Cím: Kislexikon
Füzet: 2004/áprilisi melléklet, 17 - 33. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb írások

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feladatmegoldásnál, vagy matematikai irodalom olvasásakor hasznos lehet egy könnyen használható, kéznél lévő matematikai fogalom- és tételgyűjtemény. Egy ilyen kislexikon összeállítására teszünk most kísérletet. Javasoljuk, hogy az Olvasó igényei, ízlése és tudása alapján egészítse ki, és így személyre szabott gyűjtemény birtokába juthat.
A kislexikonnal kapcsolatos minden kiegészítést, javítást szívesen látunk.

 
*
 


1. definíció: Az A és B halmaz Descartes-féle szorzatának (A×B) nevezzük azt a halmazt, amely az összes olyan (x;y) párból áll, amelyre xA; yB. Hasonlóan definiálható több halmaz Descartes-szorzata is.
 


1. tétel (skatulya-elv vagy Dirichlet-elv): Ha egy n elemű halmaz k részhalmaz egyesítéseként áll elő, akkor egyiküknek legalább nk eleme van. Ezt a tételt leggyakrabban abban az esetben használjuk, amikor k<n és a részhalmazok páronként diszjunktak (nincs közös részük).
 


2. tétel (a teljes indukció elve): Az U(n) állításokra (n=1,2,...) teljesülnek a következők:
az U(1) állítás igaz
minden nN esetén abból, hogy U(1),...,U(n) igaz, következik, hogy U(n+1) is igaz.
Ekkor az U(n) állítás igaz minden nN esetén.
 

A továbbiakban f:AB olyan f függvényt jelöl, amelynek értelmezési tartománya az A halmaz, értékkészlete pedig a B halmaz.
 

2. definíció: Adott egy f:AB függvény. A g:BA függvényt az f függvény inverzének nevezzük (jelölése: g=f-1), ha teljesülnek az alábbiak: g(f(x))x; f(g(y))y; xA; yB.
 


3. tétel: Az f:AB függvénynek pontosan akkor létezik inverz függvénye, ha minden yB-hez található olyan xA, amire f(x)=y, továbbá az A bármely két különböző x1 és x2 elemére f(x1) és f(x2) is különbözők.
 


3. definíció: Az f:AB és a g:BC függvények kompozíciójának (összetett függvény) nevezzük azt a h:AC függvényt, amelyre h(x)=g(f(x)); xA.
 

Hasonló módon definiálható az
f1:A1A2;f2:A2A3;...;fn:AnAn+1
függvények kompozíciója is. Az f:AA függvény n-szeres kompozíciójaként adódó függvényt f(n)-nel jelöljük. Így az f:RR függvény esetén az
f(n)(x)=f(f(f(...f(x)))...)
összetett függvény, vagy az f-1(x) inverz függvény nem tévesztendő össze azzal a függvénnyel, amelynek értéke minden x esetén (f(x))n, illetve (f(x))-1.
 
*
 


4. definíció: Az f:AR függvényt
felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan MR, hogy xA esetén f(x)M.
alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan mR, hogy xA esetén f(x)m.
Ha az f:AR függvény alulról és felülről is korlátos, akkor korlátos függvénynek nevezzük.
 


5. definíció: Legyen AR (általában egy intervallum) és f:AR egy függvény. Ha bármely A-beli x1<x2 számpárra teljesül, hogy
f(x1)<f(x2), akkor f szigorúan monoton növekvő az A halmazon;
f(x1)>f(x2), akkor f szigorúan monoton csökkenő az A halmazon;
f(x1)f(x2), akkor f monoton növekvő (nemcsökkenő) az A halmazon;
f(x1)f(x2), akkor f monoton csökkenő (nemnövekvő) az A halmazon.
 

Az f:AR függvények, ahol AR, speciális esetekben számsorozatokat alkothatnak. Ilyen például az a:NR, vagy a:Z+R hozzárendelés, amelyek értékeit an-nel jelöljük. A 4. és 5. definíció alapján így beszélhetünk korlátos; alulról, felülről korlátos; növekvő, csökkenő, nemnövekvő, nemcsökkenő; monoton és szigorúan monoton sorozatokról.
 
*
 


4. tétel: Minden a,bR és nN esetén teljesülnek az alábbi egyenlőségek:
an+1-bn+1=(a-b)(an+an-1b+...+abn-1+bn)a2n+1+b2n+1=(a+b)(a2n-a2n-1b+...-ab2n-1+b2n)a2n-b2n=(a+b)(a2n-1-a2n-2b+...+ab2n-2-b2n-1)a±b=a+a2-b2±a-a2-b2;haab;b0.
 

 
*
 


5. tétel (Bernoulli-féle egyenlőtlenség): Minden a,bR esetén, ha a>-1; a0; b0; b1; teljesül, hogy
(1+a)b<1+ab,ha0<b<1(1+a)b>1+ab,hab[0;1].
 


6. definíció: Az a1,a2,...,anR számok számtani (aritmetikai) közepének az
An=a1+a2+...+ann
számot nevezzük.
Az a1,a2,...,an nemnegatív valós számok mértani (geometriai) közepe:
Gn=a1a2...ann.
Az a1,a2,...,an pozitív számok harmonikus közepe:
Hn=n1a1+1a2+...+1an.
Az a1,a2,...,an valós számok négyzetes (kvadratikus) közepe:
Qn=a12+...+an2n.
 


