Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2004/december, 532 - 533. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Mutassuk meg, hogy nincs olyan valós számpár, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\left(x^2+5\right)}^2}& {\displaystyle =25-|y-3|}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 21x+63y}& {\displaystyle =188}\hfill \end{array}}\}\mathrm{.}}\end{array}$ (11 pont)   2. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=a{x}^2+\left(2a+b\right)x-\left(b^2-b-a\right)}\end{array}$ függvényt. $a)$ Mutassuk meg, hogy ha $a$ és $b$ egész számok, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(-2\right)+f\left(-1\right)+f\left(0\right)+f\left(1\right)+f\left(2\right)}\end{array}$ osztható 5-tel. $b)$ Igazoljuk, hogy ha $a$ pozitív, akkor $f\left(x\right)$-nek van zérushelye.  (12 pont)   3. Hány darab 2-nél kisebb, pozitív tagja van az $a_n=-5+\text{log}{}_2\left(n+4\right)$ sorozatnak?  (14 pont)   4. Ágnes 2005. március 25-én befizet 600 000 Ft-ot egy olyan bankba, ahol az évi kamat 8%-os és a naptári év végén van kamatelszámolás. Mennyi lesz a követelése 2006. március 25-én? (14 pont)   II. rész   5. Adott három egyenes az egyenletével: $\begin{array}{c}{\displaystyle x-\sqrt[]{3}y=\mathrm{0,}\sqrt[]{3}x-y=\mathrm{0,}\sqrt[]{3}x+y-10=0.}\end{array}$ $a)$ Mutassuk meg, hogy a három egyenes derékszögű háromszöget határoz meg. $b)$ Mekkora a háromszög köré írt körének a sugara? $c)$ Számítsuk ki a beírt kör középpontjának a koordinátáit. (16 pont)   6. Adott a valós számokon értelmezett, $f\left(x\right)=2x^6-3x^4+x^2$ függvény. $a)$ Határozzuk meg az $f\left(\text{tg}\frac{\pi }{3}\right)$ pontos értékét. $b)$ Mutassuk meg, hogy az $f\left(\text{sin}\alpha \right)+f\left(\text{cos}\alpha \right)$ összeg nem függ $\alpha$ értékétől. (16 pont)   7. Egy középiskolában azt tapasztaltuk, hogy a tanulók 75%-a elkészíti a házi feladatát matematikából. Egy újságíró ebben az iskolában öt véletlenszerűen választott tanulóval szeretne beszélgetni a tanulási szokásaikról. $a)$ Mekkora a valószínűsége annak, hogy olyan tanulókat választ, akiknek készen van a házi feladata? $b)$ Mekkora a valószínűsége annak, hogy az öt választott tanulóból legalább háromnak készen van a házi feladata? c) Az iskola 20 fős 12.c. osztályában (ahol az iskolai átlagnál egy kicsit jobb a helyzet) 16-an írtak házi feladatot. A csoportban összesen 3 leány van, ők mindig elkészítik feladataikat. Ha ebből a csoportból választunk 4 fiút és 1 leányt, akkor mekkora a valószínűsége, hogy a választottak közül pontosan kettőnek nincs kész a házi feladata? (16 pont)   8. Egy 27 méter széles folyó partjától merőlegesen haladva 3 méterenként megmértük a víz mélységét. A következő adatokat kaptuk centiméterben: 60, 120, 150, 240, 210, 180, 90, 30. $a)$ Hány $\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ a keresztmetszet területe, ha a folyómeder alján két méréshely között az összekötővonalat egyenesnek feltételezzük? $b)$ A mért adatoknak határozzuk meg a számtani közepét és a mediánját. $c)$ Mennyi a mérés vonalában a folyó átlagos mélysége? $d)$ Mekkora vízmennyiség halad át a folyó keresztmetszetén 1 óra alatt, ha a folyó sebessége 85 m/perc? (16 pont)   9. Az azonos kerületű konvex négyszögek esetén a két-két szemközti oldal összegének szorzata milyen esetben lesz maximális? Határozzuk meg ezt a maximális értéket. (16 pont)