Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Czinki József
Füzet:	2008/február, 78 - 79. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Összeöntöttünk 5 kg 15 tömegszázalékos, 8 kg 20 tömegszázalékos és 12 kg 40 tömegszázalékos cukoroldatot. Az oldószer mindegyik esetben víz volt. Azóta beleborult 40 dkg cukor, elpárolgott a víz 12 százaléka, és az egyensúly beállt. $a)$ Hány százalékos az oldat most? $b)$ Hányadrészét kell vízzel helyettesíteni az oldatnak, ha 10 tömegszázalékos oldatot szeretnénk kapni?  (11 pont)   2. A következő táblázat a földrészek lakosságának számát mutatja 1995-ben.   ${\displaystyle \begin{array}{|cc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">Földrész</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">Lakosság (millió fő)</span> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{Európa}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>3</mn></mphantom></math>682 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{Ázsia}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3498 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{Afrika}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>3</mn></mphantom></math>730 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{Észak-Amerika}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>3</mn></mphantom></math>293 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{Közép- és Dél-Amerika}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>3</mn></mphantom></math>481 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{Ausztrália és Óceánia}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mn>34</mn></mphantom></math>32 }}\hfill \\ \hline\end{array}}$   $a)$ Állapítsuk meg az adatsokaság átlagát, szórását. $b)$ Készítsünk diagramot a Föld lakosságának kontinensek szerinti eloszlásáról.  (12 pont)   3. $a)$ Tudjuk, hogy $p$ és $10p-1$ pozitív prímszámok. Lehet-e prímszám a $10p+1?$ $b)$ Péter és Pál mindketten nagyon okosak. Egy alkalommal Péter azt mondta Pálnak: ‐ Az imént meglátogattak engem hárman. Az életkoruk összege néggyel több, mint a tiéd, az életkoruk szorzata a 35 négyzetének a duplája, és mindegyikük több, mint négyéves. ‐ Nem tudom a választ ‐ közölte rövid gondolkodás után Pál. ‐ Az egyik látogatóm idősebb nálam ‐ folytatta Péter a párbeszédet. ‐ Akkor tudom a választ ‐ mondta Pál. Mennyi Péter és Pál közt a korkülönbség?  (14 pont)   4. $a)$ Adott a síkon 2007 darab olyan pont, amelyek közül semelyik három nem esik egy egyenesbe. Ezek közül három pont zöld. Tekintsük az összes olyan háromszöget, amelyeket a 2007 pont meghatároz. Hány olyan van ezek között, amelynek van zöld csúcsa? $b)$ Mutassuk meg, hogy a Fibonacci-sorozat bármely két szomszédos tagja relatív prím. (A Fibonacci-sorozat képzési szabálya: $a_1=1$; $a_2=1$; $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$, minden $n>2$ esetén.)  (14 pont)   II. rész   5. $a)$ Oldjuk meg a következő egyenletet: $2x^3-3x^2+3x-1=0$. $b)$ Hány megoldása van a $\text{cos}x=\frac{|x|}{2\pi }$ egyenletnek?  (16 pont)   6. Az ábrán fából készült kerítésoszlopok keresztmetszetét látjuk. A 80 db kerítésoszlop mindegyike 3 méter hosszú, és 1 méteres darabjuk lesz a földben. A kerítésoszlopoknak ezt a részét speciális folyadékkal itatják át, hogy tartósabbak legyenek.     $a)$ Mennyi folyadékra van szükség, ha $1\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ faanyag 2,5 liter folyadékot ,,nyelt el''? $b)$ Mennyi festékre van szükség a már felállított kerítésoszlopok festéséhez, ha a használt festékből 1 kg $4\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$-re elegendő?  (16 pont)   7. Hajótöröttek egy lakatlan, növényzet nélküli szigeten azt tervezik, hogy a viharban zátonyra futott eredeti vitorlás hajójuk darabjaiból új, kisebb hajót építenek. A vihar az árbocot véletlenszerűen három darabra törte. Ha az eredeti 40 m hosszú árbocnak maradt egy legalább 20 m-es darabja, akkor a hajó megépíthető. Mi a valószínűsége annak, hogy amikor visszaúsznak a hajóroncshoz, találnak ilyen darabot?  (16 pont)   8. Egy vállalattól 100 db henger alakú, $1\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ belső térfogatú, speciális fémlemezből kialakított zárt tartályt rendeltek. A megrendelő csak a térfogatot és az alakot határozta meg. Mekkora legyen a henger magassága, ha a vállalat a lehető legkevesebb anyagot szeretné felhasználni?  (16 pont)   9. A tengerpart mentén sík terepen állomásozó saját tüzérségét, és az ugyancsak a tengerpart menti sík terepen található ellenséges gyalogos hadtest helyzetét vizsgálja a hadvezér egy 480 m magas hegy tetejéről. A két hadtest látszólagos távolsága $71\mathrm{,}{2}^{\circ }$. A hadvezér a tüzérséget $6^{\circ }30\text{'}$, a gyalogságot $8^{\circ }$ depressziószög alatt látja. Kiadja-e a matematikához jól értő hadvezér a tűzparancsot, ha tudja, hogy tüzérsége ágyúinak maximális lőtávolsága 4 km?  (16 pont)