Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Gerőcs László
Füzet:	2005/január, 16 - 17. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Az $A$ és $B$ helységek közötti távolság $\frac{1}{4}$ részét egy kerékpáros 1 óra alatt tette meg, a hátralevő utat pedig 4 óra alatt. Sebességének mérőszáma (km/órában) mindkét szakaszon egész szám, melyek legkisebb közös többszöröse 72. Mekkora az $AB$ távolság?  (11 pont)   2. $a)$ Oldjuk meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{1+\text{tg}x}+\frac{1}{1+\text{ctg}x}=xy}\hfill \\ {\displaystyle xy+4=2\left(x+y\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ (7 pont) $b)$ Egy számtani sorozat első tagja az egyenletrendszer $x$, $y$ megoldása közül a nagyobbik, differenciája pedig a kisebbik. Hány kétjegyű pozitív egész tagja van a sorozatnak?  (6 pont)   3. Három falu közös polgármestert választ. Három jelölt ($\text{A}$, $\text{B}$ és $\text{C}$) közül lehet választani. Az 1. faluban 2016, a 2.-ban 1320 választásra jogosult járult az urnákhoz. A kördiagramok az 1. és a 2. faluban született eredményeket szemléltetik. Sajnos a 3. faluban született eredményt szemléltető kördiagram elveszett.     A választás összesített végeredménye: $a)$ Készítsük el a 3. falu választási eredményét szemléltető kördiagramot.  (10 pont) $b)$ Hány lakosa van a 3. falunak, ha a falu lakosainak $72\%$-a volt választásra jogosult és a választásra jogosultak $56\%$-a vett részt a szavazáson?  (4 pont)   4. Az ábrán egy falucska építendő kápolnájának díszítőeleme látható. Mekkora a besatírozott körök (üvegablakok) sugara, ha a külső negyedkörök sugara: $r=80\text{cm}$?  (14 pont)     II. rész   5. Legyen az $A$ halmaz az $\left(1\right)$, a $B$ halmaz pedig a $\left(2\right)$ kifejezés értelmezési tartománya: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1\right)\sqrt[]{2\text{sin}{}^2\pi x-\text{cos}\pi x-1}\mathrm{,}\left(2\right)\text{lg}\left(-3x^2+17x-10\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Határozzuk meg $a)$ az $A\cap B$ halmaz elemeit;  (11 pont) $b)$ a $B-A$ halmaz elemeit.  (5 pont)   6. A faltól $2$ méterre levő, $2\mathrm{,}4$ méter magas szekrény sarkának $M$ pontjában ül egy madár és az $1\mathrm{,}2\text{m}$ magasságú ablakon át figyeli, amint egy bogár mászik az udvaron a ház falára merőleges irányban $0\mathrm{,}8$ méter/perc sebességgel. Az ablak alsó széle a földtől $0\mathrm{,}8$ méter magasan van. Mennyi ideig látja a madár a bogarat?  (16 pont)     7. Az $f\left(x\right)=x^2+ax+b$ és $g\left(x\right)=x^2+bx+a$ függvényekhez $\left(a>b\right)$ pontosan egy olyan $x_0$ hely található, melyben a függvények görbéjéhez tartozó érintők merőlegesek egymásra. $a)$ Ábrázoljuk a $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ függvényt.  (8 pont) $b)$ Számítsuk ki az $f\left(x\right)$ és $g\left(x\right)$ függvények görbéje, valamint az $y$ tengely által közbezárt terület nagyságát.  (8 pont)   8. András meglátott egy reklámújságban egy igen kedvező árú gesztenyenyuszit. Amikor meg akarta vásárolni, döbbenten tapasztalta, hogy a pénztárnál $66$ Ft híján az újságban feltüntetett ár kétszeresét számlázták. Miután panaszt tett, kiderült, hogy az újságban a háromjegyű ár első és harmadik számjegyét véletlenül felcserélték. Mennyit kell fizetnie Andrásnak, ha megveszi az árut?  (16 pont)   9. $a)$ Adott három párhuzamos egyenes; mindegyiken pirosra festettünk $5$ pontot. Tekintsük az összes háromszöget, melyek csúcsai pirosak, két csúcsuk valamelyik egyenesen, a harmadik pedig egy másik egyenesen van; majd tekintsük az összes olyan piros csúcsú négyszöget, melyek két-két csúcsa egy-egy egyenesre illeszkedik. Miből van több: háromszögből vagy négyszögből?  (6 pont) $b)$ Legyen most adva két párhuzamos egyenes; egyikükön $n$  $\left(n\ge 2\right)$, a másikon pedig $\left(n+1\right)$ piros pont. Ismét képezzük az összes háromszöget, illetve négyszöget, melyek csúcsai pirosak. Most miből van több, háromszögből vagy négyszögből?  (10 pont)