6. tétel (a közepek közti egyenlőtlenségek): Pozitív a1,a2,...,an számok esetén HnGnAnQn. Ha az n szám között vannak különbözők, akkor mindenütt határozott egyenlőtlenség áll. Ha az n szám között előfordul a nulla is, akkor Hn nem értelmes, a GnAnQn egyenlőtlenség viszont továbbra is fennáll.
 


Kiegészítés: Definiálható a k-adik hatványközép is, ahol k tetszőleges 0-tól különböző valós szám:
An(k)=a1k+...+anknk.
Látható, hogy An(1)=An; An(2)=Qn; An(-1)=Hn. Belátható, hogy limk0An(k)=Gn. Az is teljesül, hogy k1<k2 esetén An(k1)An(k2), továbbá limkAn(k)=max(ai) és limk-An(k)=min(ai). Ily módon min(ai)An(k)max(ai).
Beszélhetünk súlyozott hatványközepekről is:
An(k)'=p1a1k+...+pnankp1+...+pnk,
ahol pi>0. Legyen G'n=a1p1a2p2...anpn(p1+...+pn). Ekkor G'nAn(k)'.
 


7. tétel: Az (1+1n)n sorozat (nN) monoton növekvő, és létezik egy legkisebb e-vel jelölt korlát, amelyre fennáll, hogy (1+1n)n<e minden nN esetén.
 

Az ,e' alapú logaritmust természetes alapúnak nevezzük és ln-nel jelöljük: lnx=logex.
 

7. definíció: Az előjelfüggvényt a következőképpen definiáljuk (,,szignum'' függvény):
sign(x)=sgn(x)={-1,ha  x>0,-0,ha  x=0,-1,ha  x<0.
 


8. definíció: Az x szám egész részének a legnagyobb olyan egész számot nevezzük, amely x-nél nem nagyobb, és ezt [x]-szel jelöljük (ily módon x-1<[x]x). Az x törtrészére pedig: {x}=x-[x] (tehát 0{x}<1).
 


8. tétel: Az egészrészfüggvény nemcsökkenő függvény, a törtrész pedig periodikus függvény, amelynek 1 a periódusa.
 

 
*
 


9. definíció: Legyen adva a és b, két egész szám, ahol b0. A qZ és az r{0;1;...;|b|-1} számokat az a:b maradékos osztás hányadosának, illetve maradékának nevezzük, ha teljesül, hogy a=qb+r. Ha r=0, akkor azt mondjuk, hogy b osztja az a-t, vagy másképpen, az a szám a b többszöröse, illetve az a-nak b az osztója (jelölés: ba).
 


10. definíció: Az a1,a2,...,an nem 0 egész számok legkisebb közös többszörösének azt a legkisebb pozitív egész számot nevezzük, amely a számok mindegyikének többszöröse (jelölése [a1;a2;...;an]).
 


11. definíció: Az a1,...,an egészek legnagyobb közös osztója (a számok nem mind 0-k) az a legnagyobb természetes szám, amely a számok mindegyikének osztója (jelölése: (a1;a2;...;an)).
 


9. tétel: Minden a, b természetes szám esetén (a;b)[a;b]=ab.
 


12. definíció: Az a és b egészeket relatív prímeknek nevezzük, ha (a;b)=1.
 


Kiegészítés: Számok legnagyobb közös osztójára teljesül, hogy többszöröse minden közös osztónak. Hasonló tulajdonsággal rendelkezik a számok legkisebb közös többszöröse: osztója valamennyi közös többszörösnek. Két pozitív egész legnagyobb közös osztóját az ún. euklideszi algoritmus segítségével (is) megkaphatjuk:
a=bq1+r1;0<r1<b,b=r1q2+r2;0<r2<r1,r1=r2q3+r3;0<r3<r2,rn-2=rn-1qn+rn;0<rn<rn-1,rn-1=rnqn+1;(rn+1=0).
Ekkor rn a legnagyobb közös osztó.
 

A számok prímtényezős felbontásából is megkapható a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös. Legyen a=p1α1p2α2...pnαn; b=p1β1p2β2...pnβn, ahol 0αi; 0βi. Ekkor
(a;b)=p1min(α1;β1)...pnmin(αn;βn)és[a;b]=p1max(α1;β1)...pnmax(αn;βn).
Ez az alak több számra is kiterjeszthető.
 

13. definíció: Legyenek adottak az a, b, m egészek, m>1. Az a számot kongruensnek mondjuk b-vel az m modulusra nézve (ab(modm); olvasva: a kongruens b moduló m), ha m(a-b). Ellenkező esetben az a nem kongruens b-vel (ab(modm)).
 


10. tétel: Adottak az a, b, c, d, m, k egészek, ahol k>0; m>1. Ekkor fennállnak:
a)ha ab(modm) és bc(modm), akkor ac(modm).
b)ha ab(modm) és cd(modm), akkor a+cb+d(modm) és acbd(modm).
c)ha ab(modm), akkor minden természetes n-re anbn(modm).
d)ha ab(modm), akkor akbk(modmk).
e)ha ab(modm) és ka; kb; km; akkor akbk(mod(mk)).
 


