Kezdőlap


Cím:	Kislexikon
Füzet:	2004/áprilisi melléklet, 17 - 33. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feladatmegoldásnál, vagy matematikai irodalom olvasásakor hasznos lehet egy könnyen használható, kéznél lévő matematikai fogalom- és tételgyűjtemény. Egy ilyen kislexikon összeállítására teszünk most kísérletet. Javasoljuk, hogy az Olvasó igényei, ízlése és tudása alapján egészítse ki, és így személyre szabott gyűjtemény birtokába juthat.
A kislexikonnal kapcsolatos minden kiegészítést, javítást szívesen látunk.

*

1. definíció: Az

A

és

B

halmaz Descartes-féle szorzatának (

A \times B

) nevezzük azt a halmazt, amely az összes olyan

(x; y)

párból áll, amelyre

x \in A

;

y \in B

. Hasonlóan definiálható több halmaz Descartes-szorzata is.

1. tétel (skatulya-elv vagy Dirichlet-elv): Ha egy

n

elemű halmaz

k

részhalmaz egyesítéseként áll elő, akkor egyiküknek legalább

\frac{n}{k}

eleme van. Ezt a tételt leggyakrabban abban az esetben használjuk, amikor

k < n

és a részhalmazok páronként diszjunktak (nincs közös részük).

2. tétel (a teljes indukció elve): Az

U (n)

állításokra

(n = 1,2, ...)

teljesülnek a következők:

‐	az $U (1)$ állítás igaz

‐	minden $n \in N$ esetén abból, hogy $U (1), ..., U (n)$ igaz, következik, hogy $U (n + 1)$ is igaz.

Ekkor az

U (n)

állítás igaz minden

n \in N

esetén.

A továbbiakban

f : A \to B

olyan

f

függvényt jelöl, amelynek értelmezési tartománya az

A

halmaz, értékkészlete pedig a

B

halmaz.

2. definíció: Adott egy

f : A \to B

függvény. A

g : B \to A

függvényt az

f

függvény inverzének nevezzük (jelölése:

g = f^{- 1}

), ha teljesülnek az alábbiak:

g (f (x)) \equiv x

;

f (g (y)) \equiv y

;

x \in A

;

y \in B

3. tétel: Az

f : A \to B

függvénynek pontosan akkor létezik inverz függvénye, ha minden

y \in B

-hez található olyan

x \in A

, amire

f (x) = y

, továbbá az

A

bármely két különböző

x_{1}

és

x_{2}

elemére

f (x_{1})

és

f (x_{2})

is különbözők.

3. definíció: Az

f : A \to B

és a

g : B \to C

függvények kompozíciójának (összetett függvény) nevezzük azt a

h : A \to C

függvényt, amelyre

h (x) = g (f (x))

;

x \in A

Hasonló módon definiálható az

\begin{matrix} f_{1} : A_{1} \to A_{2}; f_{2} : A_{2} \to A_{3}; ...; f_{n} : A_{n} \to A_{n + 1} \end{matrix}

függvények kompozíciója is. Az

f : A \to A

függvény

n

-szeres kompozíciójaként adódó függvényt

f^{(n)}

-nel jelöljük. Így az

f : R \to R

függvény esetén az

\begin{matrix} f^{(n)} (x) = f (f (f (... f (x))) ...) \end{matrix}

összetett függvény, vagy az

f^{- 1} (x)

inverz függvény nem tévesztendő össze azzal a függvénnyel, amelynek értéke minden

x

esetén

{(f (x))}^{n}

, illetve

{(f (x))}^{- 1}

*

4. definíció: Az

f : A \to R

függvényt

‐	felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan $M \in R$ , hogy $\forall x \in A$ esetén $f (x) \leq M$ .

‐	alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan $m \in R$ , hogy $\forall x \in A$ esetén $f (x) \geq m$ .

Ha az

f : A \to R

függvény alulról és felülről is korlátos, akkor korlátos függvénynek nevezzük.

5. definíció: Legyen

A \subset R

(általában egy intervallum) és

f : A \to R

egy függvény. Ha bármely

A

-beli

x_{1} < x_{2}

számpárra teljesül, hogy

‐	$f (x_{1}) < f (x_{2})$ , akkor $f$ szigorúan monoton növekvő az $A$ halmazon;

‐	$f (x_{1}) > f (x_{2})$ , akkor $f$ szigorúan monoton csökkenő az $A$ halmazon;

‐	$f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ , akkor $f$ monoton növekvő (nemcsökkenő) az $A$ halmazon;

‐	$f (x_{1}) \geq f (x_{2})$ , akkor $f$ monoton csökkenő (nemnövekvő) az $A$ halmazon.

f : A \to R

függvények, ahol

A \subset R

, speciális esetekben számsorozatokat alkothatnak. Ilyen például az

a : N \to R

, vagy

a : Z^{+} \to R

hozzárendelés, amelyek értékeit

a_{n}

-nel jelöljük. A 4. és 5. definíció alapján így beszélhetünk korlátos; alulról, felülről korlátos; növekvő, csökkenő, nemnövekvő, nemcsökkenő; monoton és szigorúan monoton sorozatokról.

*

4. tétel: Minden

a, b \in R

és

n \in N

esetén teljesülnek az alábbi egyenlőségek:

\begin{matrix} \begin{matrix} a^{n + 1} - b^{n + 1} & = (a - b) (a^{n} + a^{n - 1} \cdot b + ... + a \cdot b^{n - 1} + b^{n}) \\ a^{2 n + 1} + b^{2 n + 1} & = (a + b) (a^{2 n} - a^{2 n - 1} \cdot b + ... - a \cdot b^{2 n - 1} + b^{2 n}) \\ a^{2 n} - b^{2 n} & = (a + b) (a^{2 n - 1} - a^{2 n - 2} \cdot b + ... + a \cdot b^{2 n - 2} - b^{2 n - 1}) \\ \sqrt[]{a \pm \sqrt[]{b}} & = \sqrt[]{\frac{a + \sqrt[]{a^{2} - b}}{2}} \pm \sqrt[]{\frac{a - \sqrt[]{a^{2} - b}}{2}}; ha a \geq \sqrt[]{b}; b \geq 0. \end{matrix} \end{matrix}

*

5. tétel (Bernoulli-féle egyenlőtlenség): Minden

a, b \in R

esetén, ha

a > - 1;

a \neq 0;

b \neq 0;

b \neq 1;

teljesül, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} {(1 + a)}^{b} < 1 + a b, & ha 0 < b < 1 \\ {(1 + a)}^{b} > 1 + a b, & ha b \notin [0; 1] . \end{matrix} \end{matrix}

6. definíció: Az

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n} \in R

számok számtani (aritmetikai) közepének az

\begin{matrix} A_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n} \end{matrix}

számot nevezzük.
Az

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

nemnegatív valós számok mértani (geometriai) közepe:

\begin{matrix} G_{n} = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}} . \end{matrix}

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

pozitív számok harmonikus közepe:

\begin{matrix} H_{n} = \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{n}}} . \end{matrix}

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

valós számok négyzetes (kvadratikus) közepe:

\begin{matrix} Q_{n} = \sqrt[]{\frac{a_{1}^{2} + ... + a_{n}^{2}}{n}} . \end{matrix}

6. tétel (a közepek közti egyenlőtlenségek): Pozitív

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

számok esetén

H_{n} \leq G_{n} \leq A_{n} \leq Q_{n}

. Ha az

n

szám között vannak különbözők, akkor mindenütt határozott egyenlőtlenség áll. Ha az

n

szám között előfordul a nulla is, akkor

H_{n}

nem értelmes, a

G_{n} \leq A_{n} \leq Q_{n}

egyenlőtlenség viszont továbbra is fennáll.

