Cím: Megoldásvázlatok a 2004/8. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Meszlényiné Róka Ágnes 
Füzet: 2004/december, 533 - 536. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Oldjuk meg az
x(x-33)2+13(x-2)(x+2)=1+(x-1)39
egyenletet.
 
Megoldás. Azonos átalakítások és az egyenlet rendezése után elsőfokú egyenletet kapunk. Megoldása: x=2.
 
2. Egy kockával 6-szor dobunk egymás után és feljegyezzük az eredményeket.
a) Hányféle sorozat jöhet létre?
b) Hányféle sorozat jöhet létre, ha az első helyen és csak ezen áll 1-es?
c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy az első helyen a többitől különböző szám áll?
 
Megoldás. a) Az összes eset: 66=46656.
b) Az első hely kötött, itt van az 1-es. A következő öt hely mindegyikén az öt szám bármelyike állhat, azaz 55=3125 eset van.
c) A kedvező esetek száma az előző megfontolást követve: 655. Így a kérdéses valószínűség:
P=65566=55650,402.

 
3. Egy matematika tanár akkor mondja, hogy szerencsésen állította össze a dolgozatot, ha a jegyek átlaga e és π között van (e=2,718... és π=3,141...). Egy 35 fős osztályból a legjobb gyerek munkáját még nem nézte meg, és ekkor az átlag 2,68 volt. Hogyan sikerülhetett a legjobb tanuló dolgozata, ha a tanár elmondhatta magáról, hogy szerencsésen állította össze a dolgozatot?
 
Megoldás. Mivel a 34 gyerek dolgozatának átlaga 2,68 és ez kerekített érték, azért a jegyeik S összege
2,67534=90,95S<2,68534=91,29.
A jegyek összege tehát 91. Legyen a legjobb tanuló osztályzata n, ahol n lehetséges értékei: 1, 2, 3, 4, 5. A megoldandó egyenlőtlenség:
2,71891+n353,141,
amelynek az öt lehetséges érték közül csak az n=5 tesz eleget.
A legjobb tanuló 5-ös dolgozatot írt; az átlag ebben az esetben 2,74 volt.
 
4. Tekintsük a következő diagramot. Egy 10 éves periódusban a beültetett és a kivett vesék darabszámát olvashatjuk le róla.
 
 

a) Melyik évben ültették be a legnagyobb százalékban a kivett veséket?
b) Ábrázoljuk az első és az utolsó három évben a beültetett és a kivett vesék arányát.
c) Levonható-e valamilyen következtetés a kapott ábráról?
 
Megoldás. a) Készítsük el a következő táblázatot:
1988.1989.1990.1991.1992.1993.1994.1995.1996.1997.80%85,7%78,5%87,5%86,1%83,5%92,7%94,6%92,3%92,5%
A táblázat mutatja, hogy 1995-ben ültették be a legnagyobb százalékban a kivett veséket.
b) Ha a függőleges tengely beosztását tized pontossággal készítjük el, akkor a kért évekhez tartozó 0,8; 0,86; 0,79 és 0,95; 0,92; 0,93 arányokat például oszlopdiagramon tudjuk ábrázolni.
c) Látható, hogy az arány a vizsgált időszak utolsó három évében magasabb, mint az első három évben volt. (Valószínű, hogy fejlődött a kivételhez és a kivett vesék szállításához, eltartásához szükséges műszerezettsége a kórházaknak.)
 

II. rész
 

5. Egy trapéz egyik átlója 30-os szöget zár be az alappal. A két átló merőleges egymásra.
a) Milyen hosszú a két átló, ha az alapok 6 és 4 egység hosszúak?
b) Mekkora a trapéz területe?
c) Számítsuk ki a trapéz kerületét.
 
Megoldás. Készítsünk vázlatrajzot.
 
 

a) BAC=DCA, mert váltószögek, így a PAB és a PCD is olyan derékszögű háromszög, amelynek van 30-os és 60-os szöge, ezért a két háromszög oldalainak a hossza meghatározható: BP=3, AP=33, illetve DP=2, CP=23. Vagyis AC=53, BD=5.
b) Mivel az átlók merőlegesek egymásra, azért a trapéz területe a szorzatuk felével egyenlő:
t=5532=252321,65  (területegység).

c) A kerület kiszámításához határozzuk meg a szárak hosszát! Használjuk a Pitagorasz tételt:
AD=AP2+DP2=315,57,BC=BP2+CP2=214,58.
A trapéz kerülete: k6+4,58+4+5,57=20,15 (egység).
 
6. Tekintsük a valós számokon értelmezett
f(x)=13-(x-1)2ésg(x)=4|x+1|
függvényeket.

a) Oldjuk meg az f(x)g(x) egyenlőtlenséget grafikusan.
b) Mekkora területű az f(x) és a g(x) görbéje által határolt síkidom?
 
Megoldás. a) Az ábrázolás után a megoldás leolvasható: -2x2.
 
 

b) Az f(x) görbéje alatti terület meghatározása:
-22[13-(x-1)2]dx=-22(-x2+2x+12)dx==[-x33+x2+12x]-22==-83+4+24-83-4+24=1283.


A g(x) görbéje alatti terület meghatározásakor két derékszögű háromszög területösszegének kiszámítására van szükségünk: 142+3122=20.
A keresett síkidom területe: 1283-20=683 (területegység).
 
7. Bizonyítsuk be, hogy az
5x2-2(5k+3)x+5k2+6k+1=0
egyenlet gyökeinek különbsége k minden értékére ugyanakkora.

 
Megoldás. Írjuk fel a megoldóképletet:
x1,2=2(5k+3)±4(5k+3)2-20(5k2+6k+1)10.
A diszkrimináns értéke 16, így x1=k+1; x2=k+0,2.
A két gyök különbsége minden k esetén 0,8.
 
8. Az ABC háromszögben β-γ=90. Bizonyítsuk be, hogy az A csúcsból induló magasság egyenese a háromszög köré írható körének érintője is egyben.
 
Megoldás. Készítsünk vázlatrajzot.
 
 

A feladat szövege alapján megállapítható, hogy az ábrán jelölt egyíves szögek egyenlők, mindhárom γ. Ha tekintjük a háromszög körülírt körét, akkor az AB ív szempontjából a C-nél lévő szög kerületi szög, a TAB pedig érintő szárú kerületi szög. Az ABC háromszög AT magassága tehát a háromszög köré írható körnek az érintője is.
 
9. Válasszuk ki az 50cm kerületű, egyenlő szárú háromszögek közül azt, amelyben minimális az oldalakra rajzolható négyzetek területösszege.
 
Megoldás. Jelöljük a szárak hosszát b-vel, ekkor az alap a=50-2b.
A kérdéses terület: t(b)=2b2+(50-2b)2. Ennek a másodfokú függvénynek minimuma van. A t(b)=6b2-200b+2500 függvény minimumhelye: 20026=503.
A keresett egyenlő szárú háromszög az a szabályos háromszög, melynek oldala 503 egység.