Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatok
Szerző(k):	Csík Zoltán
Füzet:	2006/április, 208 - 209. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Két konvex sokszög belső szögösszegének különbsége megegyezik egy hétszög belső szögösszegével, és egyiküknek kétszer annyi csúcsa van, mint ahány oldala a másiknak. Hány átlójuk van összesen?   2. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a pozitív egész számpárok halmazán: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^{y^2-15y+56}}& {\displaystyle =\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y-x}& {\displaystyle =5.}\hfill \end{array}}$   3. A $k^2\left(2+4x\right)-x\left(x+1+k\right)+3\left(x-2\right)\left(2k+1\right)-\left(1-x\right)\left(k+3\right)=0$ egyenlet gyökei $x_1=1$ és $x_2=2$. Adjuk meg $k$ értékét.   4. Egy teázóban úgy szolgálják fel a teát, hogy a csésze 16 db kockacukorral az ábrán látható módon körberakható (a szomszédos kockacukrok csúcsai összeérnek, egy-egy oldalukkal érintik a csészét, két-két csúcsuk pedig a csészealj peremén van). Hány cm a kockacukor éle, illetve a csésze sugara, ha a csészealj átmérője 10 cm?     II. rész   5. Hány megoldása van az $|||||x|-1|-1|-1|-1|=\frac{kx}{7}$ egyenletnek a pozitív egész $k$ értékétől függően?   6. Adott a $10$ egység oldalú $ABCD$ rombusz. Az $A$ középpontú, $C$ csúcson áthaladó kört belülről érinti a $B$ középpontú, $D$ csúcson áthaladó kör. Határozzuk meg a rombusz területét.   7. Az $x^2+y^2=25$ egyenletű kör, az $y=\frac{1}{3}{x}^2+1$ egyenletű parabola és az abszcisszatengely egy síkidomot határoznak meg, amelyet megforgatunk az abszcisszatengely körül. Mekkora a keletkezett forgástest térfogata?   8. Egy cég golyó alakú, tömör rágógumit gyártott, és darabját $10$ forintért adta el. Az alapanyagok drágulása miatt az előállítási költség $300\%$-kal növekedett. A gyártó szeretné, ha a rágógumik eladása utáni nyereség és az előállítási költség aránya nem változna, ezért a rágógumi darabárát $20$ forintra emelte. A terméket is átalakították: a 2 cm átmérőjű gömb alakú rágógumik belseje egy koncentrikus gömb alakú üreget is tartalmaz. Számoljuk ki az új rágógumi falának vastagságát.   9. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{x-4}+\sqrt[]{x-5}-1}& {\displaystyle =7x-x^2-2xy\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{log}{}_5{64}^x\cdot \text{log}{}_4{125}^y}& {\displaystyle =45.}\hfill \end{array}}}\hfill & \text{(<mi>*</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle xy+y}& {\displaystyle =\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(1-y\right)\cdot 2\text{cos}\frac{x\cdot \pi }{3}}& {\displaystyle =\frac{x-1}{x+1}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\hfill & \text{(<mi>*</mi>)}\end{array}}$