[]{2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$   II. rész   5. Három pozitív szám harmonikus közepe $\frac{180}{13}$, a mértani közepük $10\sqrt[3]{3}$, a négyzetes közepük pedig $\sqrt[]{\frac{725}{3}}$. Mivel egyenlő a számtani közepük?   6. $a)$ A $4p{x}^2-\left(2p^3-8p+2\right)x+p^2-4=0$ másodfokú egyenletben határozzuk meg a $p$ valós paraméter értékét úgy, hogy az ellentétes előjelű valós gyökök közül egyik se legyen nagyobb $\frac{1}{2}$-nél. $b)$ Van-e a $p$ paraméternek olyan értéke, amelyre az $\begin{array}{c}{\displaystyle y=4p{x}^2-\left(2p^3-8p+2\right)x+p^2-4}\end{array}$ függvény az $x=2$-nél veszi fel a maximumát, és ennek értéke $-8$?   7. Az $A\left(a_1;a_2\right)$, $B\left(b_1;b_2\right)$, $C\left(-a_1;-a_2\right)$ és $D\left(-b_1;-b_2\right)$ pontokat forgassuk el az origó körül ${90}^{\circ }$-kal pozitív irányba, majd az így kapott pontokra alkalmazzunk origó közepű kétszeres nyújtást. A kapott pontok legyenek rendre $A_1$, $B_1$, $C_1$ és $D_1$. Igazoljuk, hogy az $A{A}_1$, $B{B}_1$, $C{C}_1$ és $D{D}_1$ szakaszok felezőpontjai paralelogrammát határoznak meg, vagy egy egyenesre esnek.   8. Hány valós megoldása van az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x^2-4x+4}{x^2+2x+3}=k}\end{array}$ egyenletnek, ha a $k$ valós paraméter?   9. Egy dobozban $n$ darab fehér és kétszer annyi fekete golyó van $\left(n\ge 3\right)$, amelyek tapintással nem különböztethetők meg. Visszatevés nélkül kihúzunk $3$ darabot. $a)$ A $\xi$ valószínűségi változó jelentse a mintában lévő fehér golyók számát. Határozzuk meg a $\text{P}\left(\xi =0\right)$, $\text{P}\left(\xi =1\right)$, $\text{P}\left(\xi =2\right)$ és a $\text{P}\left(\xi =3\right)$ valószínűségeket. $b)$ Milyen $n$ esetén lesz $0\mathrm{,}25$-nál nagyobb annak a valószínűsége, hogy legalább $2$ fehér golyó van a mintában? $c)$ Mennyi az $a)$ részben kiszámított valószínűségek határértéke, ha az $n$ tart a $+\infty$-hez? $d)$ Hogyan módosulnak az $a)$ részben megadott valószínűségek, ha visszatevéses mintával dolgozunk?