Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Czinki József
Füzet:	2005/szeptemberi melléklet, 22 - 24. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. $50$ liter $80\%$-os töménységű etilalkoholt tartalmazó edényből valamennyit kivettünk, majd a hiányt vízzel pótoltuk. Aztán $3$ literrel kevesebbet vettünk ki, mint előzőleg, és ezt a hiányt is vízzel pótoltuk. Jelenleg az edényben az etilalkohol és a víz mennyisége azonos. Mennyit vettünk ki először?   2. Mennyi az $x$, ha az $a$ sugarú körív felezi az $a$ oldalú négyzet területét?     3. Szabadon engedtünk $379$ méhecskét egy téglatest alakú helyiségben melynek élhosszúságai: 9 m, 7 m, 6 m. Bizonyítsuk be, hogy bármely időpillanatban létezik $2$ olyan méhecske, melyek távolsága 1,8 m-nél kisebb.   4. $a)$ Micimackó a szomszédos málnás megvásárlására $10000$ peták kölcsönt vett fel a Hangya Takarékszövetkezettől $10$ év futamidőre, évi $8\%$ kamatra, évenkénti törlesztéssel. Mennyit kell évente visszafizetnie Micimackónak? (A törlesztő részlet minden évben azonos.) $b)$ Hány évre kellett volna Micimackónak felvenni a kölcsönt, ha évi $2200$ petákot szeretne visszafizetni?   II. rész   5. $a)$ Határozzuk meg a $\text{sin}2x+1=3\left(\text{sin}x+\text{cos}x\right)-2$ egyenlet valós megoldásait. $b)$ Milyen $n$ természetes számra lesz a $3\cdot 5^n+n^2+4n+4$ kifejezés osztható $100$-zal?   6. Adottak a következő függvények: ${\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle f:x\in \left[-5;10\right[\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle x\mapsto |||x-2|-2|-2|\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle g:x\in \left]-1;4\right]\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle x\mapsto -x^2+4x+2.}\end{array}}$ $a)$ Ábrázoljuk közös koordináta rendszerben az $f$ és a $g$ függvényeket. $b)$ Milyen $x$ értékekre igaz, hogy $f\left(x\right)>g\left(x\right)$? $c)$ Számítsuk ki a két függvénygörbe által bezárt síkidom területét.   7. Térképésztanulók $3$ dimenziós koordináta-rendszerbe foglalták egy felülnézetből 1000 m-szer 1000 m-es nagyságú, négyzet alakú terep adatait. Az origó a terület délnyugati sarokpontja, melynek tengerszintfeletti magassága 320 m. A tereppontok koordinátái méterben értendők. Az első koordináta $\left(x\right)$ a keleti, a második $\left(y\right)$ pedig az északi irányban vett kiterjedést jelöli. A függőleges kiterjedéseket a koordinátahármasok harmadik tagja $\left(z\right)$ jelöli. ($z$ lehet negatív is.) $a)$ Milyen emelkedési szögben látszik az $A\left(31;40;110\right)$ magaslatról a $B\left(221;52;340\right)$ magaslat? $b)$ Mi az $A$ és a $B$ magaslatokat összekötő egyenes $x$ és $y$ tengelyek által meghatározott síkra vonatkozó merőleges vetületének egyenlete az $x$, $y$ koordinátarendszerben? $c)$ Mekkora a tengerszint feletti magassága annak a sziklának, melynek $C$ csúcsa a $D\left(400;400;30\right)$, $E\left(500;500;30\right)$, $F\left(500;400;30\right)$ pontokkal együtt $100000\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ térfogatú gúlát határoz meg?   8. Egy nagyvárosban $21$ szolgáltatóház működik. Ezek közül tizenháromban vállalnak kulcsmásolást, tizenegyben képkeretezést, és nyolc szolgáltatóház vállalja a kész munkadarabok házhoz szállítását. Az összes szolgáltatóház nyújtja valamelyiket az előző három szolgáltatás közül. Négy olyan szolgáltatóház van, ahol nem vállalnak képkeretezést, és házhoz sem szállítanak. Három szolgáltatóház a kérdéses három szolgáltatás közül csak házhoz szállítást nem vállal. Csak egy olyan szolgáltatóház van, amely házhoz szállít, de a másik két szolgáltatást nem nyújtja. $a)$ Mutassuk meg, hogy nincs két olyan szolgáltatóház, amely mindhárom említett szolgáltatást nyújtja. $b)$ Hány olyan szolgáltatóház van, amely csak képet keretez a kérdéses három szolgáltatás közül? $c)$ Úgy értesültünk, hogy a következő héten valamelyik szolgáltatóház a kérdéses három szolgáltatás közül egy újat emel a profiljába. Mi a valószínűsége annak, hogy ezzel lesz két olyan szolgáltatóház, amely mindhárom említett szolgáltatást nyújtja?   9. Egy sportiskola $12$ fős csoportjának néhány adatát tartalmazza a következő táblázat:     $a)$ Számítsuk ki, hány százalékkal változtak a diákok egyéni csúcsai távolugrásban $2004$-ről $2005$-re? Állítsa sorba a diákok naplóbeli sorszámát e változás növekvő sorrendje alapján. $b)$ Ábrázoljuk a lábméretek gyakoriságát, illetve relatív gyakoriságát a megfelelő diagramokon. $c)$ Hányféleképpen választható ki három diák úgy, hogy van köztük az átlagnál alacsonyabb is és magasabb is?