11. tétel: Minden a, b egész és n természetes számra fennáll:
a)a-ban-bn.
b)a+ba2n-1+b2n-1.
c)a+ba2n-b2n.
 

Ezek az oszthatóságok a 4., illetve a 10.c. tételekből is következnek.
Legyen az m tetszőleges, 2-nél nagyobb egész. Az egész számok m-mel osztva maradékul a 0,1,...,m-1 számok közül pontosan az egyiket adhatják. Egy adott egész szám hatványai nem feltétlenül adják ki ezen maradékok mindegyikét.
 

12. tétel: Az m modulusra nézve (3m10) az egész számok n. hatványai (2n5) pontosan az alábbi táblázatban közölt maradékokat adhatják:
 
mn 2 3 4 530; 10; 1; 20; 10; 1; 240; 10;1; 30; 10; 1; 350; 1; 40; 1; 2; 3; 40; 10‐460; 1; 3; 40; 1; 2; 3; 4; 50; 1; 3; 40‐570; 1; 2; 40; 1; 60; 1; 2; 40‐680; 1; 40; 1; 3; 5; 70; 10; 1; 3; 5; 790; 1; 4; 70; 1; 80; 1; 4; 70; 1; 2; 4; 5; 7; 8100; 1; 4; 5; 6; 90‐90; 1; 5; 60‐9
 

A pozitív egészeket általában a tízes számrendszerben írjuk fel. Ezen felírásnak létezik a következő általánosítása.
 

14. definíció: Az nN szám g alapú számrendszerbeli alakja (gN; g>1) a1...am¯g, ha fennáll: n=a1gm-1+a2gm-2+...+am-1g+am; ahol az ai számok g-nél kisebb nemnegatív egészek és a10.
 


13. tétel: Minden 1-nél nagyobb természetes g esetén minden n-re egyértelműen létezik ez a felírás.
 


14. tétel: Minden pozitív egész szám kongruens a tízes számrendszerbeli felírásában szereplő számjegyeinek összegével mod 9 (ez (g-1)-re is igaz, g alapú felírással).
 


15. definíció: Legyen m,nZ; nm0. Az (nk) binomiális együttható az n!k!(n-k)! számot jelöli, ahol
n!={12...n,ha  nN,1,ha  n=0.
 


15. tétel: Minden pozitív m, n egész esetén teljesülnek az alábbiak:
a)(n0)=(nn)=1;
b)(nk)=(nn-k), ha nk0;
c)(nk)=(n-1k-1)+(n-1k), ha n>k>0.
 


16. tétel (binomiális tétel): Minden a,bR és nN esetén
(a+b)n=(n0)an+(n1)an-1b+...+(nk)an-kbk+...+(nn)bn.
 

Ebből következnek az alábbiak:
 

17. tétel:
a)(n0)+(n1)+...+(nn)=2n; a=b=1 helyettesítéssel;
b)(n0)-(n1)+(n2)+...+(-1)n(nn)=0; a=1, b=-1 helyettesítéssel.
 


16. definíció: Azon 1-nél nagyobb természetes számokat, amelyeknek az 1-en és önmagukon kívül nincs más pozitív egész osztója, prímszámoknak (törzsszámoknak) nevezzük. A többi 1-nél nagyobb egészt összetett számnak hívjuk. Az 1 nem prím és nem is összetett.
 


Kiegészítés: Bizonyítható, hogy egy p>1 egész pontosan akkor prím, ha minden a, b egészre abból, hogy pab, következik, hogy pa vagy pb.
 


18. tétel (a számelmélet alaptétele): Minden összetett szám felírható néhány, nem feltétlenül különböző prímszám szorzataként, ahol ez a felírás a sorrendtől eltekintve egyértelmű (egytényezős szorzatokat is elfogadva, ez a prímekre is igaz).
 


19. tétel: Végtelen sok prímszám van.
 


20. tétel (Legendre-féle formula): Az n! prímtényezős felbontásában a p prímszám kitevőjének értéke:
[np]+[np2]+...+[npk]+...
(nagy k esetén [npk]=0).
 

A következő három tétel a relatív prím számpárok tulajdonságairól szól.
 

21. tétel: Legyenek a, b, c egészek és c0. Ekkor, ha cab és (b;c)=1, akkor ca.
 


22. tétel: Legyenek a, b, c, m természetes számok. Ekkor ha ab=cm és (a;b)=1, akkor a=a1m és b=b1m alakú, ahol a1,b1N és a1b1=c; (a1;b1)=1.
 


23. tétel (kínai maradéktétel): Legyenek adottak az m1,m2,...,mk 0-tól különböző, páronként relatív prím egész számok. Ekkor minden a1,a2,...,ak egészekből álló k-ashoz létezik olyan x egész szám, amely i=1,2,...,k esetén kielégíti az xai(modmi) kongruencia-rendszert. A kongruenciarendszer megoldásai éppen az x+nm1m2...mk alakú számok, ahol n egész.
 


24. tétel: Ha a és b egészek, amelyek nem mindegyike 0, akkor léteznek olyan p, q egészek, amelyekre (a;b)=ap+bq.
 


25. tétel (a kis Fermat-tétel): Ha a p prímszám nem osztója az a számnak, akkor pap-1-1.
 

