Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Besnyőné Titter Beáta
Füzet:	2006/február, 80 - 81. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: $a)$ $\left(4-x^2\right)\sqrt[]{1-x}=0$; $b)$ $\left(0\mathrm{,}{4}^x-2\mathrm{,}{5}^{x+1}-1\mathrm{,}5\right)\cdot \text{log}{}_3\left(x+3\right)=0$; $c)$ $\text{sin}x=5\text{cos}\frac{x}{2}$.   2. Az $ABCD$ rombusz két szemközti csúcsa $A\left(0;0\right)$, $C\left(2;4\right)$. Az $A$ és $C$ csúcsoknál lévő szög ${120}^{\circ }$. Határozzuk meg a $B$ és $D$ csúcs koordinátáit.   3. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^3-x^{2}y-4x{y}^2+4y^3}& {\displaystyle =0}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2x^2+y^2}& {\displaystyle =12}\hfill \end{array}}\}}\end{array}$   4. Az $ABCD$ paralelogramma kerülete $26$ egység, $AB<AD$, a $BCD$ háromszögbe írható kör sugara $\sqrt[]{3}$ egység, a paralelogramma $B$ csúcsnál lévő szöge ${120}^{\circ }$. Mekkorák a paralelogramma oldalai?   II. rész   5. Adott öt pont úgy, hogy nincs közöttük három egy egyenesen. Négy egyenes szakaszból álló hálózattal szeretnénk összekötni őket, a keresztezés megengedett. Hány ilyen hálózat képzelhető el?   6. Igazoljuk, hogy minden háromszögben $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}{}^2\frac{\alpha -\beta }{2}+\text{sin}\alpha \cdot \text{sin}\beta +\text{sin}{}^2\frac{\gamma }{2}=\mathrm{1,}}\end{array}$ ahol $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ a háromszög szögei.   7. Egy hosszú pálcán egy bolha ugrál. Minden ugrása véletlenszerűen balra vagy jobbra történik, ugrásainak hossza $10$ cm. $a)$ Hányféle módon juthat el $10$ ugrással a kiindulási helytől $40$ cm távolságra jobbra, illetve $50$ cm távolságra balra? $b)$ Határozzuk meg, hogy $10$ ugrás után mekkora valószínűséggel tartózkodik a bolha a pálca egyes pontjaiban.   8. Az $f\left(x\right)=\left(p+1\right)x^2-\left(p+3\right)x+2p$ hozzárendeléssel megadott függvényben $p$ valós paraméter. Határozzuk meg a $p$ értékét úgy, hogy a függvény minden valós $x$ esetén pozitív értéket vegyen fel.   9. Határozzuk meg azokat az $\left(x;y\right)$ számpárokat, amelyek kielégítik a következő egyenleteket: $a)$ $\text{sin}{}^2\left(x+y\right)-\text{cos}{}^2\left(x-y\right)=1$; $b)$ $\frac{1}{\sqrt[]{2}}\left(\text{sin}x+\text{cos}x\right)=2y^2-4y+3$.