Kiegészítés: Definiálható a

k

-adik hatványközép is, ahol

k

tetszőleges 0-tól különböző valós szám:

\begin{matrix} A_{n}^{(k)} = \sqrt[k]{\frac{a_{1}^{k} + ... + a_{n}^{k}}{n}} . \end{matrix}

Látható, hogy

A_{n}^{(1)} = A_{n}

;

A_{n}^{(2)} = Q_{n}

;

A_{n}^{(- 1)} = H_{n}

. Belátható, hogy

{lim}_{k \to 0}^{} A_{n}^{(k)} = G_{n}

. Az is teljesül, hogy

k_{1} < k_{2}

esetén

A_{n}^{(k_{1})} \leq A_{n}^{(k_{2})}

, továbbá

{lim}_{k \to \infty}^{} A_{n}^{(k)} = {max}_{}^{} (a_{i})

és

{lim}_{k \to - \infty}^{} A_{n}^{(k)} = {min}_{}^{} (a_{i})

. Ily módon

{min}_{}^{} (a_{i}) \leq A_{n}^{(k)} \leq {max}_{}^{} (a_{i})

.
Beszélhetünk súlyozott hatványközepekről is:

\begin{matrix} A_{n}^{(k)'} = \sqrt[k]{\frac{p_{1} a_{1}^{k} + ... + p_{n} a_{n}^{k}}{p_{1} + ... + p_{n}}}, \end{matrix}

ahol

p_{i} > 0

. Legyen

G'_{n} = \sqrt[(p_{1} + ... + p_{n})]{a_{1}^{p_{1}} a_{2}^{p_{2}} \cdot ... \cdot a_{n}^{p_{n}}}

. Ekkor

G'_{n} \leq A_{n}^{(k)'}

7. tétel: Az

{(1 + \frac{1}{n})}^{n}

sorozat

(n \in N)

monoton növekvő, és létezik egy legkisebb

e

-vel jelölt korlát, amelyre fennáll, hogy

{(1 + \frac{1}{n})}^{n} < e

minden

n \in N

esetén.

Az ,

e

' alapú logaritmust természetes alapúnak nevezzük és ln-nel jelöljük:

ln x = log_{e} x

7. definíció: Az előjelfüggvényt a következőképpen definiáljuk (,,szignum'' függvény):

\begin{matrix} sign (x) = sgn (x) = {\begin{matrix} 1, & ha x > 0, \\ 0, & ha x = 0, \\ - 1, & ha x < 0. \end{matrix} \end{matrix}

8. definíció: Az

x

szám egész részének a legnagyobb olyan egész számot nevezzük, amely

x

-nél nem nagyobb, és ezt

[x]

-szel jelöljük (ily módon

x - 1 < [x] \leq x

). Az

x

törtrészére pedig:

{x} = x - [x]

(tehát

0 \leq {x} < 1

8. tétel: Az egészrészfüggvény nemcsökkenő függvény, a törtrész pedig periodikus függvény, amelynek

1

a periódusa.

*

9. definíció: Legyen adva

a

és

b

, két egész szám, ahol

b \neq 0

. A

q \in Z

és az

r \in {0; 1; ...; | b | - 1}

számokat az

a : b

maradékos osztás hányadosának, illetve maradékának nevezzük, ha teljesül, hogy

a = q b + r

. Ha

r = 0

, akkor azt mondjuk, hogy

b

osztja az

a

-t, vagy másképpen, az

a

szám a

b

többszöröse, illetve az

a

-nak

b

az osztója (jelölés:

b ∣ a

10. definíció: Az

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

nem 0 egész számok legkisebb közös többszörösének azt a legkisebb pozitív egész számot nevezzük, amely a számok mindegyikének többszöröse (jelölése

[a_{1}; a_{2}; ...; a_{n}]

11. definíció: Az

a_{1}, ..., a_{n}

egészek legnagyobb közös osztója (a számok nem mind 0-k) az a legnagyobb természetes szám, amely a számok mindegyikének osztója (jelölése:

(a_{1}; a_{2}; ...; a_{n})

9. tétel: Minden

a

b

természetes szám esetén

(a; b) \cdot [a; b] = a \cdot b

12. definíció: Az

a

és

b

egészeket relatív prímeknek nevezzük, ha

(a; b) = 1

Kiegészítés: Számok legnagyobb közös osztójára teljesül, hogy többszöröse minden közös osztónak. Hasonló tulajdonsággal rendelkezik a számok legkisebb közös többszöröse: osztója valamennyi közös többszörösnek. Két pozitív egész legnagyobb közös osztóját az ún. euklideszi algoritmus segítségével (is) megkaphatjuk:

\begin{matrix} \begin{matrix} a & = b q_{1} + r_{1}; & 0 < r_{1} < b, \\ b & = r_{1} q_{2} + r_{2}; & 0 < r_{2} < r_{1}, \\ r_{1} & = r_{2} q_{3} + r_{3}; & 0 < r_{3} < r_{2}, \\ ⋮ \\ r_{n - 2} & = r_{n - 1} q_{n} + r_{n}; & 0 < r_{n} < r_{n - 1}, \\ r_{n - 1} & = r_{n} q_{n + 1}; & (r_{n + 1} = 0) . \end{matrix} \end{matrix}

Ekkor

r_{n}

a legnagyobb közös osztó.

A számok prímtényezős felbontásából is megkapható a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös. Legyen

a = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} \cdot ... \cdot p_{n}^{α_{n}}

;

b = p_{1}^{β_{1}} p_{2}^{β_{2}} \cdot ... \cdot p_{n}^{β_{n}}

, ahol

0 \leq α_{i}

;

0 \leq β_{i}

. Ekkor

\begin{matrix} (a; b) = p_{1}^{{min}_{}^{} (α_{1}; β_{1})} \cdot ... \cdot p_{n}^{{min}_{}^{} (α_{n}; β_{n})} és [a; b] = p_{1}^{{max}_{}^{} (α_{1}; β_{1})} \cdot ... \cdot p_{n}^{{max}_{}^{} (α_{n}; β_{n})} . \end{matrix}

Ez az alak több számra is kiterjeszthető.

13. definíció: Legyenek adottak az

a

b

m

egészek,

m > 1

. Az

a

számot kongruensnek mondjuk

b

-vel az

m

modulusra nézve (

a \equiv b (mod m)

; olvasva:

a

kongruens

b

moduló

m

), ha

m ∣ (a - b)

. Ellenkező esetben az

a

nem kongruens

b

-vel (

a ≢ b (mod m)

10. tétel: Adottak az

a,

b,

c,

d,

m,

k

egészek, ahol

k > 0;

m > 1

. Ekkor fennállnak:

$a)$	ha $a \equiv b (mod m)$ és $b \equiv c (mod m)$ , akkor $a \equiv c (mod m)$ .

