Cím:	Felvételi előkészítő feladatsor
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	2004/április, 214. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ágoston György (Miskolc, Szeged), Kellner Károly, Holczer Tamás és a többi, a holokauszt idején elpusztított barátom emlékére   1. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cccccc}\hfill {\displaystyle a)}& \hfill {\displaystyle \text{sin}\left(3x-\frac{\pi }{3}\right)}& {\displaystyle =\text{sin}\left(2x+\frac{\pi }{6}\right);}\hfill & \hfill {\displaystyle b)}& \hfill {\displaystyle \text{sin}\left(3x-\frac{\pi }{3}\right)}& {\displaystyle =\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}-2x\right);}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c)}& \hfill {\displaystyle \text{cos}\left(3x-\frac{5\pi }{6}\right)}& {\displaystyle =\text{sin}\left(2x+\frac{\pi }{6}\right);}\hfill & \hfill {\displaystyle d)}& \hfill {\displaystyle \text{cos}\left(\frac{5\pi }{6}-3x\right)}& {\displaystyle =\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$   2. Oldjuk meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x}+\sqrt[]{x-4a+4}=2}\end{array}$ egyenletet a valós számok halmazán, ahol $a$ valós paraméter.   3. Az $ABC$ derékszögű háromszög $AB$ átfogójához tartozó magasság $CD$. Az $ACD$, illetve $BCD$ háromszögekbe írható kör sugara ${\varrho }_1=3$, illetve ${\varrho }_2=4$. Számítsuk ki az $ABC$ háromszögbe írható kör sugarát.   4. Az $ABC$ háromszög $B$, illetve $C$ csúcspontján áthaladó súlyvonal egyenlete $3x+5y=10$, illetve $3x-2y=3$. A háromszög egyik csúcspontja $\left(-3;1\right)$. Számítsuk ki a másik két csúcspont koordinátáit.   5. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle a)}& \multicolumn{3}{c}{{\displaystyle \text{lg}{}^2\left(5-x\right)+2\text{lg}{}^2\left(x+1\right)=3\left(\text{lg}\left(5-x\right)\right)\left(\text{lg}\left(x+1\right)\right)\mathrm{,}}}\\ \hfill {\displaystyle b)}& {\displaystyle 3^{2x+1}+3^{2-2\sqrt[]{x}}=4\cdot 3^{1+x-\sqrt[]{x}};}\hfill & \hfill {\displaystyle c)}& {\displaystyle 2\text{sin}{}^{4}x-2\text{sin}{}^{2}x\text{cos}{}^{2}x+4\text{cos}{}^{4}x=1.}\hfill \end{array}}}\end{array}$   6. Mely $n$ egész számokra lesz a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{18nx+36x+12n+6n^2}{3n^{2}x+15nx+18x+6n+5n^2+n^3}}\end{array}$ kifejezés értéke egész szám, ha $x$ tetszőleges egész számot jelenthet?   7. Az $x^2+\left(2p-1\right)x+\frac{3}{2}{p}^2-5p+\frac{1}{4}=0$ egyenlet valós gyökeinek négyzetösszege a valós $p$ paraméter mely értékeinél a legkisebb, illetve a legnagyobb? Mennyi ez a legkisebb, illetve legnagyobb érték?   8. Az $ABC$ háromszög $AB$ oldalán levő $K$, a $BC$ oldalán levő $L$ pontokra $3AK=KB$, illetve $BL=LC$. Az $AL$ és $CK$ szakaszok metszéspontja $Q$. $a)$ Hányadrésze az $ABC$ háromszög területének az $AQB$, illetve a $BQC$ háromszög területe? $b)$ Milyen arányban osztja a $Q$ pont az $AL$, illetve a $CK$ szakaszt?