Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2004/december, 532 - 533. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

I. rész
 

1. Mutassuk meg, hogy nincs olyan valós számpár, amelyre
(x2+5)2=25-|y-3|21x+63y=188}.(11 pont)

 
2. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett
f(x)=ax2+(2a+b)x-(b2-b-a)
függvényt.
a) Mutassuk meg, hogy ha a és b egész számok, akkor
f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)
osztható 5-tel.
b) Igazoljuk, hogy ha a pozitív, akkor f(x)-nek van zérushelye.  (12 pont)

 
3. Hány darab 2-nél kisebb, pozitív tagja van az an=-5+log2(n+4) sorozatnak?  (14 pont)

 
4. Ágnes 2005. március 25-én befizet 600 000 Ft-ot egy olyan bankba, ahol az évi kamat 8%-os és a naptári év végén van kamatelszámolás. Mennyi lesz a követelése 2006. március 25-én? (14 pont)
 

II. rész
 

5. Adott három egyenes az egyenletével:
x-3y=0,3x-y=0,3x+y-10=0.

a) Mutassuk meg, hogy a három egyenes derékszögű háromszöget határoz meg.
b) Mekkora a háromszög köré írt körének a sugara?
c) Számítsuk ki a beírt kör középpontjának a koordinátáit. (16 pont)

 
6. Adott a valós számokon értelmezett, f(x)=2x6-3x4+x2 függvény.
a) Határozzuk meg az f(tgπ3) pontos értékét.
b) Mutassuk meg, hogy az f(sinα)+f(cosα) összeg nem függ α értékétől. (16 pont)

 
7. Egy középiskolában azt tapasztaltuk, hogy a tanulók 75%-a elkészíti a házi feladatát matematikából. Egy újságíró ebben az iskolában öt véletlenszerűen választott tanulóval szeretne beszélgetni a tanulási szokásaikról.
a) Mekkora a valószínűsége annak, hogy olyan tanulókat választ, akiknek készen van a házi feladata?
b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy az öt választott tanulóból legalább háromnak készen van a házi feladata?
c) Az iskola 20 fős 12.c. osztályában (ahol az iskolai átlagnál egy kicsit jobb a helyzet) 16-an írtak házi feladatot. A csoportban összesen 3 leány van, ők mindig elkészítik feladataikat. Ha ebből a csoportból választunk 4 fiút és 1 leányt, akkor mekkora a valószínűsége, hogy a választottak közül pontosan kettőnek nincs kész a házi feladata? (16 pont)

 
8. Egy 27 méter széles folyó partjától merőlegesen haladva 3 méterenként megmértük a víz mélységét. A következő adatokat kaptuk centiméterben: 60, 120, 150, 240, 210, 180, 90, 30.
a) Hány m2 a keresztmetszet területe, ha a folyómeder alján két méréshely között az összekötővonalat egyenesnek feltételezzük?
b) A mért adatoknak határozzuk meg a számtani közepét és a mediánját.
c) Mennyi a mérés vonalában a folyó átlagos mélysége?
d) Mekkora vízmennyiség halad át a folyó keresztmetszetén 1 óra alatt, ha a folyó sebessége 85 m/perc? (16 pont)

 
9. Az azonos kerületű konvex négyszögek esetén a két-két szemközti oldal összegének szorzata milyen esetben lesz maximális? Határozzuk meg ezt a maximális értéket. (16 pont)