Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2007/december, 518 - 519. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2x^2-10x+9}{x^2-4x-12}=\frac{x^2-x-9}{\left(x-6\right)\left(x+2\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ (11 pont)   2. Az $ABC$ háromszög oldalainak hossza $26$, $28$ és $30$. $a)$ Igazoljuk, hogy a háromszög hegyesszögű! $b)$ Mekkora a háromszög leghosszabb magassága? $c)$ Az $ABC$ háromszög síkjával párhuzamos síkban van egy $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ háromszög, amely az $ABC$ háromszöghöz középpontosan hasonló, a hasonlóság aránya $0\mathrm{,}5$. A két párhuzamos sík távolsága $12$. Mennyi az $ABCA\text{'}B\text{'}C\text{'}$ test térfogata? (12 pont)   3. $a)$ Hány olyan négyjegyű szám van, amely osztható $3$-mal és $9$-re végződik? $b)$ Ha egy számtani sorozat első $51$ darab páratlan sorszámú elemének összegéből kivonjuk az első $50$ darab páros sorszámú elemének összegét, különbségként $2007$-et kapunk. Ha ugyanennek a számtani sorozatnak az első $50$ darab páros sorszámú elemének összegéből kivonjuk az első $50$ darab páratlan sorszámú elemének összegét, akkor pedig $2000$ a különbség. Határozzuk meg a sorozat $101$. elemét. (14 pont)   4. Mekkora szögben látszik a $PQ$ szakasz az $y=x^2-2x-2$ egyenlettel megadott alakzat $P\left(-1;1\right)$ és $Q\left(2;-2\right)$ pontjában húzott érintők metszéspontjából? Adjuk meg az érintők metszéspontjának koordinátáit.  (14 pont)   II. rész   5. Legyen $P$ az $ABCD$ négyzet $AC$ átlójának az a pontja, amelyre $AP=AB=1$. Az $AC$ átlóra a $P$ pontban állított merőleges egyenes a $BC$ oldalt a $Q$ pontban metszi. Az $ABCD$ sík $P$ pontjában a síkra állított merőleges egyenesre mérjük fel a $PE=1$ távolságot. $a)$ Igazoljuk, hogy az $ABQP$ négyszög deltoid. $b)$ A deltoid területe hányadrésze a négyzet területének? $c)$ Számítsuk ki az $ABCDE$ gúla oldallapjainak az alaplap síkjával bezárt hajlásszögét.  (16 pont)   6. A ${10}^n+{14}^n+{15}^n+{21}^n$ kifejezésben az $n$  $3$-mal osztható pozitív egész számot jelöl. $a)$ Igazoljuk, hogy a négytagú összeg minden ilyen $n$ esetén osztható lesz $1260$-nal. $b)$ A négytagú összeg két tagját véletlenszerűen kiválasztjuk. Mekkora valószínűséggel lesz a két tag összege hárommal osztható?  (16 pont)   7. Igazoljuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett $f\left(x\right)=8x^3-6x-1$ hozzárendeléssel megadott függvénynek három különböző zérushelye van és ezek közül a legnagyobb: $x_1=\text{cos}\frac{\pi }{9}$.  (16 pont)   8. $a)$ Egy szabályos sokszöget két átlójával négy síkidomra vágtunk: négyszögre, ötszögre, hatszögre és nyolcszögre. Hány oldala van a szabályos sokszögnek? $b)$ Egy szabályos tizenötszög csúcsait pirosra, a belsejében pedig néhány pontot zöldre színeztünk. Az így kapott színes pontokat minden lehetséges módon páronként összekötöttük egy-egy szakasszal. Azon szakaszok száma, amelyeknek a végpontjai azonos színűek megegyezik azon szakaszok számával, amelyeknek a két végpontja nem azonos színű. Hány darab zöld pontot vettünk fel a sokszög belsejében?  (16 pont)   9. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{{\left(7+4\sqrt[]{3}\right)}^x}+\sqrt[]{{\left(7-4\sqrt[]{3}\right)}^x}=\frac{5}{2}}\end{array}$ (16 pont)