A tételt így is fogalmazhatjuk:
 

26. tétel: Legyen p prímszám. Ekkor minden a egész szám esetén apa(modp).
 


Kiegészítés: Jelölje φ(n) az n-nél kisebb, n-hez relatív prím számok számát. Ha n prímtényezős felbontása p1α1p2α2...pkαk alakú, akkor
φ(n)=n(1-1p1)(1-1p2)...(1-1pk).
Legyen (a;n)=1. Ekkor aφ(n)1(modn). (Euler-tétel)
 

 
*
 


27. tétel (Bolzano tétele): Ha az f:[a;b]R függvény folytonos az [a;b] intervallumban, akkor f minden f(a) és f(b) közötti értéket felvesz.
 

Ennek speciális esete a következő tétel:
 

28. tétel: Ha az f:[a;b]R függvény folytonos [a;b]-ben és a végpontjaiban felvett függvényértékek előjele különböző, akkor van olyan c(a;b), amire f(c)=0 teljesül.
 


29. tétel (Weierstrass tétele): Ha egy [a;b]-n értelmezett f valósértékű függvény folytonos [a;b]-n, akkor c,d[a;b], hogy x[a;b]-re f(c)f(x)f(d).
 


30. tétel: Zárt intervallumon folytonos függvény korlátos.
 


31. tétel: Legyen f:IR differenciálható az I intervallumon. Az f függvény akkor és csak akkor nemcsökkenő (megfelelően: nemnövekvő), ha xI-re f'(x)0 (megfelelően: f'(x)0). Ha xI-re f'(x)>0 (megfelelően: f'(x)<0), akkor az f függvény növekvő (megfelelően: csökkenő).
 


17. definíció: Az f:IR függvényt konvexnek nevezzük I-n, ha tetszőleges x,yI és α[0;1] valós számokra f(αx+(1-α)y)αf(x)+(1-α)f(y). Az f:IR konkáv, ha g(x)=-f(x) konvex.
 


32. tétel: Legyen f:IR kétszer differenciálható az I-n. Az f függvény akkor és csak akkor konvex (megfelelően: konkáv) az I intervallumon, ha xI-re f''(x)0 (megfelelően: f''(x)0).
 


33. tétel (Lagrange tétele): Legyen f:[a;b]R az [a;b]-n folytonos és a belsejében differenciálható függvény. Ekkor c(a;b), amelyre f'(c)=f(b)-f(a)b-a.
 


34. tétel (Rolle tétele): Legyen f:[a;b]R az [a;b]-n folytonos és a belsejében differenciálható függvény, amelyre f(a)=f(b). Ekkor c(a;b), amelyre f'(c)=0.
 

 
*
 


18. definíció: Komplex számok C halmazának nevezzük a valós számokból álló rendezett párok halmazát, amelyen az összeadás és szorzás műveletét a következő alakban adjuk meg:
(a;b)+(c;d)=(a+c;b+d)(a;b)(c;d)=(ac-bd;ad+bc).
A komplex számokat rendszerint z=a+bi alakban írjuk, ahol a és b valós számok, és i2=-1. Az a számot a z komplex szám valós, a b-t pedig a z képzetes részének nevezzük.
 


19. definíció: A z=a+bi komplex szám abszolút értéke |z|=a2+b2.
 


35. tétel: Tetszőleges z,wC-re
|zw|=|z||w|.
 


36. tétel (háromszög-egyenlőtlenség): Tetszőleges z,wC-re
|z+w||z|+|w|.
 


20. definíció: A nem nulla z=a+bi komplex szám argumentuma az a φ szög, amely teljesíti a következőket: cosφ=ar, sinφ=br, ahol r=|z|, -π<φπ (jelölése φ=argz).
 


37. tétel (a komplex szám trigonometrikus alakja): Tetszőleges nem nulla z=a+bi komplex szám felírható z=r(cosφ+isinφ) alakban, ahol r=|z|, φ=argz.
 


21. definíció: A z¯=a-bi komplex számot a z=a+bi komplex szám konjugáltjának nevezzük.
 

A komplex számokat ábrázolhatjuk a sík pontjaiként is, az abszcissza a komplex szám valós, az ordináta a képzetes része. A koordinátasíkon a komplex szám tükörképe a valós tengelyre a komplex szám konjugáltja.
 

38. tétel: Tetszőleges z,wC-re: |z¯|=|z|, zz¯=|z|2, z+w¯=z¯+w¯, z¯w¯=zw¯, ha z0, akkor argz=-argz¯.
 


39. tétel: Ha z=a+bi és w=c+di, z,wC, akkor
zw=a+bic+di=zw¯|w|2=ac+bdc2+d2+cb-adc2+d2i.
 


40. tétel: A trigonometrikus alakban megadott komplex számokra
(r1(cosφ1+isinφ1))(r2(cosφ2+isinφ2))==r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)),r1(cosφ1+isinφ2)r2(cosφ2+isinφ2)=r1r2(cos(φ1-φ2)+isin(φ1-φ2)).
 


41. tétel (de Moivre tétele): [r(cosφ+isinφ)]n=rn(cosnφ+isinnφ).
 


42. tétel: Nem nulla zC és nN-re a zn=1 egyenletnek n különböző megoldása van a komplex számok halmazán:
xk=cos2πkn+isin2πkn,k{0,1,...,n-1}.
Ezek az úgynevezett n-edik egységgyökök.
 

