Kezdőlap


Cím:	Merre esik az alma a fájától?
Szerző(k):	Horváthy Péter
Füzet:	2005/május, 297 - 300. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2005/május: 3767. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Arról, hogy forog-e a Föld a tengelye körül, már a XIV. században hosszú viták folytak a párizsi egyetemen [1]. De ez tiszta spekulációnak volt tekinthető, hiszen semmi olyan jelenséget nem ismertek, mely a kérdést eldönthette volna: a nappalok és éjszakák váltakozását az álló Földről és forgó Égboltról szóló tanítás pont olyan jól magyarázta. Kopernikusz 1543-ban megjelent könyvének, a De revolutionibus orbium coelestium-nak előszava is azt hangsúlyozza, hogy tanai csak a számítást egyszerűsítő matematikai hipotézisek. A kérdés kísérleti eldöntésére Newton tett először javaslatot [2]: a Royal Society 1679. december 4-i ülésén Robert Hooke kurátor felolvasta Newton levelét, melyben a tudós a következőket írta:
,,A Föld forgásáról szóló kopernikuszi tanítás ellenfelei a következő módon okoskodnak: Ejtsünk le egy toronyból egy súlyos tárgyat. Ha ‐ mint azt Kopernikusz állítja ‐ a Föld valóban nyugatról kelet felé forogna, akkor a tárgy zuhanása közben a torony elfordulna, és így azt nem a torony lábánál, hanem attól nyugatra találnánk meg. S mivel nem így történik, ez a Föld forgásáról szóló tanokat cáfolja. Ez a gondolatmenet ‐ érvel Newton ‐ hibás, mert nem veszi figyelembe a tárgy kezdősebességét. S mivel a torony teteje távolabb van a Föld középpontjától, a tárgy kezdősebessége az elejtés pillanatában nagyobb, mint a torony lábáé. Ezért a tárgyat a függőlegestől nem nyugatra, hanem keletre kell megtalálnunk.''
Newton levele élénk vitát váltott ki a Royal Society jelenlévő tagjai között, melynek során Flamsteed Királyi Csillagász megjegyezte, hogy ,,a Newton által megjósolt effektust jól ismerik a tüzérek, akik tudják, hogy akkor esne vissza a golyó az ágyú csövébe, ha az $87^{\circ}$ -os szöget zárna be a vízszintessel''.
A Társulat december 11-i ülésén Hooke bírálta Newton okfejtését. Felhívta a figyelmet arra, hogy az északi féltekén a leejtett tárgy nem csak kelet, de dél felé is eltérül.
Hová esik a tárgy valójában? Az anti-kopernikánusok okoskodását illetően Newtonnak nyilvánvalóan igaza van: a tárgy ‐ nevezzük ,,almának'' ‐ a ,,fa'' tetejével együtt, azzal megegyező sebességgel mozog, s a ,,fa'' nem ,,szalad ki'' alóla. Mennyi a Newton által jósolt eltérés? Az egyszerűség kedvéért az Egyenlítőn számolva, a kezdeti többlet-sebesség $h ω$ , ahol $h$ a ,,fa'' magassága, $ω = 7, 3 \cdot 10^{- 5} / s$ pedig a Föld szögsebessége. Ez a függőleges mozgást nem befolyásolja, s így az esés ideje a szokásos

\begin{matrix} Δ t = \sqrt[]{\frac{2 h}{g}} . \end{matrix}

A keletre térés ezért Newton szerint

\begin{matrix} Δ_{N} = ω \sqrt[]{\frac{2 h^{3}}{g}} . \end{matrix}

(1)

Leírás forgó koordináta-rendszerben

A problémát ma a Földdel együtt forgó koordináta-rendszerben oldanánk meg [3] (ez Newton idejében természetesen még nem volt ismert). Mint tudjuk [4], a forgó rendszerben háromfajta ,,tehetetlenségi erő'' lép föl. Ezek közül az első a szöggyorsulással arányos; de a Föld forgása jó közelítéssel egyenletes, s ezért ez a tag nulla. A második a centrifugális erő; ez az Egyenlítőn a test súlyának mintegy

3 / 1000

része, s így szintén elhanyagolható. Marad a harmadik, az ún. Coriolis-féle erő; ennek figyelembe vételével a mozgásegyenlet:

\begin{matrix} \ddot{r} = g + 2 \dot{r} \times \vec{ω}, \end{matrix}

(2)

ahol

\vec{ω}

az észak felé mutató,

ω

hosszúságú szögsebesség-vektor (1. ábra), a vektorok feletti ,,pont'' pedig az idő szerinti deriváltat jelöli.