$b)$	ha $a \equiv b (mod m)$ és $c \equiv d (mod m)$ , akkor $a + c \equiv b + d (mod m)$ és $a \cdot c \equiv b \cdot d (mod m)$ .

$c)$	ha $a \equiv b (mod m)$ , akkor minden természetes $n$ -re $a^{n} \equiv b^{n} (mod m)$ .

$d)$	ha $a \equiv b (mod m)$ , akkor $a k \equiv b k (mod m k)$ .

$e)$	ha $a \equiv b (mod m)$ és $k ∣ a;$ $k ∣ b;$ $k ∣ m;$ akkor $\frac{a}{k} \equiv \frac{b}{k} (mod (\frac{m}{k}))$ .

11. tétel: Minden

a,

b

egész és

n

természetes számra fennáll:

$a)$	$a - b ∣ a^{n} - b^{n}$ .

$b)$	$a + b ∣ a^{2 n - 1} + b^{2 n - 1}$ .

$c)$	$a + b ∣ a^{2 n} - b^{2 n}$ .

Ezek az oszthatóságok a 4., illetve a 10.c. tételekből is következnek.
Legyen az

m

tetszőleges, 2-nél nagyobb egész. Az egész számok

m

-mel osztva maradékul a

0,1, ..., m - 1

számok közül pontosan az egyiket adhatják. Egy adott egész szám hatványai nem feltétlenül adják ki ezen maradékok mindegyikét.

12. tétel: Az

m

modulusra nézve

(3 \leq m \leq 10)

az egész számok

n

. hatványai

(2 \leq n \leq 5)

pontosan az alábbi táblázatban közölt maradékokat adhatják:

\begin{matrix} m ∖ n & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 0; 1 & 0; 1; 2 & 0; 1 & 0; 1; 2 \\ 4 & 0; 1 & 0;1; 3 & 0; 1 & 0; 1; 3 \\ 5 & 0; 1; 4 & 0; 1; 2; 3; 4 & 0; 1 & 0‐4 \\ 6 & 0; 1; 3; 4 & 0; 1; 2; 3; 4; 5 & 0; 1; 3; 4 & 0‐5 \\ 7 & 0; 1; 2; 4 & 0; 1; 6 & 0; 1; 2; 4 & 0‐6 \\ 8 & 0; 1; 4 & 0; 1; 3; 5; 7 & 0; 1 & 0; 1; 3; 5; 7 \\ 9 & 0; 1; 4; 7 & 0; 1; 8 & 0; 1; 4; 7 & 0; 1; 2; 4; 5; 7; 8 \\ 10 & 0; 1; 4; 5; 6; 9 & 0‐9 & 0; 1; 5; 6 & 0‐9 \end{matrix}

A pozitív egészeket általában a tízes számrendszerben írjuk fel. Ezen felírásnak létezik a következő általánosítása.

14. definíció: Az

n \in N

szám

g

alapú számrendszerbeli alakja

(g \in N;

g > 1)

{\bar{a_{1} ... a_{m}}}_{g_{^{⌣}}^{}}

, ha fennáll:

n = a_{1} \cdot g^{m - 1} + a_{2} \cdot g^{m - 2} + ... + a_{m - 1} \cdot g + a_{m}

; ahol az

a_{i}

számok

g

-nél kisebb nemnegatív egészek és

a_{1} \neq 0

13. tétel: Minden

1

-nél nagyobb természetes

g

esetén minden

n

-re egyértelműen létezik ez a felírás.

14. tétel: Minden pozitív egész szám kongruens a tízes számrendszerbeli felírásában szereplő számjegyeinek összegével mod 9 (ez

(g - 1)

-re is igaz,

g_{^{⌣}}^{}

alapú felírással).

15. definíció: Legyen

m, n \in Z

;

n \geq m \geq 0

. Az

(\binom{n}{k})

binomiális együttható az

\frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

számot jelöli, ahol

\begin{matrix} n! = {\begin{matrix} 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n, & ha n \in N, \\ 1, & ha n = 0. \end{matrix} \end{matrix}

15. tétel: Minden pozitív

m,

n

egész esetén teljesülnek az alábbiak:

$a)$	$(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1$ ;

$b)$	$(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ , ha $n \geq k \geq 0$ ;

$c)$	$(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})$ , ha $n > k > 0$ .

16. tétel (binomiális tétel): Minden

a, b \in R

és

n \in N

esetén

\begin{matrix} {(a + b)}^{n} = (\binom{n}{0}) \cdot a^{n} + (\binom{n}{1}) \cdot a^{n - 1} b + ... + (\binom{n}{k}) \cdot a^{n - k} b^{k} + ... + (\binom{n}{n}) \cdot b^{n} . \end{matrix}

Ebből következnek az alábbiak:

17. tétel:

$a)$	$(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + ... + (\binom{n}{n}) = 2^{n};$ $a = b = 1$ helyettesítéssel;

$b)$	$(\binom{n}{0}) - (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + ... + {(- 1)}^{n} (\binom{n}{n}) = 0;$ $a = 1,$ $b = - 1$ helyettesítéssel.

16. definíció: Azon 1-nél nagyobb természetes számokat, amelyeknek az 1-en és önmagukon kívül nincs más pozitív egész osztója, prímszámoknak (törzsszámoknak) nevezzük. A többi 1-nél nagyobb egészt összetett számnak hívjuk. Az 1 nem prím és nem is összetett.

Kiegészítés: Bizonyítható, hogy egy

p > 1

egész pontosan akkor prím, ha minden

a

b

egészre abból, hogy

p ∣ a b

, következik, hogy

p ∣ a

vagy

p ∣ b

18. tétel (a számelmélet alaptétele): Minden összetett szám felírható néhány, nem feltétlenül különböző prímszám szorzataként, ahol ez a felírás a sorrendtől eltekintve egyértelmű (egytényezős szorzatokat is elfogadva, ez a prímekre is igaz).

19. tétel: Végtelen sok prímszám van.

20. tétel (Legendre-féle formula): Az

n!

prímtényezős felbontásában a

p

prímszám kitevőjének értéke:

\begin{matrix} [\frac{n}{p}] + [\frac{n}{p^{2}}] + ... + [\frac{n}{p^{k}}] + ... \end{matrix}

(nagy

k

esetén

[\frac{n}{p^{k}}] = 0

A következő három tétel a relatív prím számpárok tulajdonságairól szól.

21. tétel: Legyenek

a,

b,

c

egészek és

c \neq 0

. Ekkor, ha

c ∣ a b

és

(b; c) = 1

, akkor

c ∣ a

22. tétel: Legyenek

a,

b,

c,

m

természetes számok. Ekkor ha

a \cdot b = c^{m}

és

(a; b) = 1

, akkor

a = a_{1}^{m}

és

b = b_{1}^{m}

alakú, ahol

a_{1}, b_{1} \in N

és

a_{1} \cdot b_{1} = c;

(a_{1}; b_{1}) = 1

23. tétel (kínai maradéktétel): Legyenek adottak az

m_{1}, m_{2}, ..., m_{k}

0

-tól különböző, páronként relatív prím egész számok. Ekkor minden

a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}

egészekből álló

k

-ashoz létezik olyan

x

egész szám, amely

i = 1,2, ..., k

esetén kielégíti az

x \equiv a_{i} (mod m_{i})

kongruencia-rendszert. A kongruenciarendszer megoldásai éppen az

x + n \cdot m_{1} \cdot m_{2} \cdot ... \cdot m_{k}

alakú számok, ahol

n

egész.