 
*
 


22. definíció: Polinomnak nevezzük az olyan valós vagy komplex argumentumú függvényt, amely felírható a következő alakban:
P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0,
ahol nN+, a0,a1,...,anC. Ha n1, akkor an0. Ekkor az n számot a P(x) polinom fokszámának nevezzük és degP-vel jelöljük.
 


Kiegészítés: Ha n=0, azaz P(x)=a0, ahol a00, akkor degP=0. Ha P(x)=0 minden x-re, akkor P(x)-et zéruspolinomnak nevezzük, és a fokszámát --nek értelmezzük. Ha P(x) nem zéruspolinom, akkor a legmagasabb fokú tag együtthatóját a P(x) főegyütthatójának nevezzük.
 


43. tétel: Legyen P(x)=anxn+...+a0 és Q(x)=bmxm+...+b0 két polinom. P(x)=Q(x) akkor és csak akkor teljesül minden x-re, ha n=m és ai=bi i{0,1,...,n}-re.
 


44. tétel: Legyenek P(x), Q(x) tetszőleges polinomok,
a)ha T(x)=P(x)+Q(x), akkor degT<max(degP;degQ) és ha degPdegQ, akkor degT=max(degP;degQ),
b)ha W(x)=P(x)Q(x) és ha P(x)0 és Q(x)0, akkor W(x)0 és degW=degP+degQ.
 


45. tétel: Legyen adva két tetszőleges polinom, P(x) és Q(x) úgy, hogy degQ>0. Ekkor léteznek olyan S(x) és R(x) polinomok, amelyekre
P(x)=S(x)Q(x)+R(x)ésdegR<degQ.
 


46. tétel: Ha az előző tételben P és Q valós együtthatósak, akkor R és S is azok. Ha P és Q racionális együtthatósak, akkor R és S is azok. Ha P és Q egész együtthatós volt, továbbá Q főegyütthatója +1 vagy -1, akkor S és R is egész együtthatós polinomok.
 


47. tétel (Bezout tétele): P(x) és x-x0 osztási maradéka P(x0).
 


48. tétel: x-x0 akkor és csak akkor osztja P(x)-et, ha x0 gyöke a P(x) polinomnak, azaz P(x0)=0.
 


49. tétel (algebra alaptétele): Tetszőleges n-edfokú polinomnak n komplex gyöke van, multiplicitással számolva.
 


50. tétel: Ha két legfeljebb n-edfokú polinom n+1 különböző helyen ugyanazt az értéket veszi fel, akkor a két polinom egyenlő.
 


51. tétel: Tetszőleges P(x) felírható P(x)=an(x-x1)...(x-xn) alakban, ahol an a főegyüttható és x1,x2,...,xn a polinom (komplex) gyökei.
 


52. tétel: Q(x) akkor és csak akkor osztja P(x)-et, ha Q(x) minden gyöke P(x)-nek is gyöke és nem kisebb multiplicitással.
 


53. tétel (Viéte tétele)] Legyenek x1,x2,...,xn gyökei a
P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a0
polinomnak. Ekkor teljesülnek a következő egyenlőségek:
{x1+x2+...+xn=-an-1an,x1x2+x1x3+...+xn-1xn=an-2an,x1x2x3+x1x2x4+...+xn-2xn-1xn=-an-3an,x1x2...xn=(-1)na0an.
 


54. tétel: Ha az x1,...,xnC számok teljesítik a fenti egyenletrendszert, akkor gyökei a P(x)=anxn+...+a1x+a0 polinomnak.
 


55. tétel: Ha P(x) valós együtthatós polinom és a nem nulla képzetes résszel rendelkező z komplex szám ennek gyöke, akkor z¯ is gyöke P(x)-nek a megfelelő multiplicitással. P(x) tehát osztható (x-z)k(x-z¯)k=(x2-2xRex+|z|2)k-nal, ahol Rez a z valós része.
 


56. tétel: Tetszőleges valós együtthatós n-edfokú P(x) polinom a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen áll elő
P(x)=an(x-x1)k1...(x-xm)kn(x2+2b1x+c1)r1...(x2+2blx+cl)rl
alakban, ahol an a P(x) főegyütthatója, m,l0, x1,...,xmR a P(x) valós gyökei a megfelelő multiplicitással, b1,...,bl,c1,...,clR és az
x2+2b1x+c1,...,x2+2blx+cl
polinomoknak nincs valós gyöke (b12<c1,...,bl2<cl).
 


57. tétel: Ha (p;q)=1 és pq gyöke az anxn+...+a0 egész együtthatós polinomnak, akkor pa0, qan.
 


58. tétel: Az egész együtthatós P(x)=xn+...+a1x+a0 polinom minden valós gyöke vagy egész, vagy irracionális.
 


59. tétel: Ha a,nN, akkor an vagy egész, vagy irracionális.
 


60. tétel (Lagrange interpolációs formulája): Legyenek adottak a különböző b0,...,bnC számok és a tetszőleges c0,c1,...,cnC számok. Ekkor egyetlen P(x) polinom létezik, amely n-nél nem nagyobb fokú és teljesül rá, hogy:
P(b0)=c0,P(b1)=c1,...,P(bn)=cn.
Ezt a polinomot megadhatjuk az alábbi alakban:
P(x)=i=0nci0jnjix-bjbi-bj.
 


