Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2005/március, 138 - 139. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Egy derékszögű háromszögben a két befogó hosszának aránya $1:2$, továbbá a kerület és terület mérőszámai egyenlők. Határozzuk meg az átfogóhoz tartozó magasság hosszának pontos értékét.  (11 pont) 2. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x^2-y^2-6x-6y=0}\\ \hfill {\displaystyle xy-x+y=0}\end{array}}\}}\end{array}$ (12 pont)   3. Egy egyfordulós röplabdakupán ‐ ahol tehát bármely két csapat pontosan egyszer játszik egymással ‐ 30 lejátszott mérkőzés után még minden csapatnak három mérkőzése volt hátra. Hány csapat szerepelt a kupán?  (14 pont) 4. Egy üzem termelése öt egymást követő évben mindig nőtt, az első évben $12$, a másodikban $15$, a harmadikban $20\%$-kal. A negyedik és az ötödik évben a növekedés százaléka azonos volt. Az ötödik évben az üzem a vizsgált időszakot megelőző év termelésének $2\mathrm{,}3$-szeresét érte el. Hány százalékkal növekedett a termelés a negyedik és az ötödik évben?  (14 pont)   II. rész   5. $a)$ Az $x^2+bx+c=0$ egyenlet gyökei $2$-vel nagyobbak, mint az $x^2+cx+b=0$ egyenlet gyökei. Számítsuk ki $b$ és $c$ értékét. $b)$ Az $x^2+bx+c=0$ egyenlet egyik gyöke $6$, a másik gyöke egyenlő az egyenlet diszkriminánsával. Számítsuk ki $b$ és $c$ értékét. $c)$ Az $x^2+bx+c$ másodfokú polinom két zérushelye $x_1$ és $x_2$. Írjunk fel olyan harmadfokú polinomot, amelynek zérushelyei: $x_1+x_2$; $x_1^2{x}_2+x_1{x}_2^2$; $x_1^3+x_2^3$.  (16 pont) 6. Oldjuk meg a $\left(4-\text{cos}8x\right)\left(2+\text{cos}2x\right)=15$ egyenletet.  (16 pont) 7. $a)$ Egy $27$ fős osztályba $5$-tel több lány jár, mint fiú. Mekkora a valószínűsége, hogy véletlenszerűen kiválasztott három tanuló között két fiú és egy lány van? $b)$ Egy $27$ fős osztályból kiválasztunk két tanulót. Határozzuk meg az osztályban a fiúk számát úgy, hogy a legnagyobb valószínűsége legyen annak, hogy a kiválasztott tanulók különböző neműek. Mekkora ez a maximális valószínűség? $c)$ A $27$ fős 11. osztályban egy rosszul sikerült matematika dolgozat átlaga pontosan 2. Az 5-ös, 4-es, 3-as osztályzatok száma egyenlő és azt is tudjuk, hogy valamennyi érdemjegy előfordult. Mennyi lehet az osztályzatok módusza és a mediánja?  (16 pont) 8. Egy harmadfokú $f\left(x\right)$ függvényről tudjuk, hogy $f\left(1\right)=f\left(3\right)=4$, a harmadfokú tag együtthatója $1$, továbbá ${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx=16$. Írjuk fel a függvénygörbe érintőjének egyenletét a $4$ abszcisszájú pontjában.  (16 pont) 9. Adottak az $ABCD$ konvex négyszög három csúcsának koordinátái: $A\left(2;3\right)$, $B\left(-2;5\right)$, $C\left(-3;-2\right)$, továbbá a $D$ csúcsnál lévő belső szöge, ami ${90}^{\circ }$. $a)$ Számítsuk ki az $ABC$ háromszög területét. $b)$ Határozzuk meg a $D$ csúcs koordinátáit úgy, hogy az $ABCD$ négyszög területe maximális legyen. $c)$ Mekkora az $ABCD$ négyszög kerülete, ha a $D$ pont illeszkedik az $x$ tengelyre?  (16 pont)