24. tétel: Ha

a

és

b

egészek, amelyek nem mindegyike

0

, akkor léteznek olyan

p,

q

egészek, amelyekre

(a; b) = a \cdot p + b \cdot q

25. tétel (a kis Fermat-tétel): Ha a

p

prímszám nem osztója az

a

számnak, akkor

p ∣ a^{p - 1} - 1

A tételt így is fogalmazhatjuk:

26. tétel: Legyen

p

prímszám. Ekkor minden

a

egész szám esetén

a^{p} \equiv a (mod p)

Kiegészítés: Jelölje

φ (n)

n

-nél kisebb,

n

-hez relatív prím számok számát. Ha

n

prímtényezős felbontása

p_{1}^{α_{1}} \cdot p_{2}^{α_{2}} \cdot ... \cdot p_{k}^{α_{k}}

alakú, akkor

\begin{matrix} φ (n) = n \cdot (1 - \frac{1}{p_{1}}) \cdot (1 - \frac{1}{p_{2}}) \cdot ... \cdot (1 - \frac{1}{p_{k}}) . \end{matrix}

Legyen

(a; n) = 1

. Ekkor

a^{φ (n)} \equiv 1 (mod n)

. (Euler-tétel)

*

27. tétel (Bolzano tétele): Ha az

f : [a; b] \to R

függvény folytonos az

[a; b]

intervallumban, akkor

f

minden

f (a)

és

f (b)

közötti értéket felvesz.

Ennek speciális esete a következő tétel:

28. tétel: Ha az

f : [a; b] \to R

függvény folytonos

[a; b]

-ben és a végpontjaiban felvett függvényértékek előjele különböző, akkor van olyan

c \in (a; b)

, amire

f (c) = 0

teljesül.

29. tétel (Weierstrass tétele): Ha egy

[a; b]

-n értelmezett

f

valósértékű függvény folytonos

[a; b]

-n, akkor

\exists c, d \in [a; b]

, hogy

\forall x \in [a; b]

-re

f (c) \leq f (x) \leq f (d)

30. tétel: Zárt intervallumon folytonos függvény korlátos.

31. tétel: Legyen

f : I \to R

differenciálható az

I

intervallumon. Az

f

függvény akkor és csak akkor nemcsökkenő (megfelelően: nemnövekvő), ha

\forall x \in I

-re

f' (x) \geq 0

(megfelelően:

f' (x) \leq 0

). Ha

\forall x \in I

-re

f' (x) > 0

(megfelelően:

f' (x) < 0

), akkor az

f

függvény növekvő (megfelelően: csökkenő).

17. definíció: Az

f : I \to R

függvényt konvexnek nevezzük

I

-n, ha tetszőleges

x, y \in I

és

α \in [0; 1]

valós számokra

f (α x + (1 - α) y) \leq α f (x) + (1 - α) f (y)

. Az

f : I \to R

konkáv, ha

g (x) = - f (x)

konvex.

32. tétel: Legyen

f : I \to R

kétszer differenciálható az

I

-n. Az

f

függvény akkor és csak akkor konvex (megfelelően: konkáv) az

I

intervallumon, ha

\forall x \in I

-re

f'' (x) \geq 0

(megfelelően:

f'' (x) \leq 0

33. tétel (Lagrange tétele): Legyen

f : [a; b] \to R

[a; b]

-n folytonos és a belsejében differenciálható függvény. Ekkor

\exists c \in (a; b)

, amelyre

f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}

34. tétel (Rolle tétele): Legyen

f : [a; b] \to R

[a; b]

-n folytonos és a belsejében differenciálható függvény, amelyre

f (a) = f (b)

. Ekkor

\exists c \in (a; b)

, amelyre

f' (c) = 0

*

18. definíció: Komplex számok

C

halmazának nevezzük a valós számokból álló rendezett párok halmazát, amelyen az összeadás és szorzás műveletét a következő alakban adjuk meg:

\begin{matrix} \begin{matrix} (a; b) + (c; d) & = (a + c; b + d) \\ (a; b) \cdot (c; d) & = (a c - b d; a d + b c) . \end{matrix} \end{matrix}

A komplex számokat rendszerint

z = a + b \cdot i

alakban írjuk, ahol

a

és

b

valós számok, és

i^{2} = - 1

. Az

a

számot a

z

komplex szám valós, a

b

-t pedig a

z

képzetes részének nevezzük.

19. definíció: A

z = a + b \cdot i

komplex szám abszolút értéke

| z | = \sqrt[]{a^{2} + b^{2}}

35. tétel: Tetszőleges

z, w \in C

-re

\begin{matrix} | z w | = | z | \cdot | w | . \end{matrix}

36. tétel (háromszög-egyenlőtlenség): Tetszőleges

z, w \in C

-re

\begin{matrix} | z + w | \leq | z | + | w | . \end{matrix}

20. definíció: A nem nulla

z = a + b \cdot i

komplex szám argumentuma az a

φ

szög, amely teljesíti a következőket:

cos φ = \frac{a}{r}

sin φ = \frac{b}{r}

, ahol

r = | z |

- π < φ \leq π

(jelölése

φ = arg z

37. tétel (a komplex szám trigonometrikus alakja): Tetszőleges nem nulla

z = a + b \cdot i

komplex szám felírható

z = r (cos φ + i \cdot sin φ)

alakban, ahol

r = | z |

φ = arg z

21. definíció: A

\bar{z} = a - b \cdot i

komplex számot a

z = a + b \cdot i

komplex szám konjugáltjának nevezzük.

A komplex számokat ábrázolhatjuk a sík pontjaiként is, az abszcissza a komplex szám valós, az ordináta a képzetes része. A koordinátasíkon a komplex szám tükörképe a valós tengelyre a komplex szám konjugáltja.

38. tétel: Tetszőleges

z, w \in C

-re:

| \bar{z} | = | z |

z \bar{z} = {| z |}^{2}

\bar{z + w} = \bar{z} + \bar{w}

\bar{z} \cdot \bar{w} = \bar{z w}

, ha

z \neq 0

, akkor

arg z = - arg \bar{z}

39. tétel: Ha

z = a + b \cdot i

és

w = c + d \cdot i

z, w \in C

, akkor

\begin{matrix} \frac{z}{w} = \frac{a + b \cdot i}{c + d \cdot i} = \frac{z \cdot \bar{w}}{{| w |}^{2}} = \frac{a c + b d}{c^{2} + d^{2}} + \frac{c b - a d}{c^{2} + d^{2}} \cdot i . \end{matrix}

40. tétel: A trigonometrikus alakban megadott komplex számokra

\begin{matrix} \begin{matrix} (r_{1} (cos φ_{1} + i \cdot sin φ_{1})) (r_{2} (cos φ_{2} + i \cdot sin φ_{2})) = \\ = r_{1} \cdot r_{2} (cos (φ_{1} + φ_{2}) + i \cdot sin (φ_{1} + φ_{2})), \\ \frac{r_{1} (cos φ_{1} + i \cdot sin φ_{2})}{r_{2} (cos φ_{2} + i \cdot sin φ_{2})} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (cos (φ_{1} - φ_{2}) + i \cdot sin (φ_{1} - φ_{2})) . \end{matrix} \end{matrix}

41. tétel (de Moivre tétele):

{[r (cos φ + i \cdot sin φ)]}^{n} = r^{n} (cos n φ + i \cdot sin n φ) .