61. tétel: Legyen adva a P(x)=anxn+...+a1x+a0 polinom, akkor P(0)=a0, P'(0)=a1, P''(0)=2a2, ..., Pn(0)=n!an. A polinom ekkor felírható a következő alakban:
P(x)=P(0)0!+P'(0)1!x+P''(0)2!x2+...+P(n)(0)n!xn.
 

 
*
 


62. tétel (háromszög egyenlőtlenség): Tetszőleges (síkbeli) A, B, C pontokra
ABAC+BC.
Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, amikor C az AB szakaszon van, illetve ha mindhárom pont egybeesik.
 


23. definíció: Egy (síkbeli) ponthalmaz átmérőjén a ponthalmaz két egymástól legtávolabbi pontjának a távolságát értjük. (Itt feltesszük, hogy ilyen pontpár létezik.)
 


24. definíció: Egy ponthalmaz konvex, ha tetszőleges két pontja által meghatározott szakasz benne van a ponthalmazban.
 

Ezentúl sokszög alatt tetszőleges (nem feltétlenül konvex) sokszöget értünk. Ha konvex sokszögekről van szó, akkor ezt jelezzük.
 

63. tétel: Tetszőleges n-szög (n3) szögeinek összege (n-2)180.
 


25. definíció: Legyenek A, B és C egy konvex sokszög szomszédos csúcsai, D és E egy-egy tetszőleges pont az AB és BC oldalak B felőli meghosszabbításán. Az így adódó ABE és CBD (1. ábra) szögeket a sokszög B-nél levő külső szögeinek nevezzük (az ABC szöget belső szögnek nevezzük).
 
 

1. ábra
 


64. tétel: Konvex sokszög külső szögeinek összege 360 (csúcsonként egy külső szöget számolva).
 


26. definíció: Egy M sokszöget feldaraboltunk M1,M2,...,Mn sokszögekre, ha M=M1M2...Mn, és MiMj=, ha ij.
 


65. tétel: Konvex ABCD négyszög köré akkor és csak akkor írható kör, ha
ABC+CDA=BAD+DCB=180.
 


66. tétel: Konvex ABCD négyszögbe akkor és csak akkor írható kör, ha AB+CD=BC+AD.
 


67. tétel (Ptolemaiosz-tétel): Ha az ABCD négyszög köré kör írható, akkor ABCD+BCAD=ACBD. Megfordítva, ha a konvex ABCD négyszögre teljesül, hogy ABCD+BCAD=ACBD, akkor ABCD húrnégyszög.
 

Legyen A és B egy körbe írt sokszög két szomszédos csúcsa. AB ívnek általában azt az A és B végpontú körívet nevezzük, amelyen a sokszögnek nincs további csúcsa.
 

68. tétel (középponti szögek tétele): Tetszőleges ABC esetén
ABC=AC2.
 


69. tétel: Legyen az A1A2B1B2, körbe írt négyszög átlóinak metszéspontja P (2. ábra). Igazak a következő egyenlőségek:
a)A1PB1P=A2PB2P (pont hatványa körre)
b)A1PA2=12(A1A2+B1B2).

 
 

2. ábra
 


70. tétel: Legyen az A1B1B2A2 négyszög körbe írható (3. ábra). Ekkor:
1)A1B1 és A2B2 egyenesek akkor és csak akkor párhuzamosak, ha A1A2=B1B2;
2)egyébként A1B1 és A2B2 egyenesek egy P pontban metszik egymást, amely az A1A2 egyeneshez képest csak akkor van ugyanabban a félsíkban, mint B1B2, ha A1A2>B1B2 (3. ábra). Ebben az esetben
a)A1PB1P=A2PB2P (pont hatványa körre);
b)A1PA2=12(A1A2-B1B2).

 
 

3. ábra
 

Egy P pontból egy körhöz húzott érintőszakasz hosszán a P pont távolságát értjük az érintési ponttól. A 70. tételben az érintőt a szelő határhelyzetének tekintve, megkaphatjuk a következő állítást:
 

71. tétel: Legyen az ABC köré írt kör C-beli érintője e. Ekkor:
1)e és AB egyenesek akkor és csak akkor párhuzamosak, ha AC=BC;
2)egyébként e és AB egyenesek egy P pontban metszik egymást, amely az AC egyeneshez képest akkor és csak akkor van a B ponttal azonos félsíkban, ha AC>BC (4. ábra). Ebben az esetben igazak a következő állítások:
a)APBP=CP2 (pont hatványa körre);
b)APC=12(AC-AC).

 
 

4. ábra
 

A 68., 69.b., 70.2.b., 71.2.b. tételekből következik az alábbi állítás:
 

72. tétel: Legyen adott egy AB szakasz és legyen M egy olyan félsík, amelyet az AB egyenes határol. Ha 0<φ<180, akkor azon P pontok mértani helye az M félsíkban, amelyekre APB=φ, egy A és B végpontú körív. Ha egy QM pont a köríven belül helyezkedik el, akkor AQB>φ, ha kívül, akkor AQB<φ.
 


