Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2007/december, 518 - 519. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:
2x2-10x+9x2-4x-12=x2-x-9(x-6)(x+2).(11 pont)
 

2. Az ABC háromszög oldalainak hossza 26, 28 és 30.
a) Igazoljuk, hogy a háromszög hegyesszögű!
b) Mekkora a háromszög leghosszabb magassága?
c) Az ABC háromszög síkjával párhuzamos síkban van egy A'B'C' háromszög, amely az ABC háromszöghöz középpontosan hasonló, a hasonlóság aránya 0,5. A két párhuzamos sík távolsága 12. Mennyi az ABCA'B'C' test térfogata? (12 pont)
 

3. a) Hány olyan négyjegyű szám van, amely osztható 3-mal és 9-re végződik?
b) Ha egy számtani sorozat első 51 darab páratlan sorszámú elemének összegéből kivonjuk az első 50 darab páros sorszámú elemének összegét, különbségként 2007-et kapunk. Ha ugyanennek a számtani sorozatnak az első 50 darab páros sorszámú elemének összegéből kivonjuk az első 50 darab páratlan sorszámú elemének összegét, akkor pedig 2000 a különbség. Határozzuk meg a sorozat 101. elemét. (14 pont)
 

4. Mekkora szögben látszik a PQ szakasz az y=x2-2x-2 egyenlettel megadott alakzat P(-1;1) és Q(2;-2) pontjában húzott érintők metszéspontjából? Adjuk meg az érintők metszéspontjának koordinátáit.  (14 pont)
 

II. rész
 

5. Legyen P az ABCD négyzet AC átlójának az a pontja, amelyre AP=AB=1. Az AC átlóra a P pontban állított merőleges egyenes a BC oldalt a Q pontban metszi. Az ABCD sík P pontjában a síkra állított merőleges egyenesre mérjük fel a PE=1 távolságot.
a) Igazoljuk, hogy az ABQP négyszög deltoid.
b) A deltoid területe hányadrésze a négyzet területének?
c) Számítsuk ki az ABCDE gúla oldallapjainak az alaplap síkjával bezárt hajlásszögét.  (16 pont)
 

6. A 10n+14n+15n+21n kifejezésben az n  3-mal osztható pozitív egész számot jelöl.
a) Igazoljuk, hogy a négytagú összeg minden ilyen n esetén osztható lesz 1260-nal.
b) A négytagú összeg két tagját véletlenszerűen kiválasztjuk. Mekkora valószínűséggel lesz a két tag összege hárommal osztható?  (16 pont)
 

7. Igazoljuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett f(x)=8x3-6x-1 hozzárendeléssel megadott függvénynek három különböző zérushelye van és ezek közül a legnagyobb: x1=cosπ9.  (16 pont)
 

8. a) Egy szabályos sokszöget két átlójával négy síkidomra vágtunk: négyszögre, ötszögre, hatszögre és nyolcszögre. Hány oldala van a szabályos sokszögnek?
b) Egy szabályos tizenötszög csúcsait pirosra, a belsejében pedig néhány pontot zöldre színeztünk. Az így kapott színes pontokat minden lehetséges módon páronként összekötöttük egy-egy szakasszal. Azon szakaszok száma, amelyeknek a végpontjai azonos színűek megegyezik azon szakaszok számával, amelyeknek a két végpontja nem azonos színű. Hány darab zöld pontot vettünk fel a sokszög belsejében?  (16 pont)
 

9. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
(7+43)x+(7-43)x=52(16 pont)