42. tétel: Nem nulla

z \in C

és

n \in N

-re a

z^{n} = 1

egyenletnek

n

különböző megoldása van a komplex számok halmazán:

\begin{matrix} x_{k} = cos \frac{2 π k}{n} + i \cdot sin \frac{2 π k}{n}, k \in {0,1, ..., n - 1} . \end{matrix}

Ezek az úgynevezett

n

-edik egységgyökök.

*

22. definíció: Polinomnak nevezzük az olyan valós vagy komplex argumentumú függvényt, amely felírható a következő alakban:

\begin{matrix} P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}, \end{matrix}

ahol

n \in N^{+}

a_{0}, a_{1}, ..., a_{n} \in C

. Ha

n \geq 1

, akkor

a_{n} \neq 0

. Ekkor az

n

számot a

P (x)

polinom fokszámának nevezzük és

deg P

-vel jelöljük.

Kiegészítés: Ha

n = 0

, azaz

P (x) = a_{0}

, ahol

a_{0} \neq 0

, akkor

deg P = 0

. Ha

P (x) = 0

minden

x

-re, akkor

P (x)

-et zéruspolinomnak nevezzük, és a fokszámát

- \infty

-nek értelmezzük. Ha

P (x)

nem zéruspolinom, akkor a legmagasabb fokú tag együtthatóját a

P (x)

főegyütthatójának nevezzük.

43. tétel: Legyen

P (x) = a_{n} x^{n} + ... + a_{0}

és

Q (x) = b_{m} x^{m} + ... + b_{0}

két polinom.

P (x) = Q (x)

akkor és csak akkor teljesül minden

x

-re, ha

n = m

és

a_{i} = b_{i}

\forall i \in {0,1, ..., n}

-re.

44. tétel: Legyenek

P (x)

Q (x)

tetszőleges polinomok,

$a)$	ha $T (x) = P (x) + Q (x)$ , akkor $deg T < {max}_{}^{} (deg P; deg Q)$ és ha $deg P \neq deg Q$ , akkor $deg T = {max}_{}^{} (deg P; deg Q)$ ,

$b)$	ha $W (x) = P (x) \cdot Q (x)$ és ha $P (x) ≢ 0$ és $Q (x) ≢ 0$ , akkor $W (x) ≢ 0$ és $deg W = deg P + deg Q$ .

45. tétel: Legyen adva két tetszőleges polinom,

P (x)

és

Q (x)

úgy, hogy

deg Q > 0

. Ekkor léteznek olyan

S (x)

és

R (x)

polinomok, amelyekre

\begin{matrix} P (x) = S (x) \cdot Q (x) + R (x) és deg R < deg Q . \end{matrix}

46. tétel: Ha az előző tételben

P

és

Q

valós együtthatósak, akkor

R

és

S

is azok. Ha

P

és

Q

racionális együtthatósak, akkor

R

és

S

is azok. Ha

P

és

Q

egész együtthatós volt, továbbá

Q

főegyütthatója

+ 1

vagy

- 1

, akkor

S

és

R

is egész együtthatós polinomok.

47. tétel (Bezout tétele):

P (x)

és

x - x_{0}

osztási maradéka

P (x_{0})

48. tétel:

x - x_{0}

akkor és csak akkor osztja

P (x)

-et, ha

x_{0}

gyöke a

P (x)

polinomnak, azaz

P (x_{0}) = 0

49. tétel (algebra alaptétele): Tetszőleges

n

-edfokú polinomnak

n

komplex gyöke van, multiplicitással számolva.

50. tétel: Ha két legfeljebb

n

-edfokú polinom

n + 1

különböző helyen ugyanazt az értéket veszi fel, akkor a két polinom egyenlő.

51. tétel: Tetszőleges

P (x)

felírható

P (x) = a_{n} (x - x_{1}) \cdot ... \cdot (x - x_{n})

alakban, ahol

a_{n}

a főegyüttható és

x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}

a polinom (komplex) gyökei.

52. tétel:

Q (x)

akkor és csak akkor osztja

P (x)

-et, ha

Q (x)

minden gyöke

P (x)

-nek is gyöke és nem kisebb multiplicitással.

53. tétel (Viéte tétele)] Legyenek

x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}

gyökei a

\begin{matrix} P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{0} \end{matrix}

polinomnak. Ekkor teljesülnek a következő egyenlőségek:

\begin{matrix} {\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + ... + x_{n} = - \frac{a_{n - 1}}{a_{n}}, \\ x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + ... + x_{n - 1} x_{n} = \frac{a_{n - 2}}{a_{n}}, \\ x_{1} x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2} x_{4} + ... + x_{n - 2} x_{n - 1} x_{n} = - \frac{a_{n - 3}}{a_{n}}, \\ ⋮ \\ x_{1} x_{2} \cdot ... \cdot x_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}} . \end{matrix} \end{matrix}

54. tétel: Ha az

x_{1}, ..., x_{n} \in C

számok teljesítik a fenti egyenletrendszert, akkor gyökei a

P (x) = a_{n} x^{n} + ... + a_{1} x + a_{0}

polinomnak.

55. tétel: Ha

P (x)

valós együtthatós polinom és a nem nulla képzetes résszel rendelkező

z

komplex szám ennek gyöke, akkor

\bar{z}

is gyöke

P (x)

-nek a megfelelő multiplicitással.

P (x)

tehát osztható

{(x - z)}^{k} \cdot {(x - \bar{z})}^{k} = {(x^{2} - 2 x Re x + {| z |}^{2})}^{k}

-nal, ahol

Re z

z

valós része.

56. tétel: Tetszőleges valós együtthatós

n

-edfokú

P (x)

polinom a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen áll elő

\begin{matrix} P (x) = a_{n} {(x - x_{1})}^{k_{1}} \cdot ... \cdot {(x - x_{m})}^{k_{n}} \cdot {(x^{2} + 2 b_{1} x + c_{1})}^{r_{1}} \cdot ... \cdot {(x^{2} + 2 b_{l} x + c_{l})}^{r_{l}} \end{matrix}

alakban, ahol

a_{n}

P (x)

főegyütthatója,

m, l \geq 0

x_{1}, ..., x_{m} \in R

P (x)

valós gyökei a megfelelő multiplicitással,

b_{1}, ..., b_{l}, c_{1}, ..., c_{l} \in R

és az

\begin{matrix} x^{2} + 2 b_{1} x + c_{1}, ..., x^{2} + 2 b_{l} x + c_{l} \end{matrix}

polinomoknak nincs valós gyöke

(b_{1}^{2} < c_{1}, ..., b_{l}^{2} < c_{l})

57. tétel: Ha

(p; q) = 1

és

\frac{p}{q}

gyöke az

a_{n} x^{n} + ... + a_{0}

egész együtthatós polinomnak, akkor

p ∣ a_{0}

q ∣ a_{n}

58. tétel: Az egész együtthatós

P (x) = x^{n} + ... + a_{1} x + a_{0}

polinom minden valós gyöke vagy egész, vagy irracionális.