73. tétel: Legyen egy ABC háromszögben a, b, c az oldalak hossza, α, β, γ a velük szemközti szögek nagysága, s a félkerület, r a beírható kör sugara, R a köré írható kör sugara, ha az a-hoz tartozó magasság, ra az a oldalt érintő hozzáírt kör sugara. Ekkor a háromszög T területe:
a)T=aha2
b)T=12bcsinα
c)T=s(s-a)(s-b)(s-c)
(Héron-képlet)
d)T=abc4R
e)T=sr
f)T=12ra(b+c-a)
g)T=12R2(sin2α+sin2β+sin2γ)

Az e) képlet érvényes bármely r sugarú kör köré írt s félkerületű sokszögre.
 


74. tétel: Ha egy derékszögű háromszög befogói a és b, az átfogója c, a beírt kör sugara r, a köré írt kör sugara R, akkor r=12(a+b-c); R=c2.
 


75. tétel: Ha az ABC belső szögfelezője AL, ahol L a BC oldal pontja, akkor
BLCL=ABAC.
 


76. tétel (paralelogramma egyenlőség): Tetszőleges ABCD paralelogrammára igaz:
AB2+BC2+CD2+AD2=AC2+BD2.
 


Kiegészítés: A tétel megfordítása is igaz.
 


77. tétel: Tetszőleges P pontra és tetszőleges ABCD téglalapra
PA2+PC2=PB2+PD2.
 

 
*
 


78. tétel: Ha A1B1 egy AB szakasz merőleges vetülete egy egyenesre, amely az AB egyenest φ90 szögben metszi, akkor A1B1=cosφAB.
 


79. tétel: Legyen a nem nullvektor a síkon, O pedig ennek a síknak egy pontja. Tetszőleges kR esetén azon X pontok mértani helye, amelyekre az aOX=k egyenlet teljesül, egy egyenes.
 


80. tétel: Tetszőleges A1,A2,...,An ponthalmazra és tetszőleges k1,k2,...,knR számokra, amelyek összege nem nulla, egyetlen olyan O pont létezik, amelyre
i=1nkiOAi=0.
Ez esetben a tér tetszőleges P pontjára teljesül, hogy
(i=1nki)PO=i=1nkiPAi.
 

Ezen a tételen múlik a következő három definíció:
 

27. definíció: Egy A1,A2,...,An pontrendszer súlypontjának azt az O pontot nevezzük, amelyre
i=1nOAi=0.
 


28. definíció: Az A1B1,A2B2,...,AnBn szakaszrendszer súlypontjának azt az O pontot nevezzük, amelyre
i=1nliOMi=0,
ahol li (i=1,2,...,n) az i-edik szakasz hossza, Mi pedig az i-edik szakasz középpontja.
 


29. definíció: Az A1B1C1,A2B2C2,...,AnBnCn háromszög-rendszer súlypontjának azt az O pontot nevezzük, amelyre
i=1ntiOMi=0,
ahol ti az i-edik háromszög területe, Mi pedig a súlypontja.
 


81. tétel: Ha M az ABC súlypontja, akkor a tér tetszőleges P pontjára teljesül:
PM=PA+PB+PC3.
 

A háromoldalú szöglet lapszögeire teljesül a háromszög-egyenlőtlenség következő általánosítása:
 

82. tétel: Tetszőleges háromoldalú szöglet φ, ψ, χ lapszögeire φ<ψ+χ.
 


83. tétel: Tetszőleges konvex szöglet lapszögeinek összege kisebb 360-nál.
 


84. tétel: Menjen át az A ponton három, nem egysíkú egyenes. Legyen B1 és B2 két, A-tól különböző pont az egyik egyenesen, C1, C2 a másikon, és D1, D2 a harmadikon. Az így adódó AB1C1D1 tetraéder V1 és az AB2C2D2 tetraéder V2 térfogatának aránya:
V1V2=AB1¯AC1¯AD1¯AB2¯AC2¯AD2¯.
 


85. tétel: Legyen t1 és t2 egy tetraéder két lapjának területe, φ ezen lapok síkjának a szöge, p ezen két lap közös élének a hossza, q a szemközti él hossza, d ezen élek távolsága és ψ ezen élek által bezárt szög. A tetraéder V térfogata:
V=2t1t2sinφ3p=16pqdsinψ.
Ha az ABCD tetraéderben az AB, BC, CD, DA élek felezőpontjai rendre E, F, G, H, az EFGH paralelogramma területe t, az AC és BD élek távolsága d, akkor V=23td.
 


86. tétel: Egy gúla V térfogata V=13ht0, ahol t0 az alaplap területe, h a magassága. Ha létezik olyan ,,hozzáírt'' gömb, amely kívülről érinti az alaplapot és az oldallapok síkját, akkor a gúla térfogata V=13r0(P-t0), ahol r0 a gömb sugara, P pedig a gúla palástjának a felszíne, tehát az oldallapok területének az összege.
 


87. tétel: r sugarú gömb köré írt poliéder térfogata V=13rS, ahol S a poliéder felszíne.
 


88. tétel: Ha az α és β síkok által bezárt szög φ, és az α síkon van egy S területű síkidom, akkor ennek merőleges vetülete a β síkra Scosφ területű.
 


89. tétel: Legyen a egy nem nullvektor a térben, O pedig tetszőleges pont. Így tetszőleges kR esetén a tér azon X pontjainak mértani helye, amelyekre aOX=k, egy sík.
 


