Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Szlovák Sándorné 
Füzet: 2006/október, 398 - 399. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Az a=374x25y¯ tízes számrendszerbeli számban az x és y számjegyek véletlenszerű megválasztásánál mi a valószínűsége annak, hogy a szám osztható 15-tel?
 
2. Két különböző sugarú kör kívülről érinti egymást. Bizonyítsuk be, hogy a közös belső érintőnek a közös külső érintők közötti szakasza egyenlő a két sugár mértani közepének a kétszeresével.
 
3. Ábrázoljuk derékszögű koordinátarendszerben azoknak a pontoknak a halmazát, amelyek kielégítik az alábbi egyenletet:
a) (x-3)(4x-3y)=0;
b) 17x2-24xy+9y2-6x+9=0;
c) 4x-3yx-3=0;
d) x-34x-3y=0.
 
4. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenlőtlenséget:
2x+2-x+12x+2-x-1132log(3-22)(3+22).

 

II. rész
 

5. Három pozitív szám harmonikus közepe 18013, a mértani közepük 1033, a négyzetes közepük pedig 7253. Mivel egyenlő a számtani közepük?
 
6. a) A 4px2-(2p3-8p+2)x+p2-4=0 másodfokú egyenletben határozzuk meg a p valós paraméter értékét úgy, hogy az ellentétes előjelű valós gyökök közül egyik se legyen nagyobb 12-nél.
b) Van-e a p paraméternek olyan értéke, amelyre az
y=4px2-(2p3-8p+2)x+p2-4
függvény az x=2-nél veszi fel a maximumát, és ennek értéke -8?
 
7. Az A(a1;a2), B(b1;b2), C(-a1;-a2) és D(-b1;-b2) pontokat forgassuk el az origó körül 90-kal pozitív irányba, majd az így kapott pontokra alkalmazzunk origó közepű kétszeres nyújtást. A kapott pontok legyenek rendre A1, B1, C1 és D1. Igazoljuk, hogy az AA1, BB1, CC1 és DD1 szakaszok felezőpontjai paralelogrammát határoznak meg, vagy egy egyenesre esnek.
 
8. Hány valós megoldása van az
x2-4x+4x2+2x+3=k
egyenletnek, ha a k valós paraméter?
 
9. Egy dobozban n darab fehér és kétszer annyi fekete golyó van (n3), amelyek tapintással nem különböztethetők meg. Visszatevés nélkül kihúzunk 3 darabot.
a) A ξ valószínűségi változó jelentse a mintában lévő fehér golyók számát. Határozzuk meg a P(ξ=0), P(ξ=1), P(ξ=2) és a P(ξ=3) valószínűségeket.
b) Milyen n esetén lesz 0,25-nál nagyobb annak a valószínűsége, hogy legalább 2 fehér golyó van a mintában?
c) Mennyi az a) részben kiszámított valószínűségek határértéke, ha az n tart a +-hez?
d) Hogyan módosulnak az a) részben megadott valószínűségek, ha visszatevéses mintával dolgozunk?