59. tétel: Ha

a, n \in N

, akkor

\sqrt[n]{a}

vagy egész, vagy irracionális.

60. tétel (Lagrange interpolációs formulája): Legyenek adottak a különböző

b_{0}, ..., b_{n} \in C

számok és a tetszőleges

c_{0}, c_{1}, ..., c_{n} \in C

számok. Ekkor egyetlen

P (x)

polinom létezik, amely

n

-nél nem nagyobb fokú és teljesül rá, hogy:

\begin{matrix} P (b_{0}) = c_{0}, P (b_{1}) = c_{1}, ..., P (b_{n}) = c_{n} . \end{matrix}

Ezt a polinomot megadhatjuk az alábbi alakban:

\begin{matrix} P (x) = \sum_{i = 0}^{n} c_{i} \prod_{\binom{0 \leq j \leq n}{j \neq i}}^{} \frac{x - b_{j}}{b_{i} - b_{j}} . \end{matrix}

61. tétel: Legyen adva a

P (x) = a_{n} x^{n} + ... + a_{1} x + a_{0}

polinom, akkor

P (0) = a_{0}

P' (0) = a_{1}

P'' (0) = 2 a_{2}

...

P^{n} (0) = n! a_{n}

. A polinom ekkor felírható a következő alakban:

\begin{matrix} P (x) = \frac{P (0)}{0!} + \frac{P' (0)}{1!} x + \frac{P'' (0)}{2!} x^{2} + ... + \frac{P^{(n)} (0)}{n!} x^{n} . \end{matrix}

*

62. tétel (háromszög egyenlőtlenség): Tetszőleges (síkbeli)

A

B

C

pontokra

\begin{matrix} A B \leq A C + B C . \end{matrix}

Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, amikor

C

A B

szakaszon van, illetve ha mindhárom pont egybeesik.

23. definíció: Egy (síkbeli) ponthalmaz átmérőjén a ponthalmaz két egymástól legtávolabbi pontjának a távolságát értjük. (Itt feltesszük, hogy ilyen pontpár létezik.)

24. definíció: Egy ponthalmaz konvex, ha tetszőleges két pontja által meghatározott szakasz benne van a ponthalmazban.

Ezentúl sokszög alatt tetszőleges (nem feltétlenül konvex) sokszöget értünk. Ha konvex sokszögekről van szó, akkor ezt jelezzük.

63. tétel: Tetszőleges

n

-szög

(n \geq 3)

szögeinek összege

(n - 2) \cdot 180^{\circ}

25. definíció: Legyenek

A

B

és

C

egy konvex sokszög szomszédos csúcsai,

D

és

E

egy-egy tetszőleges pont az

A B

és

B C

oldalak

B

felőli meghosszabbításán. Az így adódó

A B E

és

C B D

(1. ábra) szögeket a sokszög

B

-nél levő külső szögeinek nevezzük (az

A B C

szöget belső szögnek nevezzük).

1. ábra

64. tétel: Konvex sokszög külső szögeinek összege

360^{\circ}

(csúcsonként egy külső szöget számolva).

26. definíció: Egy

M

sokszöget feldaraboltunk

M_{1}, M_{2}, ..., M_{n}

sokszögekre, ha

M = M_{1} \cup M_{2} \cup ... \cup M_{n}

, és

M_{i} \cap M_{j} = \emptyset

, ha

i \neq j

65. tétel: Konvex

A B C D

négyszög köré akkor és csak akkor írható kör, ha

\begin{matrix} A B C ∢ + C D A ∢ = B A D ∢ + D C B ∢ = 180^{\circ} . \end{matrix}

66. tétel: Konvex

A B C D

négyszögbe akkor és csak akkor írható kör, ha

A B + C D = B C + A D

67. tétel (Ptolemaiosz-tétel): Ha az

A B C D

négyszög köré kör írható, akkor

A B \cdot C D + B C \cdot A D = A C \cdot B D

. Megfordítva, ha a konvex

A B C D

négyszögre teljesül, hogy

A B \cdot C D + B C \cdot A D = A C \cdot B D

, akkor

A B C D

húrnégyszög.

Legyen

A

és

B

egy körbe írt sokszög két szomszédos csúcsa.

{A B}_{}^{_{⌢}}

ívnek általában azt az

A

és

B

végpontú körívet nevezzük, amelyen a sokszögnek nincs további csúcsa.

68. tétel (középponti szögek tétele): Tetszőleges

A B C ▵

esetén

\begin{matrix} A B C ∢ = \frac{{A C}_{}^{_{⌢}}}{2} . \end{matrix}

69. tétel: Legyen az

A_{1} A_{2} B_{1} B_{2}

, körbe írt négyszög átlóinak metszéspontja

P

(2. ábra). Igazak a következő egyenlőségek:

$a)$	$A_{1} P \cdot B_{1} P = A_{2} P \cdot B_{2} P$ (pont hatványa körre)

$b)$	$A_{1} P A_{2} ∢ = \frac{1}{2} ({A_{1} A_{2}}_{}^{_{⌢}} + {B_{1} B_{2}}_{}^{_{⌢}})$ .

2. ábra

70. tétel: Legyen az

A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}

négyszög körbe írható (3. ábra). Ekkor:

1)	$A_{1} B_{1}$ és $A_{2} B_{2}$ egyenesek akkor és csak akkor párhuzamosak, ha ${A_{1} A_{2}}_{}^{_{⌢}} = {B_{1} B_{2}}_{}^{_{⌢}}$ ;

2)	egyébként $A_{1} B_{1}$ és $A_{2} B_{2}$ egyenesek egy $P$ pontban metszik egymást, amely az $A_{1} A_{2}$ egyeneshez képest csak akkor van ugyanabban a félsíkban, mint $B_{1} B_{2}$ , ha ${A_{1} A_{2}}_{}^{_{⌢}} > {B_{1} B_{2}}_{}^{_{⌢}}$ (3. ábra). Ebben az esetben

$a)$	$A_{1} P \cdot B_{1} P = A_{2} P \cdot B_{2} P$ (pont hatványa körre);

$b)$	$A_{1} P A_{2} ∢ = \frac{1}{2} ({A_{1} A_{2}}_{}^{_{⌢}} - {B_{1} B_{2}}_{}^{_{⌢}})$ .

3. ábra

Egy

P

pontból egy körhöz húzott érintőszakasz hosszán a

P

pont távolságát értjük az érintési ponttól. A 70. tételben az érintőt a szelő határhelyzetének tekintve, megkaphatjuk a következő állítást:

71. tétel: Legyen az

A B C ▵

köré írt kör

C

-beli érintője

e

. Ekkor:

1)	$e$ és $A B$ egyenesek akkor és csak akkor párhuzamosak, ha ${A C}_{}^{_{⌢}} = {B C}_{}^{_{⌢}}$ ;

2)	egyébként $e$ és $A B$ egyenesek egy $P$ pontban metszik egymást, amely az $A C$ egyeneshez képest akkor és csak akkor van a $B$ ponttal azonos félsíkban, ha ${A C}_{}^{_{⌢}} > {B C}_{}^{_{⌢}}$ (4. ábra). Ebben az esetben igazak a következő állítások:

$a)$	$A P \cdot B P = C P^{2}$ (pont hatványa körre);

$b)$	$A P C ∢ = \frac{1}{2} ({A C}_{}^{_{⌢}} - {A C}_{}^{_{⌢}})$ .