90. tétel: Az ABCD tetraéder szemközti élfelező pontjait összekötő három szakasz egymást felezve metszi egy M pontban, amelyre tetszőleges P pont esetén
PM=14(PA+PB+PC+PD)
(M a tetraéder súlypontja).
 


91. tétel (Euler-féle formula): Legyen egy konvex poliéder csúcsainak száma c, éleinek száma e, lapjainak száma l. Ekkor l-e+c=2.
 

 
*
 


30. definíció: Egy gráfot megadunk, ha először is egy V={a1;a2;...;an} halmazt megadunk, amelynek elemeit a gráf csúcsainak nevezzük, másodszor pedig a V halmaz elemei közül tetszőleges módon párokat választunk, amelyeket a gráf éleinek nevezünk. Egy gráf irányított, ha az éleit a csúcsok rendezett párjai alkotják.
 

Nem irányított gráfra példa egy olyan gráf, amelynek csúcsait emberek egy csoportjának a tagjai alkotják, éleit pedig azok a párok, amelyek tagjai ismerik egymást. Itt természetes föltevés, hogy az ismeretségek kölcsönösek, vagyis ha a ismeri b-t, akkor b is ismeri a-t.
Ha gráfokkal dolgozunk, kényelmes a geometriai modellt használni: a gráf minden csúcsához egy pontot rendelünk a síkban vagy a térben, az éleihez pedig egy szakaszt vagy görbét, amely a megfelelő pontokat köti össze (irányított gráf esetén ezeken a vonalakon az irányt is megjelöljük).
 

31. definíció: k2 hosszúságú körnek a v1,v2,...,vn csúcsú gráfban a
(vi1;vi2),(vi2;vi3),...,(vik-1;vik),(vik;vi1)
alakú különböző élekből álló sorozatot nevezzük.
 


92. tétel: Egy n csúcsú, n élű gráfban létezik kör.
 

 
*
 


93. tétel: n különböző elemből álló sorozat permutációinak száma n!.
 


94. tétel: Egy n elemű halmaz m elemű részhalmazainak száma (nm) (0mn).
 

A 17.a. és a 94. tételekből következik:
 

95. tétel: Egy n elemű halmaz összes részhalmazainak száma 2n.
 

 
*
 


32. definíció: Végezzünk el egy kísérletet, amelynek során véletlenszerűen kiválasztunk az A={a1,a2,...,an} halmazból egy elemet. Tekintsük azt az eseményt, hogy a kiválasztott elem a BA pontosan m elemű részhalmaznak is eleme. Ennek az eseménynek a valószínűsége P(B)=mn.
 

A pénzfeldobás eredménye például egy elem kiválasztása az A={fej,írás} halmazból, amelyben így a ,,fej'' valószínűsége 12. Más példa lehet egy golyó kihúzása egy urnából, ponthármas kiválasztása adott pontok által meghatározott ponthármasok halmazából, egy halmaz elemeinek permutációja (pontosabban egy permutáció kiválasztása a permutációk halmazából) stb.
 

96. tétel: Tetszőleges B esemény valószínűségére 0P(B)1. Annak a valószínűsége, hogy B nem teljesül, 1-P(B). Ha B és C esemény nem történhet meg egyszerre, akkor annak a valószínűsége, hogy egyikük bekövetkezik, P(B)+P(C). A B és C események függetlenek, ha P(B)P(C) annak a valószínűsége, hogy mindkettő bekövetkezik.
 

A 32. definícióban leírt kísérlethez egy X:AR függvényt rendelhetünk, amelynek értéke attól függ, hogy az A halmaz mely elemét választottuk ki a kísérlet során. Az ilyen függvényt valószínűségi változónak, az X(ai) (i=1,2,...,n) értékek számtani közepét a változó várható értékének nevezzük. Ha például egy érmét k-szor feldobunk, akkor a ,,fej'' dobások száma ilyen függvény, amely a 0,1,...,k értékek valamelyikét veszi fel a dobások eredményétől függően.

33. definíció: Tegyük fel, hogy az X valószínűségi változó egy véges x1,x2,x3,...,xn számhalmaz elemeit veszi fel, rendre p1,p2,...,pn valószínűségekkel. Az X várható értékének az
M(X)=k=1npkxk
számot nevezzük.
 


34. definíció: Tegyük fel, hogy X az x1,x2,... végtelen halmaz elemeit veheti fel p1,p2,... valószínűségekkel. X várható értéke
M(X)=limnk=1npkxk,
ha ez a határérték létezik.
 


97. tétel: Valószínűségi változók összegének várható értéke egyenlő a tagok várható értékének az összegével:
M(i=1mXi)=i=1mM(Xi).
 

Megvizsgálható, hogy az X valószínűségi változó milyen értéket vesz fel és milyen valószínűséggel, ha tudjuk, hogy egy adott B esemény bekövetkezett. Ezzel egy új valószínűségi változót kapunk, amelyet XB-vel jelölünk.
 

98. tétel: Tegyük fel, hogy B és C események nem következhetnek be egyszerre, de a kettő közül valamelyik mindenképpen bekövetkezik. Így tetszőleges X valószínűségi változóra
M(X)=P(B)M(XB)+P(C)M(XC).