1. ábra. Az esés leírása a Földdel együtt forgó koordináta-rendszerben

Az együttforgó rendszerbeli

r

rádiuszvektort függőleges és vízszintes komponensekre bontva és a függőleges mozgást szabadeséssel közelítve:

\begin{matrix} r = r_{f} + r_{v}, ahol r_{f} = h + \frac{1}{2} g t^{2} . \end{matrix}

(3)

Mivel a Coriolis-féle gyorsulás

g

-hez képest kicsi, a sebesség első közelítésben függőlegesen lefelé irányul:

\dot{r} \approx g t

. A vízszintes mozgásra ezért a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} {\ddot{r}}_{v} \approx 2 t g \times \vec{ω}, r_{v} (0) = 0, {\dot{r}}_{v} (0) = 0. \end{matrix}

(4)

Az Egyenlítőn

g

és

\vec{ω}

merőlegesek, és a Coriolis-erő,

F_{C} = 2 t m g ω

, keleti irányban téríti el az eső testet. (4)-ből

r_{v} = t^{3} g ω / 3

, és

t = \sqrt[]{2 h / g}

miatt

\begin{matrix} Δ = \frac{2}{3} \cdot ω \sqrt[]{\frac{2 h^{3}}{g}} = \frac{2}{3} \cdot Δ_{N}, \end{matrix}

(5)

ami a Newton-féle eredménynek, (1)-nek, csak kétharmada¹!

Hol a hiba?

Az eltérés onnan ered, hogy Newton okoskodása hiányos, mert figyelmen kívül hagyja, hogy a keleti irányú mozgás során a Föld vonzásának iránya is változik, hiszen az minden pillanatban a Föld középpontja felé mutat. Azt hihetnők, ez az effektus olyan kicsi, hogy elhanyagolható. De a Newton-féle effektus is kicsi, és, mint alább megmutatjuk, a tömegvonzás irányának változásából adódó hatás Newtonéval összemérhető! Álló koordináta-rendszerből nézve, leejtés után az ,,alma''

t

idő alatt

Δ α = ω t

szöggel mozdul el (2. ábra). A nehézségi erőnek ezért

F = - m g sin Δ α \approx - m g Δ α = - m g ω t

vízszintes, nyugat felé mutató komponense (is) van², így a vízszintes mozgás egyenlete:

\begin{matrix} \ddot{x} = - g ω t, x (0) = 0, \dot{x} (0) = ω (R + h) . \end{matrix}

Kétszer integrálva

t

szerint és a kezdeti feltételeket figyelembe véve:

\begin{matrix} x (t) = - g ω t^{3} / 6 + ω (R + h) t . \end{matrix}

De eközben a ,,fa'' lába is elfordult, mégpedig

ω R t

-vel. Az elmozdulás tehát:

\begin{matrix} Δ = ω h t - ω g \frac{t^{3}}{6} . \end{matrix}

Itt az első tag a Newton-féle, a második a vonzóerő irányváltozásából jövő korrekció. Ide az esés

\begin{matrix} t = \sqrt[]{\frac{2 h}{g}} \end{matrix}

idejét beírva, azt kapjuk, hogy a korrekciós tag a Newton-félének egyharmada, s abból levonódik; végül tehát újra az (5) eredményt kapjuk.

2. ábra

A kezdeti feltételeket megfelelően módosítva Flamsteed korábban idézett állítása is könnyen igazolható [3].

Hooke kísérlete

A december 18-i ülésen Hooke beszámolt arról, hogy a kísérletet elvégezte: egy templomban ‐ miután az ablakokat és ajtókat gondosan lezárta, hogy a huzat hatását kiküszöbölje ‐ kb.

9

méter magasról ejtett súlyos tárgyakat egy ,,puha pipa-agyaggal'' telt ládába, melybe hálószerű rovátkákat vésett. A kísérletet háromszor(!) végezte el, és ‐ elmondása szerint ‐ úgy találta, hogy a tárgyak valóban kelet felé esnek. Állítása azonban nem hihető: az általa leírt kísérleti körülmények esetén az eltérés kb.

0, 3

mm, ami messze a mérés pontossága alatt van. A Föld forgását mindenki számára meggyőző módon csak Foucault igazolta 1851-ben, a párizsi Pantheonban végzett híres inga-kísérletével.

Hivatkozások

[1]	Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete, 3. kiadás, Gondolat (Budapest, 1986).

[2]	V. I. Arnold: Huygens $&$ Barrow, Newton $&$ Hooke, Birkhäuser (1990).

[3]	L. D. Landau, E. M. Lifsic: Elméleti fizika I. Mechanika, 39. fejezet.

[4]	Budó Ágoston: Mechanika, Tankönyvkiadó (Budapest, 1965).

α

szélességi fokon az eredmény

cos α

-val szorzódik.

²Valójában a ,,fa'' nem egyenes, hanem körpálya mentén mozog. De a Föld középpontjától $R$ távolságban, a 2. ábra szerint az érintő irányú vízszintes és a körpálya távolsága:

\begin{matrix} Δ H = \frac{R}{cos Δ α} - R \approx \frac{R}{2} {(Δ α)}^{2}, \end{matrix}

ami másodrendben kicsi, s így az általunk vizsgált elsőrendű változáshoz képes elhanyagolható. Hasonlóan, a vonzóerő függőleges komponensében a korrekció újra másodrendű:

\begin{matrix} m g cos Δ α \approx m g (1 - \frac{1}{2} {(Δ α)}^{2}) \approx m g . \end{matrix}