4. ábra

A 68., 69.b., 70.2.b., 71.2.b. tételekből következik az alábbi állítás:

72. tétel: Legyen adott egy

A B

szakasz és legyen

M

egy olyan félsík, amelyet az

A B

egyenes határol. Ha

0^{\circ} < φ < 180^{\circ}

, akkor azon

P

pontok mértani helye az

M

félsíkban, amelyekre

A P B ∢ = φ

, egy

A

és

B

végpontú körív. Ha egy

Q \in M

pont a köríven belül helyezkedik el, akkor

A Q B ∢ > φ

, ha kívül, akkor

A Q B ∢ < φ

73. tétel: Legyen egy

A B C

háromszögben

a

b

c

az oldalak hossza,

α

β

γ

a velük szemközti szögek nagysága,

s

a félkerület,

r

a beírható kör sugara,

R

a köré írható kör sugara,

h_{a}

a

-hoz tartozó magasság,

r_{a}

a

oldalt érintő hozzáírt kör sugara. Ekkor a háromszög

T

területe:

$a)$	$T = \frac{a \cdot h_{a}}{2}$

$b)$	$T = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot sin α$

$c)$	$T = \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)}$ (Héron-képlet)

$d)$	$T = \frac{a b c}{4 R}$

$e)$	$T = s \cdot r$

$f)$	$T = \frac{1}{2} r_{a} (b + c - a)$

$g)$	$T = \frac{1}{2} R^{2} (sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ)$

e)

képlet érvényes bármely

r

sugarú kör köré írt

s

félkerületű sokszögre.

74. tétel: Ha egy derékszögű háromszög befogói

a

és

b

, az átfogója

c

, a beírt kör sugara

r

, a köré írt kör sugara

R

, akkor

r = \frac{1}{2} (a + b - c);

R = \frac{c}{2}

75. tétel: Ha az

A B C ▵

belső szögfelezője

A L

, ahol

L

B C

oldal pontja, akkor

\begin{matrix} \frac{B L}{C L} = \frac{A B}{A C} . \end{matrix}

76. tétel (paralelogramma egyenlőség): Tetszőleges

A B C D

paralelogrammára igaz:

\begin{matrix} A B^{2} + B C^{2} + C D^{2} + A D^{2} = A C^{2} + B D^{2} . \end{matrix}

Kiegészítés: A tétel megfordítása is igaz.

77. tétel: Tetszőleges

P

pontra és tetszőleges

A B C D

téglalapra

\begin{matrix} P A^{2} + P C^{2} = P B^{2} + P D^{2} . \end{matrix}

*

78. tétel: Ha

A_{1} B_{1}

egy

A B

szakasz merőleges vetülete egy egyenesre, amely az

A B

egyenest

φ \leq 90^{\circ}

szögben metszi, akkor

A_{1} B_{1} = cos φ \cdot A B

79. tétel: Legyen

a

nem nullvektor a síkon,

O

pedig ennek a síknak egy pontja. Tetszőleges

k \in R

esetén azon

X

pontok mértani helye, amelyekre az

a \cdot \vec{O X} = k

egyenlet teljesül, egy egyenes.

80. tétel: Tetszőleges

A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}

ponthalmazra és tetszőleges

k_{1}, k_{2}, ..., k_{n} \in R

számokra, amelyek összege nem nulla, egyetlen olyan

O

pont létezik, amelyre

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} k_{i} \cdot \vec{O A_{i}} = 0. \end{matrix}

Ez esetben a tér tetszőleges

P

pontjára teljesül, hogy

\begin{matrix} (\sum_{i = 1}^{n} k_{i}) \cdot \vec{P O} = \sum_{i = 1}^{n} k_{i} \cdot \vec{P A_{i}} . \end{matrix}

Ezen a tételen múlik a következő három definíció:

27. definíció: Egy

A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}

pontrendszer súlypontjának azt az

O

pontot nevezzük, amelyre

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} \vec{O A_{i}} = 0 . \end{matrix}

28. definíció: Az

A_{1} B_{1}, A_{2} B_{2}, ..., A_{n} B_{n}

szakaszrendszer súlypontjának azt az

O

pontot nevezzük, amelyre

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} l_{i} \cdot \vec{O M_{i}} = 0, \end{matrix}

ahol

l_{i}

(i = 1,2, ..., n)

i

-edik szakasz hossza,

M_{i}

pedig az

i

-edik szakasz középpontja.

29. definíció: Az

A_{1} B_{1} C_{1}, A_{2} B_{2} C_{2}, ..., A_{n} B_{n} C_{n}

háromszög-rendszer súlypontjának azt az

O

pontot nevezzük, amelyre

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} t_{i} \vec{O M_{i}} = 0, \end{matrix}

ahol

t_{i}

i

-edik háromszög területe,

M_{i}

pedig a súlypontja.

81. tétel: Ha

M

A B C ▵

súlypontja, akkor a tér tetszőleges

P

pontjára teljesül:

\begin{matrix} \vec{P M} = \frac{\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C}}{3} . \end{matrix}

A háromoldalú szöglet lapszögeire teljesül a háromszög-egyenlőtlenség következő általánosítása:

82. tétel: Tetszőleges háromoldalú szöglet

φ

ψ

χ

lapszögeire

φ < ψ + χ

83. tétel: Tetszőleges konvex szöglet lapszögeinek összege kisebb

360^{\circ}

-nál.

84. tétel: Menjen át az

A

ponton három, nem egysíkú egyenes. Legyen

B_{1}

és

B_{2}

két,

A

-tól különböző pont az egyik egyenesen,

C_{1}

C_{2}

a másikon, és

D_{1}

D_{2}

a harmadikon. Az így adódó

A B_{1} C_{1} D_{1}

tetraéder

V_{1}

és az

A B_{2} C_{2} D_{2}

tetraéder

V_{2}

térfogatának aránya:

\begin{matrix} \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\bar{A B_{1}} \cdot \bar{A C_{1}} \cdot \bar{A D_{1}}}{\bar{A B_{2}} \cdot \bar{A C_{2}} \cdot \bar{A D_{2}}} . \end{matrix}

85. tétel: Legyen

t_{1}

és

t_{2}

egy tetraéder két lapjának területe,

φ

ezen lapok síkjának a szöge,

p

ezen két lap közös élének a hossza,

q

a szemközti él hossza,

d

ezen élek távolsága és

ψ

ezen élek által bezárt szög. A tetraéder

V

térfogata:

\begin{matrix} V = \frac{2 \cdot t_{1} \cdot t_{2} \cdot sin φ}{3 p} = \frac{1}{6} p q d sin ψ . \end{matrix}

Ha az

A B C D

tetraéderben az

A B

B C

C D

D A

élek felezőpontjai rendre

E

F

G

H

, az

E F G H

paralelogramma területe

t

, az

A C

és

B D

élek távolsága

d

, akkor

V = \frac{2}{3} t \cdot d

86. tétel: Egy gúla

V

térfogata

V = \frac{1}{3} h \cdot t_{0}

, ahol

t_{0}

az alaplap területe,

h

a magassága. Ha létezik olyan ,,hozzáírt'' gömb, amely kívülről érinti az alaplapot és az oldallapok síkját, akkor a gúla térfogata

V = \frac{1}{3} r_{0} (P - t_{0})

, ahol

r_{0}

a gömb sugara,

P

pedig a gúla palástjának a felszíne, tehát az oldallapok területének az összege.

