Cím:	Beszámoló egy tanulmányi versenyről
Füzet:	1993/március, 110 - 112. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Beszámoló egy tanulmányi versenyről   A zalaegerszegi Zrínyi Miklós Gimnázium 1992 Októberében tanulmányi versenyt rendezett matematika, fizika és számítástechnika tantárgyakból, amelyre a Zala megyei gimnáziumokon kívül meghívást kapott a kaposvári Táncsics Mihály ‐ a szombathelyi Nagy Lajos ‐ és a veszprémi Lovassy László Gimnázium is. A tanulók mindhárom tárgyból egy-egy feladatsort kaptak, amelynek megoldására 2‐2 óra állt rendelkezésükre.   Matematika feladatok   1. Jelölje $m_a\mathrm{,}{m}_b\mathrm{,}{m}_c$ egy tetszőleges háromszög magasságait, $\varrho$ a háromszög beírt körének sugarát. Igazoljuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle m_a+m_b+m_c\ge 9\varrho \mathrm{.}}\end{array}$ Mikor áll fenn az egyenlőség? 2. Osszuk fel egy tetszőleges $ABCD$ konvex négyszög $AB$, illetve $DC$ szemközti oldalait a $P_1\mathrm{,}{P}_2$, illetve a $Q_1\mathrm{,}{Q}_2$ pontokkal $3-3$ egyenlő részre, majd a megfelelő osztópontok összekötésével bontsuk fel a négyszöget $3$ négyszögre. Igazoljuk, hogy a $P_1{P}_2{Q}_2{Q}_1$ négyszög területe megegyezik az $A{P}_1{Q}_{1}D$ és $P_{2}BC{Q}_2$ négyszögek területének a számtani közepével. 3. Adott a síkon tetszőlegesen választott $500$ pont úgy, hogy semelyik $3$ nincs egy egyenesen. Bizonyítsuk be, hogy ekkor mindig megadható $100$ darab páronként közös ponttal nem rendelkező olyan konvex négyszög, melyek csúcsai az adott pontok közül valók. 4. Bizonyítsuk be, hogy semmilyen egész együtthatós $P\left(x\right)$ polinomhoz nem találhatók olyan $x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n\left(n\ge 3\right)$ különböző egész számok amelyekre $P\left(x_1\right)=x_2\mathrm{,}P\left(x_2\right)=x_3\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}P\left(x_{n-1}\right)=x_n\mathrm{,}P\left(x_n\right)=x_1\mathrm{.}$   Fizika feladatok   1. ${35}^{\circ }$-os hajlásszögű lejtőre $2$ dm sugarú, homogén tömegeloszlású hengert helyezünk, és kezdősebesség nélkül engedjük legurulni. A henger és a lejtő között $\mathrm{0,2}$ a tapadási és $\mathrm{0,1}$ a csúszási együttható. Hányat fordul a henger, míg súlypontja $8$ méterrel lejjebb kerül?     2. A rajzon látható elektromos kapcsolásban $A$ és $B$ pontok között állandó $U$ feszültség van. $R_1$ és $R_2$ ellenállások nem változnak, de $R_3$ változtatható. Mekkora legyen $R_3$ értéke, hogy rajta maximális teljesítmény jöjjön létre? 3. Homogén, $M$ tömegű és $2a$ hosszúságú rúd vízszintes tengelyre van erősítve. A tengely éppen súlypontján halad át. A rúd kezdetben vízszintes egyensúlyi helyzetben van. Egyik vége felett $h$ magasságból $m$ tömegű kis golyó esik rá. Tökéletesen rugalmasan ütköznek. Mekkora szögsebességgel jön forgásba ettől a rúd? Mekkora a golyó ütközés utáni sebessége? 4. Nyitott, vékonyfalú fémhenger magassága $3$ dm, alapterülete $1{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">dm</span>}}^2$. Ha ezt a hengert szájával lefelé vízbe tesszük, akkor éppen úgy lebeg, hogy feneke a vízfelszínnel egy síkban van, és a víz magasságának ötödéig hatol bele. A levegő nyomása ${10}^5$ Pa, hőmérseklete ${20}^{\circ }$C, a víz hőmérséklete ${27}^{\circ }$C, sűrűsége ${10}^3{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kg/m</span>}}^3$, $g=10{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m/s</span>}}^2$. Milyen mélyre kell lenyomni ilyen körülmények között a henger nyitott száját, hogy onnan már ne merüljön fel magától?   Számítástechnika feladatok   1. Adott egy $A$ $N\left(>1\right)$ elemű, nullákból és egyesekből álló sorozat, és egy $1<K\le N/2$ egész szám. Készíts algoritmust, ami meghatározza azt a $K$ hosszúságú sorozatot, amelyik legalább kétszer előfordul a sorozatban úgy, hogy nincs közös indexű elemük! Megoldásként adjuk meg az ismétlődő sorozat első elemének indexét! 2. Írj programot, amely beolvas egy aritmetikai kifejezést, lexikális elemekre bontja, majd ellenőrzi a helyességét! (A versenyzők a feladat részletesebb leírását kapták.) * A helyezettek értékes díjakat kaptak támogatóink (Ramorg GM, Heraklith ‐ Villas Kft, Budapest Bank, Szüv) jóvoltából. Az első díj egy AT-386-os számítógép 40 Mb winchesterrel és MVGA monitorral.   A verseny díjazottjai:   ${\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle \text{ 1. helyezett: <span style="font-weight: bold;">Papp Zsombor</span> }}\hfill & {\displaystyle \text{ Zrínyi M. Gimn., Zalaegerszeg }}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 2. helyezett: <span style="font-weight: bold;">Marton Gábor</span> }}\hfill & {\displaystyle \text{ Batthyány L. Gimn., Nagykanizsa }}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 3. helyezett: <span style="font-weight: bold;">Gálig András</span> }}\hfill & {\displaystyle \text{ Zrínyi M. Gimn., Zalaegerszeg }}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 4. helyezett: <span style="font-weight: bold;">Matics Gyula</span> }}\hfill & {\displaystyle \text{ Táncsics M. Gimn., Kaposvár<br>}}\hfill \end{array}}$   Különdíjak:   Matematika: ‐ Maróti Gábor Nagy L. Gimn., Szombathely Számítástechnika: ‐ Jüttner Alpár Lovassy L. Gimn., Veszprém A rendezők a versenyt szeretnék minden évben megrendezni és szélesebb körűvé tenni. Ennek érdekében már 1993-ban meghívták (az eddigieken kívül) Baranya, Győr-Sopron és Fejér megye egy-egy gimnáziumát.