Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2006/szeptember, 332 - 333. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Oldjuk meg a következő egyenletet: $\left(x-\sqrt[]{x-2}-2\right)\left(x-\sqrt[]{x-3}-3\right)=0$.  (11 pont)   2. Adott az $f:\left]-1;5\right]\to \text{R}$, $f\left(x\right)=|{\left(x-2\right)}^2-4|-4$ függvény. $a)$ Adjuk meg a koordinátarendszerben azon rácspontokat, amelyek illeszkednek a függvény grafikonjára. $b)$ Adjuk meg a függvény zérushelyeit. $c)$ Mely intervallumokon növekedő a függvény?  (12 pont)   3. A koordinátarendszerben adott két pont: $A\left(1;5\right)$ és $B\left(7;7\right)$. Adjuk meg az $x$ tengely azon $P$ pontjának koordinátáit, amelyre $a)$ $AP=BP$; $b)$ $A{P}^2+B{P}^2=94$. $c)$ $AP+BP$ minimális;  (14 pont)   4. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 2^{3x+2}}& {\displaystyle =4y^3-407y+20}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x}& {\displaystyle =\text{log}{}_2\left(y-4\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}\}}\end{array}$ (14 pont)   II. rész   5. Egy mértani sorozat első eleme $a$, a hányadosa $q$. Mennyi annak a mértani sorozatnak az első eleme, amelynek a hányadosa $q^2$, az első $25$ elem összege pedig az adott sorozat első $50$ elemének összegével egyenlő?  (16 pont)   6. Egy érettségiző osztály a tablóját középpontosan szimmetrikus nyolcszög alakúra tervezte. A nyolcszöget egy $\text{1 m<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>×</mo></math>1,4 m}$-es téglalap alakú lemezből szerették volna elkészíteni úgy, hogy a téglalap sarkainál négy egybevágó derékszögű háromszöget levágatnak. Ekkor természetesen a téglalap négy oldalegyenese a nyolcszögnek is oldalegyenese lesz. Az így kapott nyolcszög oldalai deciméterben mérve sorban: 7, 5, 3, 5, 7, 5, 3, 5. Mennyivel változna a hulladék mennyisége, ha ezt a nyolcszöget a másik négy oldalegyenese által meghatározott téglalapból vágatták volna ki?  (16 pont)   7. Határozzuk meg azt a legkisebb pozitív $x$ értéket, amelyre $\text{sin}x$ és $\text{sin}2x$ egy derékszögű háromszög befogói, $\text{sin}3x$ pedig az átfogója.  (16 pont)   8. Egy áruház szeretné megajándékozni azokat, akik az akciós májkonzervből legalább hetet vásárolnak. Az áruházban a konzervdobozokat négyzet alapú gúlába tornyozták. Például egy négy rétegű gúlát $16+9+4+1$ darab dobozból lehet elkészíteni. A vásárlók egy szerencsekerék megforgatásával $1$-től $50$-ig egyenlő eséllyel sorsolhatnak egy egész számot. Ha az ennyi rétegből felépíthető gúlában a konzervdobozok száma osztható $7$-tel, akkor az illető ajándékot kap. $a)$ Az áruház dolgozói egy 16 rétegű gúlát építettek. Hány dobozt használtak fel? $b)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy ajándékra jogosító számot pörgetünk? $c)$ Az egyik vásárló olyan számot forgatott, hogy az ennyi rétegű gúlában a dobozok száma $7$-tel és $13$-mal is osztható volt. Melyik szám lehetett ez?  (16 pont)   9. Mennyi annak a forgástestnek a térfogata, amely az $f:\left[-10;10\right]\to \text{R}$, $f\left(x\right)=0\mathrm{,}004x\left(x+12\right)\left(x-12\right)+8$ harmadfokú függvény képének az $x$ tengely körüli megforgatásával jön létre?  (16 pont)