87. tétel:

r

sugarú gömb köré írt poliéder térfogata

V = \frac{1}{3} r \cdot S

, ahol

S

a poliéder felszíne.

88. tétel: Ha az

α

és

β

síkok által bezárt szög

φ

, és az

α

síkon van egy

S

területű síkidom, akkor ennek merőleges vetülete a

β

síkra

S \cdot cos φ

területű.

89. tétel: Legyen

a

egy nem nullvektor a térben,

O

pedig tetszőleges pont. Így tetszőleges

k \in R

esetén a tér azon

X

pontjainak mértani helye, amelyekre

a \cdot \vec{O X} = k

, egy sík.

90. tétel: Az

A B C D

tetraéder szemközti élfelező pontjait összekötő három szakasz egymást felezve metszi egy

M

pontban, amelyre tetszőleges

P

pont esetén

\begin{matrix} \vec{P M} = \frac{1}{4} (\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D}) \end{matrix}

(

M

a tetraéder súlypontja).

91. tétel (Euler-féle formula): Legyen egy konvex poliéder csúcsainak száma

c

, éleinek száma

e

, lapjainak száma

l

. Ekkor

l - e + c = 2

*

30. definíció: Egy gráfot megadunk, ha először is egy

V = {a_{1}; a_{2}; ...; a_{n}}

halmazt megadunk, amelynek elemeit a gráf csúcsainak nevezzük, másodszor pedig a

V

halmaz elemei közül tetszőleges módon párokat választunk, amelyeket a gráf éleinek nevezünk. Egy gráf irányított, ha az éleit a csúcsok rendezett párjai alkotják.

Nem irányított gráfra példa egy olyan gráf, amelynek csúcsait emberek egy csoportjának a tagjai alkotják, éleit pedig azok a párok, amelyek tagjai ismerik egymást. Itt természetes föltevés, hogy az ismeretségek kölcsönösek, vagyis ha

a

ismeri

b

-t, akkor

b

is ismeri

a

-t.
Ha gráfokkal dolgozunk, kényelmes a geometriai modellt használni: a gráf minden csúcsához egy pontot rendelünk a síkban vagy a térben, az éleihez pedig egy szakaszt vagy görbét, amely a megfelelő pontokat köti össze (irányított gráf esetén ezeken a vonalakon az irányt is megjelöljük).

31. definíció:

k \geq 2

hosszúságú körnek a

v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}

csúcsú gráfban a

\begin{matrix} (v_{i_{1}}; v_{i_{2}}), (v_{i_{2}}; v_{i_{3}}), ..., (v_{i_{k - 1}}; v_{i_{k}}), (v_{i_{k}}; v_{i_{1}}) \end{matrix}

alakú különböző élekből álló sorozatot nevezzük.

92. tétel: Egy

n

csúcsú,

n

élű gráfban létezik kör.

*

93. tétel:

n

különböző elemből álló sorozat permutációinak száma

n!

94. tétel: Egy

n

elemű halmaz

m

elemű részhalmazainak száma

(\binom{n}{m})

(0 \leq m \leq n)

A 17.a. és a 94. tételekből következik:

95. tétel: Egy

n

elemű halmaz összes részhalmazainak száma

2^{n}

*

32. definíció: Végezzünk el egy kísérletet, amelynek során véletlenszerűen kiválasztunk az

A = {a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}}

halmazból egy elemet. Tekintsük azt az eseményt, hogy a kiválasztott elem a

B \subset A

pontosan

m

elemű részhalmaznak is eleme. Ennek az eseménynek a valószínűsége

P (B) = \frac{m}{n}

A pénzfeldobás eredménye például egy elem kiválasztása az

A = {fej, írás}

halmazból, amelyben így a ,,fej'' valószínűsége

\frac{1}{2}

. Más példa lehet egy golyó kihúzása egy urnából, ponthármas kiválasztása adott pontok által meghatározott ponthármasok halmazából, egy halmaz elemeinek permutációja (pontosabban egy permutáció kiválasztása a permutációk halmazából) stb.

96. tétel: Tetszőleges

B

esemény valószínűségére

0 \leq P (B) \leq 1

. Annak a valószínűsége, hogy

B

nem teljesül,

1 - P (B)

. Ha

B

és

C

esemény nem történhet meg egyszerre, akkor annak a valószínűsége, hogy egyikük bekövetkezik,

P (B) + P (C)

. A

B

és

C

események függetlenek, ha

P (B) \cdot P (C)

annak a valószínűsége, hogy mindkettő bekövetkezik.

A 32. definícióban leírt kísérlethez egy

X : A \to R

függvényt rendelhetünk, amelynek értéke attól függ, hogy az

A

halmaz mely elemét választottuk ki a kísérlet során. Az ilyen függvényt valószínűségi változónak, az

X (a_{i})

(

i = 1,2, ..., n

) értékek számtani közepét a változó várható értékének nevezzük. Ha például egy érmét

k

-szor feldobunk, akkor a ,,fej'' dobások száma ilyen függvény, amely a

0,1, ..., k

értékek valamelyikét veszi fel a dobások eredményétől függően.

33. definíció: Tegyük fel, hogy az

X

valószínűségi változó egy véges

x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n}

számhalmaz elemeit veszi fel, rendre

p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}

valószínűségekkel. Az

X

várható értékének az

\begin{matrix} M (X) = \sum_{k = 1}^{n} p_{k} x_{k} \end{matrix}

számot nevezzük.

34. definíció: Tegyük fel, hogy

X

x_{1}, x_{2}, ...

végtelen halmaz elemeit veheti fel

p_{1}, p_{2}, ...

valószínűségekkel.

X

várható értéke

\begin{matrix} M (X) = {lim}_{n \to \infty}^{} \sum_{k = 1}^{n} p_{k} x_{k}, \end{matrix}

ha ez a határérték létezik.

97. tétel: Valószínűségi változók összegének várható értéke egyenlő a tagok várható értékének az összegével:

\begin{matrix} M (\sum_{i = 1}^{m} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{m} M (X_{i}) . \end{matrix}

Megvizsgálható, hogy az

X

valószínűségi változó milyen értéket vesz fel és milyen valószínűséggel, ha tudjuk, hogy egy adott

B

esemény bekövetkezett. Ezzel egy új valószínűségi változót kapunk, amelyet

X_{B}

-vel jelölünk.

98. tétel: Tegyük fel, hogy

B

és

C

események nem következhetnek be egyszerre, de a kettő közül valamelyik mindenképpen bekövetkezik. Így tetszőleges

X

valószínűségi változóra

\begin{matrix} M (X) = P (B) \cdot M (X_{B}) + P (C) \cdot M (X_{C}) . \end{matrix}